Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgprmdvdsmersenne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgprmdvdsmersenne 43770
 Description: If 𝑃 is a Sophie Germain prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) is also prime) with 𝑃≡3 (mod 4), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number MP. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
sgprmdvdsmersenne (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sgprmdvdsmersenne
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 simprr 771 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∈ ℙ)
3 oveq1 7162 . . . 4 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 mod 8) = (((2 · 𝑃) + 1) mod 8))
43adantr 483 . . 3 ((𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 mod 8) = (((2 · 𝑃) + 1) mod 8))
5 prmz 16018 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6 mod42tp1mod8 43768 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑃) + 1) mod 8) = 7)
75, 6sylan 582 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) → (((2 · 𝑃) + 1) mod 8) = 7)
84, 7sylan9eqr 2878 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → (𝑄 mod 8) = 7)
9 simprl 769 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))
10 sfprmdvdsmersenne 43769 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
111, 2, 8, 9, 10syl13anc 1368 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 3) ∧ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ∧ 𝑄 ∈ ℙ)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   − cmin 10869  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  7c7 11696  8c8 11697  ℤcz 11980   mod cmo 13236  ↑cexp 13428   ∥ cdvds 15606  ℙcprime 16014 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-ec 8290  df-qs 8294  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-prod 15259  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-prm 16015  df-phi 16102  df-pc 16173  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-imas 16780  df-qus 16781  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-nsg 18276  df-eqg 18277  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-srg 19255  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-field 19504  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-lidl 19945  df-rsp 19946  df-2idl 20004  df-nzr 20030  df-rlreg 20055  df-domn 20056  df-idom 20057  df-assa 20084  df-asp 20085  df-ascl 20086  df-psr 20135  df-mvr 20136  df-mpl 20137  df-opsr 20139  df-evls 20285  df-evl 20286  df-psr1 20347  df-vr1 20348  df-ply1 20349  df-coe1 20350  df-evl1 20478  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-zn 20653  df-mdeg 24648  df-deg1 24649  df-mon1 24723  df-uc1p 24724  df-q1p 24725  df-r1p 24726  df-lgs 25870 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator