Theorem xlimmnflimsup2 45807

Description: A sequence of extended reals converges to -∞ if and only if its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ (lim sup‘𝐹) = -∞))

Proof of Theorem xlimmnflimsup2

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimmnflimsup2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimmnflimsup2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimmnfv 45789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
5		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
6	5, 1, 2, 3	limsupmnfuz 45682	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
7	4, 6	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ (lim sup‘𝐹) = -∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   class class class wbr 5147  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  -∞cmnf 11290  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  lim supclsp 15502  ~~>*clsxlim 45773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-limsup 15503  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-lm 23252  df-xlim 45774

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45817