MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlt0 24209
Description: A function on a closed interval with negative derivative is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvlt0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0))
Assertion
Ref Expression
dvlt0 (𝜑𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))

Proof of Theorem dvlt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvgt0.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dvgt0.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 dvgt0.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4 dvlt0.d . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0))
5 gtso 10460 . 2 < Or ℝ
61, 2, 3, 4dvgt0lem1 24206 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∈ (-∞(,)0))
7 eliooord 12549 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∈ (-∞(,)0) → (-∞ < (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∧ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) < 0))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (-∞ < (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∧ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) < 0))
98simprd 491 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) < 0)
10 cncff 23108 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
113, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1211ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
13 simplrr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1412, 13ffvelrnd 6626 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
15 simplrl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1612, 15ffvelrnd 6626 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 10805 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
18 0red 10382 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 ∈ ℝ)
19 iccssre 12571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
201, 2, 19syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2120ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2221, 13sseldd 3822 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2321, 15sseldd 3822 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 10805 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ)
25 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
2623, 22posdifd 10964 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦𝑥)))
2725, 26mpbid 224 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦𝑥))
28 ltdivmul 11254 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑦𝑥))) → ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) < 0 ↔ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) < ((𝑦𝑥) · 0)))
2917, 18, 24, 27, 28syl112anc 1442 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) < 0 ↔ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) < ((𝑦𝑥) · 0)))
309, 29mpbid 224 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) < ((𝑦𝑥) · 0))
3124recnd 10407 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
3231mul01d 10577 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑦𝑥) · 0) = 0)
3330, 32breqtrd 4914 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) < 0)
3414, 16, 18ltsubaddd 10973 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) < 0 ↔ (𝐹𝑦) < (0 + (𝐹𝑥))))
3533, 34mpbid 224 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑦) < (0 + (𝐹𝑥)))
3616recnd 10407 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3736addid2d 10579 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 + (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
3835, 37breqtrd 4914 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑦) < (𝐹𝑥))
39 fvex 6461 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
40 fvex 6461 . . . 4 (𝐹𝑦) ∈ V
4139, 40brcnv 5552 . . 3 ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑦) < (𝐹𝑥))
4238, 41sylibr 226 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
431, 2, 3, 4, 5, 42dvgt0lem2 24207 1 (𝜑𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2107  wss 3792   class class class wbr 4888  ccnv 5356  ran crn 5358  wf 6133  cfv 6137   Isom wiso 6138  (class class class)co 6924  cr 10273  0cc0 10274   + caddc 10277   · cmul 10279  -∞cmnf 10411   < clt 10413  cmin 10608   / cdiv 11034  (,)cioo 12491  [,]cicc 12494  cnccncf 23091   D cdv 24068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-limc 24071  df-dv 24072
This theorem is referenced by:  dvne0  24215
  Copyright terms: Public domain W3C validator