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Theorem flnn0div2ge 47209
Description: The floor of a positive integer divided by 2 is greater than or equal to the integer decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 1-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
flnn0div2ge (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))

Proof of Theorem flnn0div2ge
StepHypRef Expression
1 nn0eo 47204 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
2 nn0re 12480 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3 peano2rem 11526 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
54adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
62adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 2rp 12978 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
92lem1d 12146 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
109adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
115, 6, 8, 10lediv1dd 13073 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
12 nn0z 12582 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13 flid 13772 . . . . . . 7 ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1514adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
1611, 15breqtrrd 5176 . . . 4 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
1716ex 413 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
18 nn0o 16325 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1918ex 413 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
20 nn0z 12582 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
22 flid 13772 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((𝑁 − 1) / 2))
244rehalfcld 12458 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
262rehalfcld 12458 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
28 2re 12285 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
29 2pos 12314 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3028, 29pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
32 lediv1 12078 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
334, 2, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)))
349, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2))
36 flwordi 13776 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (𝑁 / 2)) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3725, 27, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑁 − 1) / 2)) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3823, 37eqbrtrrd 5172 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
3938ex 413 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4019, 39syldc 48 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
4117, 40jaoi 855 . 2 (((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
421, 41mpcom 38 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  cle 11248  cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  0cn0 12471  cz 12557  +crp 12973  cfl 13754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fl 13756
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