Theorem proththdlem 46267

Description: Lemma for proththd 46268. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
proththd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))

Assertion

Ref	Expression
proththdlem	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem proththdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		proththd.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
2		proththd.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3		2nn 12281	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		proththd.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
8	2, 7	nnmulcld 12261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
10		1m1e0 12280	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
11	8	nngt0d 12257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐾 · (2↑𝑁)))
12	10, 11	eqbrtrid 5182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)))
13		1red 11211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	8	nnred 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
15	13, 13, 14	ltsubaddd 11806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
16	12, 15	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
17	8	nncnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
18		pncan1 11634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
20	19	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) = ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2))
21		2z 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
23	2	nnzd 12581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
24	7	nnzd 12581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ))
26		iddvdsexp 16219	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
27	22, 5, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (2↑𝑁))
28		dvdsmultr2 16237	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2 ∥ (2↑𝑁) → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁))))
29	25, 27, 28	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)))
30		nndivdvds 16202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
31	8, 4, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
32	29, 31	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ)
33	20, 32	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	9, 16, 33	3jca 1128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
35		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ))
36		breq2 5151	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (1 < 𝑃 ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
37		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 − 1) = (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1))
38	37	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2))
39	38	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
40	35, 36, 39	3anbi123d 1436	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)))
41	34, 40	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  ℤcz 12554  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  proththd  46268