Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcmp2 37862
Description: If an atom is included in at-most an atom, they are equal. More general version of lsatcmp 37861. TODO: can lspsncmp 20721 shorten this? (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcmp2.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcmp2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcmp2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp2.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lsatcmp2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Proof of Theorem lsatcmp2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2 lsatcmp2.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lsatcmp2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
43adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lsatcmp2.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
65adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
7 lsatcmp2.o . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
8 lveclmod 20709 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
117, 2, 10, 6, 1lsatssn0 37860 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
12 lsatcmp2.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = { 0 }))
1312ord 862 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ = { 0 }))
1413necon1ad 2957 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  { 0 } β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ β‰  { 0 } β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
1611, 15mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
172, 4, 6, 16lsatcmp 37861 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
181, 17mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 = π‘ˆ)
1918ex 413 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ 𝑇 = π‘ˆ))
20 eqimss 4039 . 2 (𝑇 = π‘ˆ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2119, 20impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3947  {csn 4627  β€˜cfv 6540  0gc0g 17381  LModclmod 20463  LVecclvec 20705  LSAtomsclsa 37832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834
This theorem is referenced by:  mapdrvallem2  40504
  Copyright terms: Public domain W3C validator