Theorem xlimmnflimsup 46042

Description: If a sequence of extended reals converges to -∞ then its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnflimsup.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Proof of Theorem xlimmnflimsup

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
2		xlimmnflimsup.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimmnflimsup.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimmnflimsup.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	xlimmnfv 46020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
6	1, 5	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
7		nfcv 2896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8	7, 2, 3, 4	limsupmnfuz 45913	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  ℝcr 11023  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  lim supclsp 15391  ~~>*clsxlim 46004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fl 13710  df-ceil 13711  df-limsup 15392  df-topgen 17361  df-ordt 17420  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-lm 23171  df-xlim 46005

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  46048