Theorem upwordnul 46861

Description: Empty set is an increasing sequence for every range. (Contributed by Ender Ting, 19-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
upwordnul	⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordnul

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5246	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		elab6g 3624	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
4		wrd0 14446	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑆
5		eleq1a 2823	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
8		hash0 14274	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
10	9	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) = (0 − 1))
11		0red 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
12	11	lem1d 12058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0 − 1) ≤ 0)
13	10, 12	eqbrtrd 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0)
14		0z 12482	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	9, 14	eqeltrdi 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
16		1zzd 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 1 ∈ ℤ)
17	15, 16	zsubcld 12585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ)
18		fzon 13583	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
19	14, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
21		rzal 4460	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
23	6, 22	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
24	3, 23	mpgbir 1799	. 2 ⊢ ∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
25		df-upword 46860	. 2 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
26	24, 25	eleqtrri 2827	1 ⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  Vcvv 3436  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420  UpWord cupword 46859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-upword 46860

This theorem is referenced by: (None)