Theorem proththdlem 48076

Description: Lemma for proththd 48077. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
proththd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))

Assertion

Ref	Expression
proththdlem	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem proththdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		proththd.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
2		proththd.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3		2nn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		proththd.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
8	2, 7	nnmulcld 12230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
10		1m1e0 12253	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
11	8	nngt0d 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐾 · (2↑𝑁)))
12	10, 11	eqbrtrid 5120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)))
13		1red 11145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	8	nnred 12189	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
15	13, 13, 14	ltsubaddd 11746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
16	12, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
17	8	nncnd 12190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
18		pncan1 11574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
20	19	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) = ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2))
21		2z 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
23	2	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
24	7	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ))
26		iddvdsexp 16248	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
27	22, 5, 26	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (2↑𝑁))
28		dvdsmultr2 16267	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2 ∥ (2↑𝑁) → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁))))
29	25, 27, 28	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)))
30		nndivdvds 16230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
31	8, 4, 30	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ)
33	20, 32	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	9, 16, 33	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
35		eleq1 2824	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ))
36		breq2 5089	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (1 < 𝑃 ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
37		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 − 1) = (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1))
38	37	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2))
39	38	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
40	35, 36, 39	3anbi123d 1439	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)))
41	34, 40	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  proththd  48077