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Theorem wwlksm1edg 27662
Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksm1edg ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
Proof of Theorem wwlksm1edg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2824 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 27617 . . 3 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 lencl 13886 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 1red 10645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
7 2re 11714 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
9 nn0re 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
109adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11 1le2 11849 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
13 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
146, 8, 10, 12, 13letrd 10800 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊))
155, 14jca 514 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
16 elnnnn0c 11945 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
1715, 16sylibr 236 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18 lbfzo0 13080 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1917, 18sylibr 236 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20 nn0ge2m1nn 11967 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21 lbfzo0 13080 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
2220, 21sylibr 236 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
2319, 22jca 514 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
244, 23sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
25 inelcm 4417 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
27 wrdfn 13879 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2827adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
29 fnresdisj 6470 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
31 nn0ge2m1nn0 11968 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3210lem1d 11576 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
3331, 5, 323jca 1124 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
344, 33sylan 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
35 elfz2nn0 13001 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
3634, 35sylibr 236 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37 pfxres 14044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
3837eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
3938bicomd 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
4036, 39syldan 593 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
4130, 40bitr2d 282 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
4241necon3bid 3063 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
4326, 42mpbird 259 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
44433ad2antl2 1182 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
45 pfxcl 14042 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4645a1d 25 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
47463ad2ant2 1130 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4847imp 409 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49 nn0z 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
50 peano2zm 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
52 peano2zm 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5453adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5551adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
56 peano2rem 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
579, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
5857lem1d 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
5958adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
6054, 55, 593jca 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
614, 60sylan 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
62 eluz2 12252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
6361, 62sylibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
649lem1d 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
6564adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
6631, 5, 653jca 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
674, 66sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6867, 35sylibr 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
69 pfxlen 14048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
7069oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
7168, 70syldan 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
7271fveq2d 6677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
7363, 72eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
74 fzoss2 13068 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
76 ssralv 4036 . . . . . . . . . . 11 ((0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7868, 69syldan 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
7978oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
8079oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
8180eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))))
82 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8382adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8436adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
854, 31sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
86 nn0z 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
87 fzossrbm1 13069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
8985, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
9089sselda 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
91 pfxfv 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
9283, 84, 90, 91syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
9392eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘𝑥) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥))
944, 20sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
95 elfzom1p1elfzo 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
9694, 95sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
97 pfxfv 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9883, 84, 96, 97syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9998eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)))
10093, 99preq12d 4680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
101100ex 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
10281, 101sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
103102imp 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
104103eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105104biimpd 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106105ralimdva 3180 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10777, 106syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108107expcom 416 . . . . . . . 8 (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109108com3l 89 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109a1i 11 . . . . . 6 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1111103imp1 1343 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1121, 2iswwlks 27617 . . . . 5 ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
11344, 48, 111, 112syl3anbrc 1339 . . . 4 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
114113ex 415 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
1153, 114sylbi 219 . 2 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
116115imp 409 1 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {cpr 4572   class class class wbr 5069   ↾ cres 5560   Fn wfn 6353  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   ≤ cle 10679   − cmin 10873  ℕcn 11641  2c2 11695  ℕ0cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ≥cuz 12246  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  ♯chash 13693  Word cword 13864   prefix cpfx 14035  Vtxcvtx 26784  Edgcedg 26835  WWalkscwwlks 27606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-substr 14006  df-pfx 14036  df-wwlks 27611
This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  27693
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