Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneal 46279
Description: If a power of a prime 𝑃 (i.e. 𝑃𝑀) is of the form 2↑𝑁 − 1, then 𝑁 must be prime and 𝑀 must be 1. Generalization of mersenne 26730 (where 𝑀 = 1 is a prerequisite). Theorem of S. Ligh and L. Neal (1974) "A note on Mersenne mumbers", Mathematics Magazine, 47:4, 231-233. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneal (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem lighneal
StepHypRef Expression
1 lighneallem1 46273 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀))
2 eqneqall 2952 . . . . . . 7 (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
31, 2syl5com 31 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
433exp 1120 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
54a1d 25 . . . 4 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
6 eldifsn 4791 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
7 lighneallem2 46274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
873exp 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
983exp 1120 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
109com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1110com24 95 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
12 lighneallem3 46275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
13123exp 1120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
14133exp 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1514com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1615com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1716expcomd 418 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))))
18 lighneallem4 46278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
19183exp 1120 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
20193exp 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2120com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2221com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2322expcomd 418 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))))
2417, 23pm2.61d 179 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2524com13 88 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2611, 25pm2.61d 179 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
2726com13 88 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
286, 27sylbir 234 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
2928expcom 415 . . . 4 (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
305, 29pm2.61ine 3026 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
31303imp1 1348 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
32 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃↑1))
3332eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
3433adantl 483 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
35 prmnn 16611 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3635nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
37363ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
3837exp1d 14106 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
3938eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃))
40 nnz 12579 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
41403ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
43 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃 → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
4443adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
4542, 44mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ)
46 mersenne 26730 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
4741, 45, 46syl2an2r 684 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑁 ∈ ℙ)
4847ex 414 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃𝑁 ∈ ℙ))
4939, 48sylbid 239 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
5049adantr 482 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
5134, 50sylbid 239 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑁 ∈ ℙ))
5251impancom 453 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 → 𝑁 ∈ ℙ))
5331, 52jcai 518 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cc 11108  1c1 11111  cmin 11444  cn 12212  2c2 12267  cz 12558  cexp 14027  cdvds 16197  cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator