Theorem flnn0div2ge 48454

Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
flnn0div2ge	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0eo 48449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2		nn0re 12535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		peano2rem 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
6	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		2rp 13039	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
9	2	lem1d 12201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
11	5, 6, 8, 10	lediv1dd 13135	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12		nn0z 12638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13		flid 13848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
16	11, 15	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18		nn0o 16420	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20		nn0z 12638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22		flid 13848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
24	4	rehalfcld 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
26	2	rehalfcld 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28		2re 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
29		2pos 12369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
30	28, 29	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32		lediv1 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
33	4, 2, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
34	9, 33	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36		flwordi 13852	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
37	25, 27, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
38	23, 37	eqbrtrrd 5167	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
39	38	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
40	19, 39	syldc 48	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
41	17, 40	jaoi 858	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
42	1, 41	mpcom 38	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ⌊cfl 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832

This theorem is referenced by: (None)