Theorem lsatssn0 39448

Description: A subspace (or any class) including an atom is nonzero. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatssn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatssn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatssn0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsatssn0.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatssn0.u	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lsatssn0	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Proof of Theorem lsatssn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatssn0.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lsatssn0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatssn0.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	2, 3, 1, 4	lsatlssel 39443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6		lsatssn0.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7	6, 2	lss0ss 20944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ 𝑄)
8	1, 5, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑄)
9	6, 3, 1, 4	lsatn0 39445	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ { 0 })
10	9	necomd 2987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑄)
11		df-pss 3909	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑄 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑄 ∧ { 0 } ≠ 𝑄))
12	8, 10, 11	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑄)
13		lsatssn0.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑈)
14	12, 13	psssstrd 4052	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊊ 𝑈)
15	14	pssned 4041	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ≠ 𝑈)
16	15	necomd 2987	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  {csn 4567  ‘cfv 6498  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSAtomsclsa 39420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lsatoms 39422

This theorem is referenced by:  lsatcmp2  39450