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Theorem flnn0div2ge 47308
Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
flnn0div2ge (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge
StepHypRef Expression
1 nn0eo 47303 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2 nn0re 12486 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2rem 11532 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 2rp 12984 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
92lem1d 12152 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
115, 6, 8, 10lediv1dd 13079 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12 nn0z 12588 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13 flid 13778 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1514adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1611, 15breqtrrd 5177 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
1716ex 412 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18 nn0o 16331 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1918ex 412 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20 nn0z 12588 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22 flid 13778 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
244rehalfcld 12464 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
262rehalfcld 12464 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28 2re 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
29 2pos 12320 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3028, 29pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32 lediv1 12084 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
334, 2, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
349, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36 flwordi 13782 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3725, 27, 35, 36syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3823, 37eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3938ex 412 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4019, 39syldc 48 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4117, 40jaoi 854 . 2 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
421, 41mpcom 38 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7412  cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253  cle 11254  cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  0cn0 12477  cz 12563  +crp 12979  cfl 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762
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