Theorem sgprmdvdsmersenne 45114

Description: If 𝑃 is a Sophie Germain prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) is also prime) with 𝑃≡3 (mod 4), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number M_P. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgprmdvdsmersenne	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sgprmdvdsmersenne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simprr 771	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∈ ℙ)
3		oveq1 7314	. . . 4 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 mod 8) = (((2 · 𝑃) + 1) mod 8))
4	3	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 mod 8) = (((2 · 𝑃) + 1) mod 8))
5		prmz 16425	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6		mod42tp1mod8 45112	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑃) + 1) mod 8) = 7)
7	5, 6	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑃) + 1) mod 8) = 7)
8	4, 7	sylan9eqr 2798	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → (𝑄 mod 8) = 7)
9		simprl 769	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))
10		sfprmdvdsmersenne 45113	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
11	1, 2, 8, 9, 10	syl13anc 1372	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922   − cmin 11251  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  7c7 12079  8c8 12080  ℤcz 12365   mod cmo 13635  ↑cexp 13828   ∥ cdvds 16008  ℙcprime 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-ofr 7566  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-er 8529  df-ec 8531  df-qs 8535  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-xnn0 12352  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-ioo 13129  df-ico 13131  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-fac 14034  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-prod 15661  df-dvds 16009  df-gcd 16247  df-prm 16422  df-phi 16512  df-pc 16583  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-prds 17203  df-pws 17205  df-imas 17264  df-qus 17265  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-mhm 18475  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-mulg 18746  df-subg 18797  df-nsg 18798  df-eqg 18799  df-ghm 18877  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-abl 19434  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-srg 19787  df-ring 19830  df-cring 19831  df-oppr 19907  df-dvdsr 19928  df-unit 19929  df-invr 19959  df-dvr 19970  df-rnghom 20004  df-drng 20038  df-field 20039  df-subrg 20067  df-lmod 20170  df-lss 20239  df-lsp 20279  df-sra 20479  df-rgmod 20480  df-lidl 20481  df-rsp 20482  df-2idl 20548  df-nzr 20574  df-rlreg 20599  df-domn 20600  df-idom 20601  df-cnfld 20643  df-zring 20716  df-zrh 20750  df-zn 20753  df-assa 21105  df-asp 21106  df-ascl 21107  df-psr 21157  df-mvr 21158  df-mpl 21159  df-opsr 21161  df-evls 21327  df-evl 21328  df-psr1 21396  df-vr1 21397  df-ply1 21398  df-coe1 21399  df-evl1 21527  df-mdeg 25262  df-deg1 25263  df-mon1 25340  df-uc1p 25341  df-q1p 25342  df-r1p 25343  df-lgs 26488

This theorem is referenced by: (None)