Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnfuz 42356
 Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnfuz.1 𝑗𝐹
limsupmnfuz.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupmnfuz.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
limsupmnfuz.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupmnfuz (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem limsupmnfuz
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupmnfuz.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 limsupmnfuz.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 limsupmnfuz.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3limsupmnfuzlem 42355 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦))
5 breq2 5037 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
65ralbidv 3165 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
76rexbidv 3259 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
8 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑘))
98raleqdv 3367 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
10 limsupmnfuz.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝐹
11 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑙
1210, 11nffv 6659 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝐹𝑙)
13 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑗
14 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑥
1512, 13, 14nfbr 5080 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
16 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝐹𝑗) ≤ 𝑥
17 fveq2 6649 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
1817breq1d 5043 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
1915, 16, 18cbvralw 3390 . . . . . . . . 9 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
219, 20bitrd 282 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2221cbvrexvw 3400 . . . . . 6 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
247, 23bitrd 282 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2524cbvralvw 3399 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
274, 26bitrd 282 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2939  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  ℝcr 10529  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   ≤ cle 10669  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  lim supclsp 14822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-ico 12736  df-fl 13161  df-ceil 13162  df-limsup 14823 This theorem is referenced by:  liminfpnfuz  42445  xlimmnflimsup2  42481  xlimmnflimsup  42485
 Copyright terms: Public domain W3C validator