sfprmdvdsmersenne - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem sfprmdvdsmersenne 48388

Description: If 𝑄 is a safe prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) for a prime 𝑃) with 𝑄≡7 (mod 8), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number M_P. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
sfprmdvdsmersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sfprmdvdsmersenne Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7))
2		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 mod 8) ∈ V
3		elprg 4614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 mod 8) ∈ V → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
4	2, 3	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
5	1, 4	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7})
6		2lgs 27600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → ((2 /_L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
8		2z 12637	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℙ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11		2re 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 ∈ ℝ)
13		2m1e1 12376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
14	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℝ)
15		prmnn 16749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
17		1lt2 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 2)
19		prmgt1 16773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
20	14, 16, 18, 19	mulgt1d 12162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < (2 · 𝑃))
21	13, 20	eqbrtrid 5148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) < (2 · 𝑃))
22		1red 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
23		2nn 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ)
25	24, 15	nnmulcld 12300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℕ)
26	25	nnred 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
27	14, 22, 26	ltsubaddd 11821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 − 1) < (2 · 𝑃) ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
28	21, 27	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
30		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
32	29, 31	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < 𝑄)
33	12, 32	gtned 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ≠ 2)
34		eldifsn 4755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ≠ 2))
35	10, 33, 34	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36		lgsqrmodndvds 27546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚)))
37	8, 35, 36	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚)))
38		prmnn 16749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
39	38	nncnd 12260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
41		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
42		2cnd 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
43	15	nncnd 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
44	42, 43	mulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
46	40, 41, 45	subadd2d 11599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 − 1) = (2 · 𝑃) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
47		prmz 16750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
48		peano2zm 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℤ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
50	49	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
52	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
53		2cnne0 12464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
55		divmul2 11887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
56	51, 52, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
57		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
59	46, 56, 58	3bitr4rd 315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃))
60	59	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
61		oveq2 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃))
62		zsqcl 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
63	62	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
64	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → 2 ∈ ℤ)
65		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
67	66	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2))
68		pncan1 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 · 𝑃) ∈ ℂ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
69	44, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
70	69	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑃) / 2))
71		2ne0 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ≠ 0
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
73	43, 42, 72	divcan3d 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 · 𝑃) / 2) = 𝑃)
74	70, 73	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
75	74	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
76	67, 75	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
77	15	nnnn0d 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ₀)
78	77	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
79	76, 78	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
80	38	nnrpd 13069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ⁺)
81	80	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℝ⁺)
82	79, 81	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺))
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺))
84		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄))
85		modexp 14287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
86	63, 64, 83, 84, 85	syl211anc 1403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
87	86	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
88	87	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
89		2cnd 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
90	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
91	50, 89, 90	divcan2d 12004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
92	91	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2)))
93	92	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
94	93	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
95		zcn 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
96	95	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
97	79	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
98		2nn0 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ₀)
100	96, 97, 99	expmuld 14198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))) = ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)))
101	94, 100	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑚↑(𝑄 − 1)))
102	101	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
104		vfermltl 16878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
105	104	ad5ant245 1384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
106	103, 105	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = 1)
107		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
108	106, 107	eqeqan12d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) ↔ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)))
109		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
110	109	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = 1)
111	38	nnred 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ)
112		prmgt1 16773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 1 < 𝑄)
113		1mod 13949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑄) → (1 mod 𝑄) = 1)
114	111, 112, 113	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (1 mod 𝑄) = 1)
115	114	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 1 = (1 mod 𝑄))
116	115	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑄))
117	110, 116	sylan9eqr 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄))
118	38	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℕ)
119		zexpcl 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
120	8, 77, 119	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
121	120	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
122		1zzd 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 1 ∈ ℤ)
123		moddvds 16338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
124	118, 121, 122, 123	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
125	117, 124	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
126	125	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
127	126	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
128	108, 127	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
129	128	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
130	129	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
131	88, 130	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
132	131	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (¬ 𝑄 ∥ 𝑚 → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
133	132	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (¬ 𝑄 ∥ 𝑚 → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
134	133	impd 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
135	134	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
136	135	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
137	136	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
138	61, 137	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
139	60, 138	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
140	139	rexlimdv 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
141	37, 140	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
142	7, 141	sylbird 263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
143	5, 142	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
144	143	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
145	144	com23 87	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
146	145	ex 418	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑄 ∈ ℙ → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
147	146	3imp2 1368	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∃wrex 3091 Vcvv 3457 ∖ cdif 3903 {csn 4591 {cpr 4593 class class class wbr 5111 (class class class)co 7416 ℂcc 11109 ℝcr 11110 0cc0 11111 1c1 11112 + caddc 11114 · cmul 11116 < clt 11254 − cmin 11452 / cdiv 11882 ℕcn 12244 2c2 12306 7c7 12311 8c8 12312 ℕ₀cn0 12515 ℤcz 12602 ℝ⁺crp 13027 mod cmo 13915 ↑cexp 14110 ∥ cdvds 16327 ℙcprime 16746 /_L clgs 27487

