Theorem wwlksm1edg 28255

Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksm1edg	⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))

Proof of Theorem wwlksm1edg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iswwlks 28210	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		lencl 14245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6		1red 10985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
7		2re 12056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
9		nn0re 12251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11		1le2 12191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 2
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
13		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
14	6, 8, 10, 12, 13	letrd 11141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 1 ≤ (♯‘𝑊))
15	5, 14	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
16		elnnnn0c 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
17	15, 16	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18		lbfzo0 13436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
20		nn0ge2m1nn 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21		lbfzo0 13436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
23	19, 22	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
24	4, 23	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
25		inelcm 4399	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
27		wrdfn 14240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
29		fnresdisj 6561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
31		nn0ge2m1nn0 12312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
32	10	lem1d 11917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
33	31, 5, 32	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
34	4, 33	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
35		elfz2nn0 13356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
36	34, 35	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
37		pfxres 14401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))))
38	37	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
39	38	bicomd 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
40	36, 39	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅))
41	30, 40	bitr2d 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) = ∅))
42	41	necon3bid 2989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ↔ ((0..^(♯‘𝑊)) ∩ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
43	26, 42	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
44	43	3ad2antl2 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
45		pfxcl 14399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
46	45	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
47	46	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
48	47	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49		nn0z 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
50		peano2zm 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
52		peano2zm 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
55	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
56		peano2rem 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
57	9, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
58	57	lem1d 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
60	54, 55, 59	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
61	4, 60	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
62		eluz2 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1)))
63	61, 62	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
64	9	lem1d 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
66	31, 5, 65	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
67	4, 66	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)))
68	67, 35	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
69		pfxlen 14405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
70	69	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
71	68, 70	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
72	71	fveq2d 6787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (ℤ≥‘(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
73	63, 72	eleqtrrd 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
74		fzoss2 13424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
76		ssralv 3988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
78	68, 69	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
79	78	oveq1d 7299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
80	79	oveq2d 7300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)))
81	80	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))))
82		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
84	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
85	4, 31	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
86		nn0z 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
87		fzossrbm1 13425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
89	85, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
90	89	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
91		pfxfv 14404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
92	83, 84, 90, 91	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
93	92	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘𝑥) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥))
94	4, 20	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
95		elfzom1p1elfzo 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
96	94, 95	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
97		pfxfv 14404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
98	83, 84, 96, 97	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
99	98	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1)))
100	93, 99	preq12d 4678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
101	100	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
102	81, 101	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))}))
103	102	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))})
104	103	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105	104	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106	105	ralimdva 3109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107	77, 106	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108	107	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109	108	com3l 89	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
111	110	3imp1 1346	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
112	1, 2	iswwlks 28210	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅ ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)){((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘𝑥), ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
113	44, 48, 111, 112	syl3anbrc 1342	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))
114	113	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
115	3, 114	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (2 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺)))
116	115	imp 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ (WWalks‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ∀wral 3065   ∩ cin 3887   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257  {cpr 4564   class class class wbr 5075   ↾ cres 5592   Fn wfn 6432  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   ≤ cle 11019   − cmin 11214  ℕcn 11982  2c2 12037  ℕ₀cn0 12242  ℤcz 12328  ℤ_≥cuz 12591  ...cfz 13248  ..^cfzo 13391  ♯chash 14053  Word cword 14226   prefix cpfx 14392  Vtxcvtx 27375  Edgcedg 27426  WWalkscwwlks 28199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-hash 14054  df-word 14227  df-substr 14363  df-pfx 14393  df-wwlks 28204

This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  28285