Theorem flnn0div2ge 48513

Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
flnn0div2ge	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0eo 48508	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2		nn0re 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		peano2rem 11550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
6	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		2rp 13013	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
9	2	lem1d 12175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
11	5, 6, 8, 10	lediv1dd 13109	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12		nn0z 12613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13		flid 13825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
16	11, 15	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18		nn0o 16402	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20		nn0z 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22		flid 13825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
24	4	rehalfcld 12488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
26	2	rehalfcld 12488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28		2re 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
29		2pos 12343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
30	28, 29	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32		lediv1 12107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
33	4, 2, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
34	9, 33	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36		flwordi 13829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
37	25, 27, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
38	23, 37	eqbrtrrd 5143	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
39	38	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
40	19, 39	syldc 48	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
41	17, 40	jaoi 857	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
42	1, 41	mpcom 38	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℝ⁺crp 13008  ⌊cfl 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809

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