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Theorem flnn0div2ge 43961
Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
flnn0div2ge (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge
StepHypRef Expression
1 nn0eo 43956 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2 nn0re 11711 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2rem 10748 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
54adantl 474 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62adantl 474 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 2rp 12203 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
92lem1d 11368 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
109adantl 474 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
115, 6, 8, 10lediv1dd 12300 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12 nn0z 11812 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13 flid 12987 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1514adantr 473 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1611, 15breqtrrd 4951 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
1716ex 405 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18 nn0o 15588 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1918ex 405 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20 nn0z 11812 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
2120adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22 flid 12987 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
244rehalfcld 11688 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
2524adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
262rehalfcld 11688 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
2726adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28 2re 11508 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
29 2pos 11544 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3028, 29pm3.2i 463 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32 lediv1 11300 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
334, 2, 31, 32syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
349, 33mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
3534adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36 flwordi 12991 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3725, 27, 35, 36syl3anc 1351 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3823, 37eqbrtrrd 4947 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3938ex 405 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4019, 39syldc 48 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4117, 40jaoi 843 . 2 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
421, 41mpcom 38 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10328  0cc0 10329  1c1 10330   + caddc 10332   < clt 10468  cle 10469  cmin 10664   / cdiv 11092  2c2 11489  0cn0 11701  cz 11787  +crp 12198  cfl 12969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-sup 8695  df-inf 8696  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fl 12971
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