Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatcclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjatcclem1 40605
Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatcclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatcclem.l = (le‘𝐾)
dihjatcclem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatcclem.j = (join‘𝐾)
dihjatcclem.m = (meet‘𝐾)
dihjatcclem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatcclem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.s = (LSSum‘𝑈)
dihjatcclem.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.v 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
dihjatcclem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihjatcclem.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dihjatcclem.q (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
Assertion
Ref Expression
dihjatcclem1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dihjatcclem1
StepHypRef Expression
1 dihjatcclem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihjatcclem.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dihjatcclem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40297 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 lmodabl 20667 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
7 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
87lsssssubg 20717 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
10 dihjatcclem.p . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
1110simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐴)
12 dihjatcclem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 dihjatcclem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1412, 13atbase 38475 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1511, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
16 dihjatcclem.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
1712, 1, 16, 2, 7dihlss 40437 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐵) → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
183, 15, 17syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
199, 18sseldd 3983 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈))
20 dihjatcclem.v . . . . . 6 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
213simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
2221hllatd 38550 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
23 dihjatcclem.q . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
2423simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐴)
25 dihjatcclem.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
2612, 25, 13hlatjcl 38553 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
2721, 11, 24, 26syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
283simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
2912, 1lhpbase 39185 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝐵)
31 dihjatcclem.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
3212, 31latmcl 18400 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
3322, 27, 30, 32syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
3420, 33eqeltrid 2836 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐵)
3512, 1, 16, 2, 7dihlss 40437 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐼𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
363, 34, 35syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
379, 36sseldd 3983 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))
3812, 13atbase 38475 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
3924, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄𝐵)
4012, 1, 16, 2, 7dihlss 40437 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵) → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
413, 39, 40syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
429, 41sseldd 3983 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈))
43 dihjatcclem.s . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
4443lsm4 19773 . . 3 ((𝑈 ∈ Abel ∧ ((𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈)) ∧ ((𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))) → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))))
456, 19, 37, 42, 37, 44syl122anc 1378 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))))
4623simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑄 𝑊)
4746intnand 488 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑃 𝑊𝑄 𝑊))
48 dihjatcclem.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
4912, 48, 25latjle12 18410 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑄𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
5022, 15, 39, 30, 49syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
5147, 50mtbid 324 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊)
5248, 25, 13hlatlej1 38561 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
5321, 11, 24, 52syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝑃 (𝑃 𝑄))
5412, 48, 25, 31, 13, 1, 16, 2, 43dihvalcq2 40434 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑄))) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
553, 27, 51, 10, 53, 54syl122anc 1378 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
5620fveq2i 6894 . . . . . 6 (𝐼𝑉) = (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))
5756oveq2i 7423 . . . . 5 ((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)))
5855, 57eqtr4di 2789 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)))
5948, 25, 13hlatlej2 38562 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
6021, 11, 24, 59syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝑄 (𝑃 𝑄))
6112, 48, 25, 31, 13, 1, 16, 2, 43dihvalcq2 40434 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 𝑄))) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
623, 27, 51, 23, 60, 61syl122anc 1378 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
6356oveq2i 7423 . . . . 5 ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6462, 63eqtr4di 2789 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉)))
6558, 64oveq12d 7430 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))))
6612, 1, 16, 2, 7dihlss 40437 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
673, 27, 66syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
689, 67sseldd 3983 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6943lsmidm 19576 . . . 4 ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7068, 69syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7165, 70eqtr3d 2773 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7243lsmidm 19576 . . . 4 ((𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉)) = (𝐼𝑉))
7337, 72syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉)) = (𝐼𝑉))
7473oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))
7545, 71, 743eqtr3d 2779 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18271  meetcmee 18272  Latclat 18391  SubGrpcsubg 19040  LSSumclsm 19547  Abelcabl 19694  LModclmod 20618  LSubSpclss 20690  Atomscatm 38449  HLchlt 38536  LHypclh 39171  DVecHcdvh 40265  DIsoHcdih 40415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18255  df-poset 18273  df-plt 18290  df-lub 18306  df-glb 18307  df-join 18308  df-meet 18309  df-p0 18385  df-p1 18386  df-lat 18392  df-clat 18459  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-cntz 19226  df-lsm 19549  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-dvr 20296  df-drng 20506  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-lsp 20731  df-lvec 20862  df-oposet 38362  df-ol 38364  df-oml 38365  df-covers 38452  df-ats 38453  df-atl 38484  df-cvlat 38508  df-hlat 38537  df-llines 38685  df-lplanes 38686  df-lvols 38687  df-lines 38688  df-psubsp 38690  df-pmap 38691  df-padd 38983  df-lhyp 39175  df-laut 39176  df-ldil 39291  df-ltrn 39292  df-trl 39346  df-tendo 39942  df-edring 39944  df-disoa 40216  df-dvech 40266  df-dib 40326  df-dic 40360  df-dih 40416
This theorem is referenced by:  dihjatcclem2  40606
  Copyright terms: Public domain W3C validator