Theorem xlimmnflimsup2 46514

Description: A sequence of extended reals converges to -∞ if and only if its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ (lim sup‘𝐹) = -∞))

Proof of Theorem xlimmnflimsup2

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimmnflimsup2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimmnflimsup2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimmnfv 46496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
5		nfcv 2923	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
6	5, 1, 2, 3	limsupmnfuz 46389	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
7	4, 6	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ (lim sup‘𝐹) = -∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℝcr 11098  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   ≤ cle 11243  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  lim supclsp 15520  ~~>*clsxlim 46480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fl 13824  df-ceil 13825  df-limsup 15521  df-topgen 17495  df-ordt 17554  df-ps 18621  df-tsr 18622  df-top 23030  df-topon 23047  df-bases 23082  df-lm 23365  df-xlim 46481

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  46524