Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinf3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climinf3 42752
 Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climinf3.1 𝑘𝜑
climinf3.2 𝑘𝐹
climinf3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climinf3.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
climinf3.5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf3.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climinf3.7 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
climinf3 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climinf3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinf3.1 . 2 𝑘𝜑
2 climinf3.2 . 2 𝑘𝐹
3 climinf3.4 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climinf3.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 climinf3.5 . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
6 climinf3.6 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
7 climinf3.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
85ffvelrnda 6847 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
98recnd 10712 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
101, 9ralrimia 3407 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
112, 3climbddf 42723 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
124, 7, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
13 renegcl 10992 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ∈ ℝ)
15 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
161, 15nfan 1900 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
17 nfra1 3147 . . . . . . 7 𝑘𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥
1816, 17nfan 1900 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
19 simpll 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘𝑍) → (𝜑𝑥 ∈ ℝ))
20 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
21 rspa 3135 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
2221adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
23 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
248ad4ant13 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
25 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
2624, 25absled 14843 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑥)))
2723, 26mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → (-𝑥 ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2827simpld 498 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
2919, 20, 22, 28syl21anc 836 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘𝑍) → -𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3029ex 416 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝑘𝑍 → -𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3118, 30ralrimi 3144 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → ∀𝑘𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
32 breq1 5038 . . . . . . 7 (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ -𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3332ralbidv 3126 . . . . . 6 (𝑦 = -𝑥 → (∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑘𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3433rspcev 3543 . . . . 5 ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘))
3514, 31, 34syl2anc 587 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘))
3635rexlimdva2 3211 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘)))
3712, 36mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 𝑦 ≤ (𝐹𝑘))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 37climinf2 42743 1 (𝜑𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2899  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5035  dom cdm 5527  ran crn 5528  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  infcinf 8943  ℂcc 10578  ℝcr 10579  1c1 10581   + caddc 10583  ℝ*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719  -cneg 10914  ℤcz 12025  ℤ≥cuz 12287  abscabs 14646   ⇝ cli 14894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator