Theorem xlimmnflimsup 45031

Description: If a sequence of extended reals converges to -∞ then its superior limit is also -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnflimsup.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnflimsup.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnflimsup.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimmnflimsup.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnflimsup	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Proof of Theorem xlimmnflimsup

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnflimsup.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*-∞)
2		xlimmnflimsup.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimmnflimsup.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimmnflimsup.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	2, 3, 4	xlimmnfv 45009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
6	1, 5	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
7		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8	7, 2, 3, 4	limsupmnfuz 44902	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11115  -∞cmnf 11253  ℝ^*cxr 11254   ≤ cle 11256  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  lim supclsp 15421  ~~>*clsxlim 44993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fl 13764  df-ceil 13765  df-limsup 15422  df-topgen 17396  df-ordt 17454  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-lm 23053  df-xlim 44994

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45037