Theorem upwordnul 46494

Description: Empty set is an increasing sequence for every range. (Contributed by Ender Ting, 19-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
upwordnul	⊢ ∅ ∈ UpWord𝑆

Proof of Theorem upwordnul

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5235	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		elab6g 3602	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
4		wrd0 14253	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑆
5		eleq1a 2836	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7		fveq2 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
8		hash0 14093	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
10	9	oveq1d 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) = (0 − 1))
11		0red 10989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
12	11	lem1d 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0 − 1) ≤ 0)
13	10, 12	eqbrtrd 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0)
14		0z 12341	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	9, 14	eqeltrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
16		1zzd 12362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 1 ∈ ℤ)
17	15, 16	zsubcld 12442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ)
18		fzon 13419	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
19	14, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
20	13, 19	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
21		rzal 4445	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
23	6, 22	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
24	3, 23	mpgbir 1806	. 2 ⊢ ∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
25		df-upword 46493	. 2 ⊢ UpWord𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
26	24, 25	eleqtrri 2840	1 ⊢ ∅ ∈ UpWord𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {cab 2717  ∀wral 3066  Vcvv 3431  ∅c0 4262   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   < clt 11020   ≤ cle 11021   − cmin 11216  ℤcz 12330  ..^cfzo 13393  ♯chash 14055  Word cword 14228  UpWordcupword 46492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-hash 14056  df-word 14229  df-upword 46493

This theorem is referenced by: (None)