Theorem limsupmnfuz 44316

Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnfuz.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupmnfuz.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuz.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupmnfuz.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupmnfuz	⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupmnfuz

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupmnfuz.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupmnfuz.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupmnfuz.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	limsupmnfuzlem 44315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦))
5		breq2 5148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
6	5	ralbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
7	6	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
8		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
9	8	raleqdv 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
10		limsupmnfuz.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
11		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
12	10, 11	nffv 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
13		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
14		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
15	12, 13, 14	nfbr 5191	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
16		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
17		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
18	17	breq1d 5154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
19	15, 16, 18	cbvralw 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
21	9, 20	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
22	21	cbvrexvw 3236	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
24	7, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
25	24	cbvralvw 3235	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
27	4, 26	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5144  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  ℝcr 11096  -∞cmnf 11233  ℝ^*cxr 11234   ≤ cle 11236  ℤcz 12545  ℤ_≥cuz 12809  lim supclsp 15401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-ico 13317  df-fl 13744  df-ceil 13745  df-limsup 15402

This theorem is referenced by:  liminfpnfuz  44405  xlimmnflimsup2  44441  xlimmnflimsup  44445