Theorem proththdlem 48047

Description: Lemma for proththd 48048. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
proththd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))

Assertion

Ref	Expression
proththdlem	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem proththdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		proththd.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
2		proththd.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3		2nn 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5		proththd.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
8	2, 7	nnmulcld 12199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
10		1m1e0 12218	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
11	8	nngt0d 12195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐾 · (2↑𝑁)))
12	10, 11	eqbrtrid 5121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)))
13		1red 11134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	8	nnred 12161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
15	13, 13, 14	ltsubaddd 11734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
16	12, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
17	8	nncnd 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
18		pncan1 11562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
20	19	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) = ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2))
21		2z 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
23	2	nnzd 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
24	7	nnzd 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ))
26		iddvdsexp 16207	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
27	22, 5, 26	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (2↑𝑁))
28		dvdsmultr2 16226	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2 ∥ (2↑𝑁) → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁))))
29	25, 27, 28	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)))
30		nndivdvds 16189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
31	8, 4, 30	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ)
33	20, 32	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	9, 16, 33	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
35		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ))
36		breq2 5090	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (1 < 𝑃 ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
37		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 − 1) = (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1))
38	37	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2))
39	38	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
40	35, 36, 39	3anbi123d 1439	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)))
41	34, 40	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
42	1, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11167   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤcz 12489  ↑cexp 13985   ∥ cdvds 16180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-seq 13926  df-exp 13986  df-dvds 16181

This theorem is referenced by:  proththd  48048