Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proththdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proththdlem 47012
Description: Lemma for proththd 47013. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
proththd.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
proththd.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1))
Assertion
Ref Expression
proththdlem (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘ƒ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•))

Proof of Theorem proththdlem
StepHypRef Expression
1 proththd.p . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1))
2 proththd.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
3 2nn 12310 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
43a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
5 proththd.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
65nnnn0d 12557 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
74, 6nnexpcld 14234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„•)
82, 7nnmulcld 12290 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•)
98peano2nnd 12254 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆˆ โ„•)
10 1m1e0 12309 . . . . . 6 (1 โˆ’ 1) = 0
118nngt0d 12286 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)))
1210, 11eqbrtrid 5179 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ 1) < (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)))
13 1red 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
148nnred 12252 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
1513, 13, 14ltsubaddd 11835 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1) < (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โ†” 1 < ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1)))
1612, 15mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 < ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1))
178nncnd 12253 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
18 pncan1 11663 . . . . . . 7 ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) = (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) = (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)))
2019oveq1d 7428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) / 2))
21 2z 12619 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
232nnzd 12610 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
247nnzd 12610 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
2522, 23, 243jca 1125 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค))
26 iddvdsexp 16251 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘))
2722, 5, 26syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆฅ (2โ†‘๐‘))
28 dvdsmultr2 16269 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (2โ†‘๐‘) โ†’ 2 โˆฅ (๐พ ยท (2โ†‘๐‘))))
2925, 27, 28sylc 65 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆฅ (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)))
30 nndivdvds 16234 . . . . . . 7 (((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (2 โˆฅ (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โ†” ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) / 2) โˆˆ โ„•))
318, 4, 30syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆฅ (๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) โ†” ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) / 2) โˆˆ โ„•))
3229, 31mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) / 2) โˆˆ โ„•)
3320, 32eqeltrd 2825 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
349, 16, 333jca 1125 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆง ((((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•))
35 eleq1 2813 . . . 4 (๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†” ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆˆ โ„•))
36 breq2 5148 . . . 4 (๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โ†’ (1 < ๐‘ƒ โ†” 1 < ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1)))
37 oveq1 7420 . . . . . 6 (๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1))
3837oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) / 2))
3938eleq1d 2810 . . . 4 (๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•))
4035, 36, 393anbi123d 1432 . . 3 (๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘ƒ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•) โ†” (((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆˆ โ„• โˆง 1 < ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆง ((((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)))
4134, 40syl5ibrcom 246 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐พ ยท (2โ†‘๐‘)) + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘ƒ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)))
421, 41mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง 1 < ๐‘ƒ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„คcz 12583  โ†‘cexp 14053   โˆฅ cdvds 16225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-seq 13994  df-exp 14054  df-dvds 16226
This theorem is referenced by:  proththd  47013
  Copyright terms: Public domain W3C validator