Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneal 42104
Description: If a power of a prime 𝑃 (i.e. 𝑃𝑀) is of the form 2↑𝑁 − 1, then 𝑁 must be prime and 𝑀 must be 1. Generalization of mersenne 25172 (where 𝑀 = 1 is a prerequisite). Theorem of S. Ligh and L. Neal (1974) "A note on Mersenne mumbers", Mathematics Magazine, 47:4, 231-233. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneal (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem lighneal
StepHypRef Expression
1 lighneallem1 42098 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀))
2 eqneqall 2996 . . . . . . 7 (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
31, 2syl5com 31 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
433exp 1141 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
54a1d 25 . . . 4 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
6 eldifsn 4515 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
7 lighneallem2 42099 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
873exp 1141 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
983exp 1141 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
109com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1110com24 95 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
12 lighneallem3 42100 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
13123exp 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
14133exp 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1514com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1615com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1716expcomd 404 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))))
18 lighneallem4 42103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
19183exp 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
20193exp 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2120com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2221com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2322expcomd 404 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))))
2417, 23pm2.61d 171 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2524com13 88 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2611, 25pm2.61d 171 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
2726com13 88 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
286, 27sylbir 226 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
2928expcom 400 . . . 4 (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
305, 29pm2.61ine 3068 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
31303imp1 1449 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
32 oveq2 6885 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃↑1))
3332eqeq2d 2823 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
3433adantl 469 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
35 prmnn 15609 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3635nncnd 11324 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
37363ad2ant1 1156 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
3837exp1d 13229 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
3938eqeq2d 2823 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃))
40 nnz 11668 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
41403ad2ant3 1158 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpl1 1235 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
43 eleq1 2880 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃 → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
4443adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
4542, 44mpbird 248 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ)
46 mersenne 25172 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
4741, 45, 46syl2an2r 667 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑁 ∈ ℙ)
4847ex 399 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃𝑁 ∈ ℙ))
4939, 48sylbid 231 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
5049adantr 468 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
5134, 50sylbid 231 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑁 ∈ ℙ))
5251impancom 441 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 → 𝑁 ∈ ℙ))
5331, 52jcai 508 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  cdif 3773  {csn 4377   class class class wbr 4851  (class class class)co 6877  cc 10222  1c1 10225  cmin 10554  cn 11308  2c2 11359  cz 11646  cexp 13086  cdvds 15206  cprime 15606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-mod 12896  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-bc 13313  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-sin 15023  df-cos 15024  df-pi 15026  df-dvds 15207  df-gcd 15439  df-prm 15607  df-pc 15762  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cncf 22898  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator