Theorem flnn0div2ge 47306

Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
flnn0div2ge	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0eo 47301	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2		nn0re 12485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		peano2rem 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
6	2	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		2rp 12983	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
9	2	lem1d 12151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	9	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
11	5, 6, 8, 10	lediv1dd 13078	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12		nn0z 12587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13		flid 13777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
15	14	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
16	11, 15	breqtrrd 5175	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
17	16	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18		nn0o 16330	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
19	18	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20		nn0z 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21	20	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22		flid 13777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
24	4	rehalfcld 12463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25	24	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
26	2	rehalfcld 12463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
27	26	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28		2re 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
29		2pos 12319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
30	28, 29	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32		lediv1 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
33	4, 2, 31, 32	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
34	9, 33	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
35	34	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36		flwordi 13781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
37	25, 27, 35, 36	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
38	23, 37	eqbrtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
39	38	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
40	19, 39	syldc 48	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
41	17, 40	jaoi 853	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
42	1, 41	mpcom 38	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12978  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761

This theorem is referenced by: (None)