Theorem sgprmdvdsmersenne 48611

Description: If 𝑃 is a Sophie Germain prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) is also prime) with 𝑃≡3 (mod 4), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number M_P. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgprmdvdsmersenne	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sgprmdvdsmersenne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simprr 785	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∈ ℙ)
3		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 mod 8) = (((2 · 𝑃) + 1) mod 8))
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 mod 8) = (((2 · 𝑃) + 1) mod 8))
5		prmz 16812	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6		mod42tp1mod8 48609	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑃) + 1) mod 8) = 7)
7	5, 6	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑃) + 1) mod 8) = 7)
8	4, 7	sylan9eqr 2817	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → (𝑄 mod 8) = 7)
9		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))
10		sfprmdvdsmersenne 48610	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
11	1, 2, 8, 9, 10	syl13anc 1399	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  1c1 11172   + caddc 11174   · cmul 11176   − cmin 11512  2c2 12366  3c3 12367  4c4 12368  7c7 12371  8c8 12372  ℤcz 12662   mod cmo 13977  ↑cexp 14172   ∥ cdvds 16389  ℙcprime 16808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-prod 16040  df-dvds 16390  df-gcd 16632  df-prm 16809  df-phi 16904  df-pc 16976  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-imas 17641  df-qus 17642  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-nsg 19295  df-eqg 19296  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-srg 20374  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-dvr 20592  df-rhm 20663  df-nzr 20724  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-rlreg 20907  df-domn 20908  df-idom 20909  df-drng 20943  df-field 20944  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-rsp 21448  df-2idl 21504  df-cnfld 21640  df-zring 21714  df-zrh 21770  df-zn 21773  df-assa 22122  df-asp 22123  df-ascl 22124  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-evls 22344  df-evl 22345  df-psr1 22459  df-vr1 22460  df-ply1 22461  df-coe1 22462  df-evl1 22595  df-mdeg 26334  df-deg1 26335  df-mon1 26410  df-uc1p 26411  df-q1p 26412  df-r1p 26413  df-lgs 27585

This theorem is used by: (None)