Theorem climinf3 46159

Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climinf3.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climinf3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climinf3.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climinf3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
climinf3.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
climinf3.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
climinf3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climinf3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf3.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climinf3.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		climinf3.4	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climinf3.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climinf3.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
6		climinf3.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7		climinf3.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	5	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10	1, 9	ralrimia 3238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	2, 3	climbddf 46130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
13		renegcl 11448	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ∈ ℝ)
15		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ ℝ
16	1, 15	nfan 1906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
17		nfra1 3263	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥
18	16, 17	nfan 1906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
19		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
20		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21		rspa 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
22	21	adantll 720	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
23		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
24	8	ad4ant13 757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
25		simpllr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	absled 15386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)))
27	23, 26	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
28	27	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
29	19, 20, 22, 28	syl21anc 843	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
30	29	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝑍 → -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
31	18, 30	ralrimi 3237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
32		breq1 5075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
33	32	ralbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
34	33	rspcev 3560	. . . . 5 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 -𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
35	14, 31, 34	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
36	35	rexlimdva2 3142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	12, 36	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑘))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 37	climinf2 46150	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ inf(ran 𝐹, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  infcinf 9344  ℂcc 11027  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  abscabs 15187   ⇝ cli 15437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441

This theorem is referenced by: (None)