Theorem proththdlem 48186

Description: Lemma for proththd 48187. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
proththd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))

Assertion

Ref	Expression
proththdlem	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem proththdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		proththd.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
2		proththd.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3		2nn 12288	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		proththd.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
8	2, 7	nnmulcld 12263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
10		1m1e0 12287	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
11	8	nngt0d 12259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐾 · (2↑𝑁)))
12	10, 11	eqbrtrid 5134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)))
13		1red 11179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	8	nnred 12222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
15	13, 13, 14	ltsubaddd 11780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
16	12, 15	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
17	8	nncnd 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
18		pncan1 11608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
20	19	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) = ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2))
21		2z 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
23	2	nnzd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
24	7	nnzd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	3jca 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ))
26		iddvdsexp 16296	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
27	22, 5, 26	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (2↑𝑁))
28		dvdsmultr2 16315	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2 ∥ (2↑𝑁) → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁))))
29	25, 27, 28	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)))
30		nndivdvds 16278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
31	8, 4, 30	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
32	29, 31	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ)
33	20, 32	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	9, 16, 33	3jca 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
35		eleq1 2849	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ))
36		breq2 5103	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (1 < 𝑃 ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
37		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 − 1) = (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1))
38	37	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2))
39	38	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
40	35, 36, 39	3anbi123d 1456	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)))
41	34, 40	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  ℤcz 12565  ↑cexp 14071   ∥ cdvds 16269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072  df-dvds 16270

This theorem is referenced by:  proththd  48187