Theorem lighneal 42357

Description: If a power of a prime 𝑃 (i.e. 𝑃↑𝑀) is of the form 2↑𝑁 − 1, then 𝑁 must be prime and 𝑀 must be 1. Generalization of mersenne 25364 (where 𝑀 = 1 is a prerequisite). Theorem of S. Ligh and L. Neal (1974) "A note on Mersenne mumbers", Mathematics Magazine, 47:4, 231-233. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lighneal	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem lighneal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lighneallem1 42351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀))
2		eqneqall 3009	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
3	1, 2	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))
4	3	3exp 1154	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
5	4	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
6		eldifsn 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
7		lighneallem2 42352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)
8	7	3exp 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
9	8	3exp 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
10	9	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
11	10	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
12		lighneallem3 42353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)
13	12	3exp 1154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
14	13	3exp 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
15	14	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
16	15	com14 96	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
17	16	expcomd 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))))
18		lighneallem4 42356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)
19	18	3exp 1154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))
20	19	3exp 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
21	20	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
22	21	com14 96	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
23	22	expcomd 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))))
24	17, 23	pm2.61d 172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
25	24	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
26	11, 25	pm2.61d 172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
27	26	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
28	6, 27	sylbir 227	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
29	28	expcom 404	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1)))))
30	5, 29	pm2.61ine 3081	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑀 = 1))))
31	30	3imp1 1462	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → 𝑀 = 1)
32		oveq2 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑃↑𝑀) = (𝑃↑1))
33	32	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
34	33	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
35		prmnn 15759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
36	35	nncnd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
37	36	3ad2ant1 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
38	37	exp1d 13296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
39	38	eqeq2d 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃))
40		nnz 11726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
41	40	3ad2ant3 1171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simpl1 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
43		eleq1 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃 → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
44	43	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
45	42, 44	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ)
46		mersenne 25364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
47	41, 45, 46	syl2an2r 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑁 ∈ ℙ)
48	47	ex 403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃 → 𝑁 ∈ ℙ))
49	39, 48	sylbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
50	49	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
51	34, 50	sylbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀) → 𝑁 ∈ ℙ))
52	51	impancom 445	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (𝑀 = 1 → 𝑁 ∈ ℙ))
53	31, 52	jcai 514	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   ∖ cdif 3794  {csn 4396   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904  ℂcc 10249  1c1 10252   − cmin 10584  ℕcn 11349  2c2 11405  ℤcz 11703  ↑cexp 13153   ∥ cdvds 15356  ℙcprime 15756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-bc 13382  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169  df-sin 15171  df-cos 15172  df-pi 15174  df-dvds 15357  df-gcd 15589  df-prm 15757  df-pc 15912  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-lp 21310  df-perf 21311  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cncf 23050  df-limc 24028  df-dv 24029  df-log 24701

This theorem is referenced by: (None)