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7738 ax-inf2 9613 ax-cnex 11167 ax-resscn 11168 ax-1cn 11169 ax-icn 11170 ax-addcl 11171 ax-addrcl 11172 ax-mulcl 11173 ax-mulrcl 11174 ax-mulcom 11175 ax-addass 11176 ax-mulass 11177 ax-distr 11178 ax-i2m1 11179 ax-1ne0 11180 ax-1rid 11181 ax-rnegex 11182 ax-rrecex 11183 ax-cnre 11184 ax-pre-lttri 11185 ax-pre-lttrn 11186 ax-pre-ltadd 11187 ax-pre-mulgt0 11188 ax-pre-sup 11189 ax-addf 11190 ax-mulf 11191

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7680 df-ofr 7681 df-om 7865 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8159 df-tpos 8224 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-2o 8456 df-oadd 8459 df-er 8696 df-ec 8698 df-qs 8702 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9325 df-sup 9405 df-inf 9406 df-oi 9475 df-dju 9899 df-card 9937 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11454 df-neg 11455 df-div 11883 df-nn 12245 df-2 12314 df-3 12315 df-4 12316 df-5 12317 df-6 12318 df-7 12319 df-8 12320 df-9 12321 df-n0 12516 df-xnn0 12589 df-z 12603 df-dec 12723 df-uz 12874 df-q 12984 df-rp 13028 df-ioo 13387 df-ico 13389 df-fz 13547 df-fzo 13695 df-fl 13838 df-mod 13916 df-seq 14051 df-exp 14111 df-fac 14323 df-hash 14380 df-cj 15169 df-re 15170 df-im 15171 df-sqrt 15305 df-abs 15306 df-clim 15558 df-prod 15976 df-dvds 16328 df-gcd 16570 df-prm 16747 df-phi 16842 df-pc 16914 df-struct 17224 df-sets 17241 df-slot 17259 df-ndx 17271 df-base 17287 df-ress 17308 df-plusg 17340 df-mulr 17341 df-starv 17342 df-sca 17343 df-vsca 17344 df-ip 17345 df-tset 17346 df-ple 17347 df-ds 17349 df-unif 17350 df-hom 17351 df-cco 17352 df-0g 17511 df-gsum 17512 df-prds 17517 df-pws 17519 df-imas 17579 df-qus 17580 df-mre 17655 df-mrc 17656 df-acs 17658 df-mgm 18715 df-sgrp 18798 df-mnd 18814 df-mhm 18864 df-submnd 18865 df-grp 19026 df-minusg 19027 df-sbg 19028 df-mulg 19157 df-subg 19212 df-nsg 19213 df-eqg 19214 df-ghm 19307 df-cntz 19410 df-cmn 19875 df-abl 19876 df-mgp 20240 df-rng 20254 df-ur 20287 df-srg 20292 df-ring 20340 df-cring 20341 df-oppr 20444 df-dvdsr 20464 df-unit 20465 df-invr 20495 df-dvr 20508 df-rhm 20579 df-nzr 20639 df-subrng 20674 df-subrg 20698 df-rlreg 20822 df-domn 20823 df-idom 20824 df-drng 20858 df-field 20859 df-lmod 21012 df-lss 21082 df-lsp 21122 df-sra 21323 df-rgmod 21324 df-lidl 21361 df-rsp 21362 df-2idl 21418 df-cnfld 21552 df-zring 21626 df-zrh 21682 df-zn 21685 df-assa 22032 df-asp 22033 df-ascl 22034 df-psr 22088 df-mvr 22089 df-mpl 22090 df-opsr 22092 df-evls 22254 df-evl 22255 df-psr1 22369 df-vr1 22370 df-ply1 22371 df-coe1 22372 df-evl1 22505 df-mdeg 26241 df-deg1 26242 df-mon1 26317 df-uc1p 26318 df-q1p 26319 df-r1p 26320 df-lgs 27488

This theorem is used by: sgprmdvdsmersenne 48389

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