Theorem xlimmnflimsup 46749

Description: If a sequence of extended reals converges to -∞ then its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnflimsup.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Proof of Theorem xlimmnflimsup

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
2		xlimmnflimsup.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimmnflimsup.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimmnflimsup.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	xlimmnfv 46727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
6	1, 5	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
7		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8	7, 2, 3, 4	limsupmnfuz 46620	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
9	6, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  ℝcr 11148  -∞cmnf 11290  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912  lim supclsp 15582  ~~>*clsxlim 46711

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-ioo 13427  df-ioc 13428  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fl 13878  df-ceil 13879  df-limsup 15583  df-topgen 17553  df-ordt 17612  df-ps 18679  df-tsr 18680  df-top 23151  df-topon 23168  df-bases 23203  df-lm 23486  df-xlim 46712

This theorem is used by:  xlimliminflimsup  46755