Theorem upwordnul 46045

Description: Empty set is an increasing sequence for every range. (Contributed by Ender Ting, 19-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
upwordnul	⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordnul

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5297	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		elab6g 3651	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
4		wrd0 14485	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑆
5		eleq1a 2820	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
8		hash0 14323	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
10	9	oveq1d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) = (0 − 1))
11		0red 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
12	11	lem1d 12143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0 − 1) ≤ 0)
13	10, 12	eqbrtrd 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0)
14		0z 12565	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	9, 14	eqeltrdi 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
16		1zzd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 1 ∈ ℤ)
17	15, 16	zsubcld 12667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ)
18		fzon 13649	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
19	14, 17, 18	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
20	13, 19	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
21		rzal 4500	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
23	6, 22	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
24	3, 23	mpgbir 1793	. 2 ⊢ ∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
25		df-upword 46044	. 2 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
26	24, 25	eleqtrri 2824	1 ⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  ∀wral 3053  Vcvv 3466  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℤcz 12554  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460  UpWord cupword 46043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-upword 46044

This theorem is referenced by: (None)