Theorem 4sqlem6 17147

Description: Lemma for 4sq 17168. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	⊢ (𝜑 → ( -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		4sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	zred 12827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		4sqlem5.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
7	3, 6	readdcld 11362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
8	4	nnrpd 13186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
9	7, 8	modcld 14039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
10		modge0 14043	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
11	7, 8, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
12	1, 9, 6, 11	lesub1dd 11956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
13		df-neg 11568	. . 3 ⊢ -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
14		4sqlem5.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
15	12, 13, 14	3brtr4g 5142	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
16		modlt 14044	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
17	7, 8, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
18	4	nncnd 12375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	18	2halvesd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
20	17, 19	breqtrrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
21	9, 6, 6	ltsubaddd 11936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
22	20, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
23	14, 22	eqbrtrid 5143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
24	15, 23	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ( -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   -cneg 11566   / cdiv 11997  ℕcn 12359  2c2 12421  ℤcz 12717  ℝ⁺crp 13144   mod cmo 14033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fl 13956  df-mod 14034

This theorem is used by:  4sqlem7  17148  4sqlem10  17151