Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcmp2 36007
Description: If an atom is included in at-most an atom, they are equal. More general version of lsatcmp 36006. TODO: can lspsncmp 19808 shorten this? (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp2.o 0 = (0g𝑊)
lsatcmp2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcmp2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcmp2.t (𝜑𝑇𝐴)
lsatcmp2.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 = { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lsatcmp2 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lsatcmp2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑇𝑈)
2 lsatcmp2.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 lsatcmp2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
5 lsatcmp2.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐴)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑇𝐴)
7 lsatcmp2.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
8 lveclmod 19798 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
117, 2, 10, 6, 1lsatssn0 36005 . . . . . 6 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑈 ≠ { 0 })
12 lsatcmp2.u . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 = { 0 }))
1312ord 860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑈𝐴𝑈 = { 0 }))
1413necon1ad 3038 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 ≠ { 0 } → 𝑈𝐴))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑇𝑈) → (𝑈 ≠ { 0 } → 𝑈𝐴))
1611, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑈𝐴)
172, 4, 6, 16lsatcmp 36006 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈) → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
181, 17mpbid 233 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈) → 𝑇 = 𝑈)
1918ex 413 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
20 eqimss 4027 . 2 (𝑇 = 𝑈𝑇𝑈)
2119, 20impbid1 226 1 (𝜑 → (𝑇𝑈𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wss 3940  {csn 4564  cfv 6352  0gc0g 16703  LModclmod 19554  LVecclvec 19794  LSAtomsclsa 35977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-drng 19424  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lsp 19664  df-lvec 19795  df-lsatoms 35979
This theorem is referenced by:  mapdrvallem2  38648
  Copyright terms: Public domain W3C validator