MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem6 16858
Description: Lemma for 4sq 16879. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem6 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6
StepHypRef Expression
1 0red 11199 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 4sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
32zred 12648 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 4sqlem5.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 12209 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
65rehalfcld 12441 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 11225 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
84nnrpd 12996 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
97, 8modcld 13822 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
10 modge0 13826 . . . . 5 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
117, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
121, 9, 6, 11lesub1dd 11812 . . 3 (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
13 df-neg 11429 . . 3 -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
14 4sqlem5.4 . . 3 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1512, 13, 143brtr4g 5175 . 2 (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
16 modlt 13827 . . . . . 6 (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
177, 8, 16syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
184nncnd 12210 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
19182halvesd 12440 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
2017, 19breqtrrd 5169 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
219, 6, 6ltsubaddd 11792 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
2220, 21mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
2314, 22eqbrtrid 5176 . 2 (𝜑𝐵 < (𝑀 / 2))
2415, 23jca 512 1 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092   + caddc 11095   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426  -cneg 11427   / cdiv 11853  cn 12194  2c2 12249  cz 12540  +crp 12956   mod cmo 13816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fl 13739  df-mod 13817
This theorem is referenced by:  4sqlem7  16859  4sqlem10  16862
  Copyright terms: Public domain W3C validator