Theorem flnn0div2ge 49165

Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
flnn0div2ge	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0eo 49160	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2		nn0re 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		peano2rem 11513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
6	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		2rp 13009	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
9	2	lem1d 12136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	9	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
11	5, 6, 8, 10	lediv1dd 13106	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12		nn0z 12603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13		flid 13829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
16	11, 15	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
17	16	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18		nn0o 16429	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
19	18	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20		nn0z 12603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21	20	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22		flid 13829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
24	4	rehalfcld 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
26	2	rehalfcld 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
27	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28		2re 12303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
29		2pos 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
30	28, 29	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32		lediv1 12068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
33	4, 2, 31, 32	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
34	9, 33	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
35	34	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36		flwordi 13833	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
37	25, 27, 35, 36	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
38	23, 37	eqbrtrrd 5128	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
39	38	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
40	19, 39	syldc 49	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
41	17, 40	jaoi 870	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
42	1, 41	mpcom 39	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  2c2 12283  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ℝ⁺crp 13004  ⌊cfl 13811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13813

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