Theorem xlimmnflimsup 47069

Description: If a sequence of extended reals converges to -∞ then its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnflimsup.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Proof of Theorem xlimmnflimsup

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
2		xlimmnflimsup.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimmnflimsup.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimmnflimsup.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	xlimmnfv 47047	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
6	1, 5	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
7		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8	7, 2, 3, 4	limsupmnfuz 46940	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
9	6, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  ℝcr 11223  -∞cmnf 11365  ℝ^*cxr 11366   ≤ cle 11368  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  lim supclsp 15663  ~~>*clsxlim 47031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fl 13956  df-ceil 13957  df-limsup 15664  df-topgen 17640  df-ordt 17699  df-ps 18766  df-tsr 18767  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-lm 23574  df-xlim 47032

This theorem is used by:  xlimliminflimsup  47075