Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcmp2 34802
Description: If an atom is included in at-most an atom, they are equal. More general version of lsatcmp 34801. TODO: can lspsncmp 19342 shorten this? (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp2.o 0 = (0g𝑊)
lsatcmp2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp2.t (𝜑𝑇𝐴)
lsatcmp2.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 = { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lsatcmp2 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp2
StepHypRef Expression
1 simpr 473 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑇𝑈)
2 lsatcmp2.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lsatcmp2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
43adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
5 lsatcmp2.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐴)
65adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑇𝐴)
7 lsatcmp2.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
8 lveclmod 19332 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
109adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
117, 2, 10, 6, 1lsatssn0 34800 . . . . . 6 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
12 lsatcmp2.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 = { 0 }))
1312ord 882 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑈𝐴𝑈 = { 0 }))
1413necon1ad 3006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } → 𝑈𝐴))
1514adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑇𝑈) → (𝑈 ≠ { 0 } → 𝑈𝐴))
1611, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑈𝐴)
172, 4, 6, 16lsatcmp 34801 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
181, 17mpbid 223 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑇 = 𝑈)
1918ex 399 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
20 eqimss 3865 . 2 (𝑇 = 𝑈𝑇𝑈)
2119, 20impbid1 216 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wss 3780  {csn 4381  cfv 6110  0gc0g 16324  LModclmod 19086  LVecclvec 19328  LSAtomsclsa 34772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-tpos 7596  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-0g 16326  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-sbg 17651  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19198  df-lvec 19329  df-lsatoms 34774
This theorem is referenced by:  mapdrvallem2  37443
  Copyright terms: Public domain W3C validator