Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flnn0div2ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flnn0div2ge 47921
Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
flnn0div2ge (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge
StepHypRef Expression
1 nn0eo 47916 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2 nn0re 12533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2rem 11577 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
54adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 2rp 13033 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
92lem1d 12199 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
109adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
115, 6, 8, 10lediv1dd 13128 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12 nn0z 12635 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13 flid 13828 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1514adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1611, 15breqtrrd 5181 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
1716ex 411 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18 nn0o 16385 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1918ex 411 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20 nn0z 12635 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
2120adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22 flid 13828 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
244rehalfcld 12511 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
262rehalfcld 12511 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28 2re 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
29 2pos 12367 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3028, 29pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32 lediv1 12131 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
334, 2, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
349, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
3534adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36 flwordi 13832 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3725, 27, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3823, 37eqbrtrrd 5177 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3938ex 411 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4019, 39syldc 48 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4117, 40jaoi 855 . 2 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
421, 41mpcom 38 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12610  +crp 13028  cfl 13810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13812
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator