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Theorem wwlksm1edg 30352
Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
wwlksm1edg ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
Proof of Theorem wwlksm1edg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2760 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 30307 . . 3 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 lencl 14601 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpl 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 1red 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
7 2re 12342 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
9 nn0re 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
109adantr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11 1le2 12479 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
13 simpr 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
146, 8, 10, 12, 13letrd 11394 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊))
155, 14jca 521 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
16 elnnnn0c 12576 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
1715, 16sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18 lbfzo0 13758 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1917, 18sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20 nn0ge2m1nn 12601 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21 lbfzo0 13758 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
2220, 21sylibr 237 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
2319, 22jca 521 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
244, 23sylan 592 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
25 inelcm 4418 . . . . . . . 8 ((0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
2624, 25syl 18 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
27 wrdfn 14596 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2827adantr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
29 fnresdisj 6653 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
3028, 29syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
31 nn0ge2m1nn0 12602 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3210lem1d 12175 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
3331, 5, 323jca 1146 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
344, 33sylan 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
35 elfz2nn0 13676 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
3634, 35sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37 pfxres 14752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
3837eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
3938bicomd 226 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
4036, 39syldan 603 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
4130, 40bitr2d 283 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
4241necon3bid 2999 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
4326, 42mpbird 260 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
44433ad2antl2 1205 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
45 pfxcl 14750 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4645a1d 26 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
47463ad2ant2 1152 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
4847imp 412 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49 nn0z 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
50 peano2zm 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
5149, 50syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
52 peano2zm 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5351, 52syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5453adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5551adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
56 peano2rem 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
579, 56syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
5857lem1d 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
5958adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
6054, 55, 593jca 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
614, 60sylan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
62 eluz2 12896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
6361, 62sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
649lem1d 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
6564adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
6631, 5, 653jca 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
674, 66sylan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6867, 35sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
69 pfxlen 14756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
7069oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
7168, 70syldan 603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
7271fveq2d 6883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
7363, 72eleqtrrd 2863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
74 fzoss2 13746 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
7573, 74syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
76 ssralv 4000 . . . . . . . . . . 11 ((0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7775, 76syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7868, 69syldan 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
7978oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
8079oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
8180eleq2d 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))))
82 simpl 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8382adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
8436adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
854, 31sylan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
86 nn0z 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
87 fzossrbm1 13747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
8886, 87syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
8985, 88syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
9089sselda 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
91 pfxfv 14755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
9283, 84, 90, 91syl3anc 1398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
9392eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘𝑥) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥))
944, 20sylan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
95 elfzom1p1elfzo 13804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
9694, 95sylan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
97 pfxfv 14755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9883, 84, 96, 97syl3anc 1398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
9998eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)))
10093, 99preq12d 4702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
101100ex 418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
10281, 101sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
103102imp 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
104103eleq1d 2845 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105104biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106105ralimdva 3174 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10777, 106syld 48 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108107expcom 419 . . . . . . . 8 (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109108com3l 90 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110109a1i 11 . . . . . 6 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1111103imp1 1366 . . . . 5 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
1121, 2iswwlks 30307 . . . . 5 ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
11344, 48, 111, 112syl3anbrc 1362 . . . 4 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
114113ex 418 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
1153, 114sylbi 220 . 2 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
116115imp 412 1 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↾ cres 5657   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ0cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ≥cuz 12890  ...cfz 13564  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581   prefix cpfx 14743  Vtxcvtx 29456  Edgcedg 29507  WWalkscwwlks 30296
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-substr 14712  df-pfx 14744  df-wwlks 30301
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