Theorem upwordnul 46889

Description: Empty set is an increasing sequence for every range. (Contributed by Ender Ting, 19-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
upwordnul	⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Proof of Theorem upwordnul

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5282	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		elab6g 3653	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))} ↔ ∀𝑤(𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))))
4		wrd0 14562	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑆
5		eleq1a 2830	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Word 𝑆 → (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
7		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
8		hash0 14390	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
9	7, 8	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
10	9	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) = (0 − 1))
11		0red 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
12	11	lem1d 12180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0 − 1) ≤ 0)
13	10, 12	eqbrtrd 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0)
14		0z 12604	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	9, 14	eqeltrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
16		1zzd 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → 1 ∈ ℤ)
17	15, 16	zsubcld 12707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ)
18		fzon 13702	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑤) − 1) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
19	14, 17, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (((♯‘𝑤) − 1) ≤ 0 ↔ (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅)
21		rzal 4489	. . . . 5 ⊢ ((0..^((♯‘𝑤) − 1)) = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))
23	6, 22	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1))))
24	3, 23	mpgbir 1799	. 2 ⊢ ∅ ∈ {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
25		df-upword 46888	. 2 ⊢ UpWord 𝑆 = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1))(𝑤‘𝑘) < (𝑤‘(𝑘 + 1)))}
26	24, 25	eleqtrri 2834	1 ⊢ ∅ ∈ UpWord 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2714  ∀wral 3052  Vcvv 3464  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℤcz 12593  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536  UpWord cupword 46887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-upword 46888

This theorem is referenced by: (None)