Users' Mathboxes Mathbox for Ender Ting < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upwordnul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upwordnul 46834
Description: Empty set is an increasing sequence for every range. (Contributed by Ender Ting, 19-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
upwordnul ∅ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordnul
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5313 . . . 4 ∅ ∈ V
2 elab6g 3669 . . . 4 (∅ ∈ V → (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
4 wrd0 14574 . . . . 5 ∅ ∈ Word 𝑆
5 eleq1a 2834 . . . . 5 (∅ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
8 hash0 14403 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
97, 8eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
109oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) = (0 − 1))
11 0red 11262 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
1211lem1d 12199 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0 − 1) ≤ 0)
1310, 12eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0)
14 0z 12622 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
159, 14eqeltrdi 2847 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
16 1zzd 12646 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → 1 ∈ ℤ)
1715, 16zsubcld 12725 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ)
18 fzon 13717 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
1914, 17, 18sylancr 587 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
2013, 19mpbid 232 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
21 rzal 4515 . . . . 5 ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
236, 22jca 511 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
243, 23mpgbir 1796 . 2 ∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
25 df-upword 46833 . 2 UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
2624, 25eleqtrri 2838 1 ∅ ∈ UpWord 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  UpWord cupword 46832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-upword 46833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator