Theorem lsatssn0 36662

Description: A subspace (or any class) including an atom is nonzero. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatssn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatssn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatssn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatssn0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatssn0.u	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsatssn0	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Proof of Theorem lsatssn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatssn0.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lsatssn0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatssn0.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 1, 4	lsatlssel 36657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6		lsatssn0.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7	6, 2	lss0ss 19842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
8	1, 5, 7	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
9	6, 3, 1, 4	lsatn0 36659	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ { 0 })
10	9	necomd 2990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
11		df-pss 3863	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
12	8, 10, 11	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
13		lsatssn0.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑈)
14	12, 13	psssstrd 4001	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑈)
15	14	pssned 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑈)
16	15	necomd 2990	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3844   ⊊ wpss 3845  {csn 4517  ‘cfv 6340  0_gc0g 16819  LModclmod 19756  LSubSpclss 19825  LSAtomsclsa 36634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-plusg 16684  df-0g 16821  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-sbg 18227  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-lmod 19758  df-lss 19826  df-lsp 19866  df-lsatoms 36636

This theorem is referenced by:  lsatcmp2  36664