Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcmp2 38504
Description: If an atom is included in at-most an atom, they are equal. More general version of lsatcmp 38503. TODO: can lspsncmp 21006 shorten this? (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatcmp2.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcmp2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcmp2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
lsatcmp2.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lsatcmp2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Proof of Theorem lsatcmp2
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2 lsatcmp2.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 lsatcmp2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
43adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 lsatcmp2.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
65adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
7 lsatcmp2.o . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
8 lveclmod 20993 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
109adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
117, 2, 10, 6, 1lsatssn0 38502 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  { 0 })
12 lsatcmp2.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∨ π‘ˆ = { 0 }))
1312ord 862 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ = { 0 }))
1413necon1ad 2947 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  { 0 } β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ β‰  { 0 } β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴))
1611, 15mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
172, 4, 6, 16lsatcmp 38503 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
181, 17mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 = π‘ˆ)
1918ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ β†’ 𝑇 = π‘ˆ))
20 eqimss 4030 . 2 (𝑇 = π‘ˆ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
2119, 20impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑇 = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3939  {csn 4622  β€˜cfv 6541  0gc0g 17418  LModclmod 20745  LVecclvec 20989  LSAtomsclsa 38474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38476
This theorem is referenced by:  mapdrvallem2  41146
  Copyright terms: Public domain W3C validator