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Theorem wwlksm1edg 29901
Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksm1edg ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
Proof of Theorem wwlksm1edg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2737 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 29856 . . 3 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 lencl 14571 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
7 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
9 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11 1le2 12475 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
146, 8, 10, 12, 13letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊))
155, 14jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
16 elnnnn0c 12571 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
1715, 16sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18 lbfzo0 13739 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1917, 18sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20 nn0ge2m1nn 12596 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21 lbfzo0 13739 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
2220, 21sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
2319, 22jca 511 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
244, 23sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
25 inelcm 4465 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
27 wrdfn 14566 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
29 fnresdisj 6688 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
31 nn0ge2m1nn0 12597 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3210lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
3331, 5, 323jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
344, 33sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
35 elfz2nn0 13658 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
3634, 35sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37 pfxres 14717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
3837eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
3938bicomd 223 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
4036, 39syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
4130, 40bitr2d 280 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
4241necon3bid 2985 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
4326, 42mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
44433ad2antl2 1187 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
45 pfxcl 14715 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4645a1d 25 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
47463ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4847imp 406 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
50 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
52 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5551adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
56 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
579, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
5857lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
6054, 55, 593jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
614, 60sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
62 eluz2 12884 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
6361, 62sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
649lem1d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
6631, 5, 653jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
674, 66sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6867, 35sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
69 pfxlen 14721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
7069oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
7168, 70syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
7271fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
7363, 72eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
74 fzoss2 13727 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
76 ssralv 4052 . . . . . . . . . . 11 ((0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7868, 69syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
7978oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
8079oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
8180eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))))
82 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8436adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
854, 31sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
86 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
87 fzossrbm1 13728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
8985, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
9089sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
91 pfxfv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
9283, 84, 90, 91syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
9392eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘𝑥) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥))
944, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
95 elfzom1p1elfzo 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
9694, 95sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
97 pfxfv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9883, 84, 96, 97syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9998eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)))
10093, 99preq12d 4741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
101100ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
10281, 101sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
103102imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
104103eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105104biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106105ralimdva 3167 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10777, 106syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108107expcom 413 . . . . . . . 8 (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109108com3l 89 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109a1i 11 . . . . . 6 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1111103imp1 1348 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1121, 2iswwlks 29856 . . . . 5 ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
11344, 48, 111, 112syl3anbrc 1344 . . . 4 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
114113ex 412 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
1153, 114sylbi 217 . 2 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
116115imp 406 1 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143   ↾ cres 5687   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ0cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ≥cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   prefix cpfx 14708  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  WWalkscwwlks 29845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-wwlks 29850
This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  29931
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