Theorem xlimmnflimsup2 42140

Description: A sequence of extended reals converges to -∞ if and only if its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ (lim sup‘𝐹) = -∞))

Proof of Theorem xlimmnflimsup2

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimmnflimsup2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimmnflimsup2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimmnfv 42122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
5		nfcv 2979	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
6	5, 1, 2, 3	limsupmnfuz 42015	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
7	4, 6	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ (lim sup‘𝐹) = -∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  ℝcr 10538  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  lim supclsp 14829  ~~>*clsxlim 42106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fl 13165  df-ceil 13166  df-limsup 14830  df-topgen 16719  df-ordt 16776  df-ps 17812  df-tsr 17813  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-lm 21839  df-xlim 42107

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  42150