Theorem climinf3 44917

Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinf3.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinf3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinf3.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinf3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinf3.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climinf3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climinf3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf3.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climinf3.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		climinf3.4	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climinf3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climinf3.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
6		climinf3.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7		climinf3.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	5	ffvelcdmda 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	1, 9	ralrimia 3247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	2, 3	climbddf 44888	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
13		renegcl 11520	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℝ
16	1, 15	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
17		nfra1 3273	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥
18	16, 17	nfan 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
19		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21		rspa 3237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
22	21	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
23		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
24	8	ad4ant13 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
25		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	absled 15374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)))
27	23, 26	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
28	27	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
29	19, 20, 22, 28	syl21anc 835	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
30	29	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
31	18, 30	ralrimi 3246	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
32		breq1 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
33	32	ralbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
34	33	rspcev 3604	. . . . 5 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
35	14, 31, 34	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
36	35	rexlimdva2 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	12, 36	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 37	climinf2 44908	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ran crn 5667  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  infcinf 9432  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246  -cneg 11442  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  abscabs 15178   ⇝ cli 15425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429

This theorem is referenced by: (None)