Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatcclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjatcclem1 38440
Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatcclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatcclem.l = (le‘𝐾)
dihjatcclem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatcclem.j = (join‘𝐾)
dihjatcclem.m = (meet‘𝐾)
dihjatcclem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatcclem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.s = (LSSum‘𝑈)
dihjatcclem.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.v 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
dihjatcclem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihjatcclem.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dihjatcclem.q (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
Assertion
Ref Expression
dihjatcclem1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dihjatcclem1
StepHypRef Expression
1 dihjatcclem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihjatcclem.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dihjatcclem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 38132 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 lmodabl 19617 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
7 eqid 2826 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
87lsssssubg 19666 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
10 dihjatcclem.p . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
1110simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐴)
12 dihjatcclem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 dihjatcclem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1412, 13atbase 36311 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1511, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
16 dihjatcclem.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
1712, 1, 16, 2, 7dihlss 38272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐵) → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
183, 15, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
199, 18sseldd 3972 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈))
20 dihjatcclem.v . . . . . 6 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
213simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
2221hllatd 36386 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
23 dihjatcclem.q . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
2423simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐴)
25 dihjatcclem.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
2612, 25, 13hlatjcl 36389 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
2721, 11, 24, 26syl3anc 1365 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
283simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
2912, 1lhpbase 37020 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝐵)
31 dihjatcclem.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
3212, 31latmcl 17657 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
3322, 27, 30, 32syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
3420, 33eqeltrid 2922 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐵)
3512, 1, 16, 2, 7dihlss 38272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐼𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
363, 34, 35syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
379, 36sseldd 3972 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))
3812, 13atbase 36311 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
3924, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄𝐵)
4012, 1, 16, 2, 7dihlss 38272 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵) → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
413, 39, 40syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
429, 41sseldd 3972 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈))
43 dihjatcclem.s . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
4443lsm4 18916 . . 3 ((𝑈 ∈ Abel ∧ ((𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈)) ∧ ((𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))) → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))))
456, 19, 37, 42, 37, 44syl122anc 1373 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))))
4623simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑄 𝑊)
4746intnand 489 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑃 𝑊𝑄 𝑊))
48 dihjatcclem.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
4912, 48, 25latjle12 17667 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑄𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
5022, 15, 39, 30, 49syl13anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
5147, 50mtbid 325 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊)
5248, 25, 13hlatlej1 36397 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
5321, 11, 24, 52syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑𝑃 (𝑃 𝑄))
5412, 48, 25, 31, 13, 1, 16, 2, 43dihvalcq2 38269 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑄))) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
553, 27, 51, 10, 53, 54syl122anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
5620fveq2i 6672 . . . . . 6 (𝐼𝑉) = (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))
5756oveq2i 7161 . . . . 5 ((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)))
5855, 57syl6eqr 2879 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)))
5948, 25, 13hlatlej2 36398 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
6021, 11, 24, 59syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑𝑄 (𝑃 𝑄))
6112, 48, 25, 31, 13, 1, 16, 2, 43dihvalcq2 38269 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 𝑄))) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
623, 27, 51, 23, 60, 61syl122anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
6356oveq2i 7161 . . . . 5 ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6462, 63syl6eqr 2879 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉)))
6558, 64oveq12d 7168 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))))
6612, 1, 16, 2, 7dihlss 38272 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
673, 27, 66syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
689, 67sseldd 3972 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6943lsmidm 18724 . . . 4 ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7068, 69syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7165, 70eqtr3d 2863 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7243lsmidm 18724 . . . 4 ((𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉)) = (𝐼𝑉))
7337, 72syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉)) = (𝐼𝑉))
7473oveq2d 7166 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))
7545, 71, 743eqtr3d 2869 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  meetcmee 17550  Latclat 17650  SubGrpcsubg 18218  LSSumclsm 18695  Abelcabl 18843  LModclmod 19570  LSubSpclss 19639  Atomscatm 36285  HLchlt 36372  LHypclh 37006  DVecHcdvh 38100  DIsoHcdih 38250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 35975
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-subg 18221  df-cntz 18392  df-lsm 18697  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-drng 19440  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-lsp 19680  df-lvec 19811  df-oposet 36198  df-ol 36200  df-oml 36201  df-covers 36288  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-llines 36520  df-lplanes 36521  df-lvols 36522  df-lines 36523  df-psubsp 36525  df-pmap 36526  df-padd 36818  df-lhyp 37010  df-laut 37011  df-ldil 37126  df-ltrn 37127  df-trl 37181  df-tendo 37777  df-edring 37779  df-disoa 38051  df-dvech 38101  df-dib 38161  df-dic 38195  df-dih 38251
This theorem is referenced by:  dihjatcclem2  38441
  Copyright terms: Public domain W3C validator