Theorem upwordnul 46900

Description: Empty set is an increasing sequence for every range. (Contributed by Ender Ting, 19-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
upwordnul	⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordnul

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5306	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		elab6g 3668	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
4		wrd0 14578	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑆
5		eleq1a 2835	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7		fveq2 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
8		hash0 14407	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
10	9	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) = (0 − 1))
11		0red 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
12	11	lem1d 12202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0 − 1) ≤ 0)
13	10, 12	eqbrtrd 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0)
14		0z 12626	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	9, 14	eqeltrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
16		1zzd 12650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 1 ∈ ℤ)
17	15, 16	zsubcld 12729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ)
18		fzon 13721	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
19	14, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
21		rzal 4508	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
23	6, 22	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
24	3, 23	mpgbir 1798	. 2 ⊢ ∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
25		df-upword 46899	. 2 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
26	24, 25	eleqtrri 2839	1 ⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2713  ∀wral 3060  Vcvv 3479  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℤcz 12615  ..^cfzo 13695  ♯chash 14370  Word cword 14553  UpWord cupword 46898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-upword 46899

This theorem is referenced by: (None)