Theorem 4sqlem6 17003

Description: Lemma for 4sq 17024. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		4sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	zred 12700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		4sqlem5.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
7	3, 6	readdcld 11238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
8	4	nnrpd 13058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
9	7, 8	modcld 13908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
10		modge0 13912	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
11	7, 8, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
12	1, 9, 6, 11	lesub1dd 11830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
13		df-neg 11444	. . 3 ⊢ -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
14		4sqlem5.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
15	12, 13, 14	3brtr4g 5147	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
16		modlt 13913	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
17	7, 8, 16	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
18	4	nncnd 12249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
19	18	2halvesd 12490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
20	17, 19	breqtrrd 5141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
21	9, 6, 6	ltsubaddd 11810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
22	20, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
23	14, 22	eqbrtrid 5148	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
24	15, 23	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13016   mod cmo 13902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13825  df-mod 13903

This theorem is referenced by:  4sqlem7  17004  4sqlem10  17007