sfprmdvdsmersenne - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem sfprmdvdsmersenne 47590

Description: If 𝑄 is a safe prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) for a prime 𝑃) with 𝑄≡7 (mod 8), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number M_P. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
sfprmdvdsmersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sfprmdvdsmersenne Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7))
2		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 mod 8) ∈ V
3		elprg 4648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 mod 8) ∈ V → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
5	1, 4	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7})
6		2lgs 27451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → ((2 /_L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
8		2z 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℙ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11		2re 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 ∈ ℝ)
13		2m1e1 12392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
14	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℝ)
15		prmnn 16711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
17		1lt2 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 2)
19		prmgt1 16734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
20	14, 16, 18, 19	mulgt1d 12204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < (2 · 𝑃))
21	13, 20	eqbrtrid 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) < (2 · 𝑃))
22		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
23		2nn 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ)
25	24, 15	nnmulcld 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℕ)
26	25	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
27	14, 22, 26	ltsubaddd 11859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 − 1) < (2 · 𝑃) ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
30		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
32	29, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < 𝑄)
33	12, 32	gtned 11396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ≠ 2)
34		eldifsn 4786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ≠ 2))
35	10, 33, 34	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36		lgsqrmodndvds 27397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚)))
37	8, 35, 36	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚)))
38		prmnn 16711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
39	38	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
41		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
42		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
43	15	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
44	42, 43	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
46	40, 41, 45	subadd2d 11639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 − 1) = (2 · 𝑃) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
47		prmz 16712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
48		peano2zm 12660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℤ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
50	49	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
52	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
53		2cnne0 12476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
55		divmul2 11926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
56	51, 52, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
57		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
59	46, 56, 58	3bitr4rd 312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃))
60	59	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
61		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃))
62		zsqcl 14169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
63	62	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
64	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → 2 ∈ ℤ)
65		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
67	66	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2))
68		pncan1 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 · 𝑃) ∈ ℂ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
69	44, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
70	69	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑃) / 2))
71		2ne0 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ≠ 0
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
73	43, 42, 72	divcan3d 12048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 · 𝑃) / 2) = 𝑃)
74	70, 73	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
76	67, 75	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
77	15	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ₀)
78	77	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
79	76, 78	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
80	38	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ⁺)
81	80	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℝ⁺)
82	79, 81	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺))
83	82	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺))
84		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄))
85		modexp 14277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
86	63, 64, 83, 84, 85	syl211anc 1378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
87	86	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
89		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
90	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
91	50, 89, 90	divcan2d 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
92	91	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2)))
93	92	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
94	93	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
95		zcn 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
97	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
98		2nn0 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ₀)
100	96, 97, 99	expmuld 14189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))) = ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)))
101	94, 100	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑚↑(𝑄 − 1)))
102	101	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
104		vfermltl 16839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
105	104	ad5ant245 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
106	103, 105	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = 1)
107		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
108	106, 107	eqeqan12d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) ↔ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)))
109		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
110	109	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = 1)
111	38	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ)
112		prmgt1 16734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 1 < 𝑄)
113		1mod 13943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑄) → (1 mod 𝑄) = 1)
114	111, 112, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (1 mod 𝑄) = 1)
115	114	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 1 = (1 mod 𝑄))
116	115	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑄))
117	110, 116	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄))
118	38	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℕ)
119		zexpcl 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
120	8, 77, 119	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
121	120	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
122		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 1 ∈ ℤ)
123		moddvds 16301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
124	118, 121, 122, 123	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
125	117, 124	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
126	125	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
127	126	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
128	108, 127	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
129	128	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
130	129	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
131	88, 130	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
132	131	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (¬ 𝑄 ∥ 𝑚 → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
133	132	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (¬ 𝑄 ∥ 𝑚 → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
134	133	impd 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
135	134	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
136	135	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
137	136	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
138	61, 137	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
139	60, 138	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
140	139	rexlimdv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
141	37, 140	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
142	7, 141	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
143	5, 142	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
144	143	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
145	144	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
146	145	ex 412	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑄 ∈ ℙ → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
147	146	3imp2 1350	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ∃wrex 3070 Vcvv 3480 ∖ cdif 3948 {csn 4626 {cpr 4628 class class class wbr 5143 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 < clt 11295 − cmin 11492 / cdiv 11920 ℕcn 12266 2c2 12321 7c7 12326 8c8 12327 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ℝ⁺crp 13034 mod cmo 13909 ↑cexp 14102 ∥ cdvds 16290 ℙcprime 16708 /_L clgs 27338

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233 ax-addf 11234 ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-tp 4631 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-ofr 7698 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-supp 8186 df-tpos 8251 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-2o 8507 df-oadd 8510 df-er 8745 df-ec 8747 df-qs 8751 df-map 8868 df-pm 8869 df-ixp 8938 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-fsupp 9402 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-dju 9941 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-4 12331 df-5 12332 df-6 12333 df-7 12334 df-8 12335 df-9 12336 df-n0 12527 df-xnn0 12600 df-z 12614 df-dec 12734 df-uz 12879 df-q 12991 df-rp 13035 df-ioo 13391 df-ico 13393 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-mod 13910 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14313 df-hash 14370 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-clim 15524 df-prod 15940 df-dvds 16291 df-gcd 16532 df-prm 16709 df-phi 16803 df-pc 16875 df-struct 17184 df-sets 17201 df-slot 17219 df-ndx 17231 df-base 17248 df-ress 17275 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-0g 17486 df-gsum 17487 df-prds 17492 df-pws 17494 df-imas 17553 df-qus 17554 df-mre 17629 df-mrc 17630 df-acs 17632 df-mgm 18653 df-sgrp 18732 df-mnd 18748 df-mhm 18796 df-submnd 18797 df-grp 18954 df-minusg 18955 df-sbg 18956 df-mulg 19086 df-subg 19141 df-nsg 19142 df-eqg 19143 df-ghm 19231 df-cntz 19335 df-cmn 19800 df-abl 19801 df-mgp 20138 df-rng 20150 df-ur 20179 df-srg 20184 df-ring 20232 df-cring 20233 df-oppr 20334 df-dvdsr 20357 df-unit 20358 df-invr 20388 df-dvr 20401 df-rhm 20472 df-nzr 20513 df-subrng 20546 df-subrg 20570 df-rlreg 20694 df-domn 20695 df-idom 20696 df-drng 20731 df-field 20732 df-lmod 20860 df-lss 20930 df-lsp 20970 df-sra 21172 df-rgmod 21173 df-lidl 21218 df-rsp 21219 df-2idl 21260 df-cnfld 21365 df-zring 21458 df-zrh 21514 df-zn 21517 df-assa 21873 df-asp 21874 df-ascl 21875 df-psr 21929 df-mvr 21930 df-mpl 21931 df-opsr 21933 df-evls 22098 df-evl 22099 df-psr1 22181 df-vr1 22182 df-ply1 22183 df-coe1 22184 df-evl1 22320 df-mdeg 26094 df-deg1 26095 df-mon1 26170 df-uc1p 26171 df-q1p 26172 df-r1p 26173 df-lgs 27339

This theorem is referenced by: sgprmdvdsmersenne 47591

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