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Theorem sfprmdvdsmersenne 42128
Description: If 𝑄 is a safe prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) for a prime 𝑃) with 𝑄≡7 (mod 8), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number MP. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
sfprmdvdsmersenne ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sfprmdvdsmersenne
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 olc 894 . . . . . . 7 ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7))
2 ovex 6874 . . . . . . . 8 (𝑄 mod 8) ∈ V
3 elprg 4355 . . . . . . . 8 ((𝑄 mod 8) ∈ V → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
51, 4mpbird 248 . . . . . 6 ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7})
6 2lgs 25423 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
76ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
8 2z 11656 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
9 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℙ)
109adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11 2re 11346 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 ∈ ℝ)
13 2m1e1 11405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 − 1) = 1
1411a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℝ)
15 prmnn 15670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1615nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
17 1lt2 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 2)
19 prmgt1 15691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2014, 16, 18, 19mulgt1d 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < (2 · 𝑃))
2113, 20syl5eqbr 4844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) < (2 · 𝑃))
22 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
23 2nn 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ)
2524, 15nnmulcld 11325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℕ)
2625nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
2714, 22, 26ltsubaddd 10877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 − 1) < (2 · 𝑃) ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
2821, 27mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
2928ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
30 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
3229, 31mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < 𝑄)
3312, 32gtned 10426 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ≠ 2)
34 eldifsn 4472 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ≠ 2))
3510, 33, 34sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36 lgsqrmodndvds 25369 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚)))
378, 35, 36sylancr 581 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚)))
38 prmnn 15670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
3938nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
41 1cnd 10288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
42 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
4315nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
4442, 43mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
4640, 41, 45subadd2d 10665 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 − 1) = (2 · 𝑃) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
47 prmz 15671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ ℤ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
5049zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
5243adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
53 2cnne0 11488 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
55 divmul2 10943 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
5651, 52, 54, 55syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
57 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
5946, 56, 583bitr4rd 303 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃))
6059biimpa 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
61 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃))
62 zsqcl 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
6362ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → 2 ∈ ℤ)
65 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
6766oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2))
68 pncan1 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 · 𝑃) ∈ ℂ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
6944, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℙ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
7069oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑃) / 2))
71 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
7343, 42, 72divcan3d 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 · 𝑃) / 2) = 𝑃)
7470, 73eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
7574ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
7667, 75eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
7715nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
7877ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7976, 78eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
8038nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ+)
8180ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℝ+)
8279, 81jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+))
8382ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+))
84 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄))
85 modexp 13206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
8663, 64, 83, 84, 85syl211anc 1495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
8786ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
89 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑄 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
9071a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑄 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
9150, 89, 90divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑄 ∈ ℙ → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
9291eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2)))
9392oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
9493ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
95 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
9779adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
98 2nn0 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ∈ ℕ0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
10096, 97, 99expmuld 13218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))) = ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)))
10194, 100eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑚↑(𝑄 − 1)))
102101oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
104 vfermltl 15787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
105104ad5ant245 1470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
106103, 105eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = 1)
107 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
108106, 107eqeqan12d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) ↔ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)))
109 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
110109eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = 1)
11138nnred 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ)
112 prmgt1 15691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → 1 < 𝑄)
113 1mod 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑄) → (1 mod 𝑄) = 1)
114111, 112, 113syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 ∈ ℙ → (1 mod 𝑄) = 1)
115114eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄 ∈ ℙ → 1 = (1 mod 𝑄))
116115ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑄))
117110, 116sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄))
11838ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℕ)
119 zexpcl 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
1208, 77, 119sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
121120ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
122 1zzd 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 1 ∈ ℤ)
123 moddvds 15278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
124118, 121, 122, 123syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
125117, 124mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
126125ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
127126ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
128108, 127sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
129128ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
130129com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
13188, 130syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
132131ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (¬ 𝑄𝑚 → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
133132com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (¬ 𝑄𝑚 → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
134133impd 398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
135134com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
136135ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
13861, 137syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
13960, 138mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
140139rexlimdv 3177 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
14137, 140syld 47 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
1427, 141sylbird 251 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
1435, 142syl5 34 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
144143ex 401 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
145144com23 86 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
146145ex 401 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑄 ∈ ℙ → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
1471463imp2 1458 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  7c7 11332  8c8 11333  0cn0 11538  cz 11624  +crp 12028   mod cmo 12876  cexp 13067  cdvds 15267  cprime 15667   /L clgs 25310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-prod 14921  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-phi 15752  df-pc 15823  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-prds 16376  df-pws 16378  df-imas 16436  df-qus 16437  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-nsg 17858  df-eqg 17859  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-field 19019  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-nzr 19532  df-rlreg 19557  df-domn 19558  df-idom 19559  df-assa 19586  df-asp 19587  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-evls 19779  df-evl 19780  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-coe1 19826  df-evl1 19954  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128  df-mdeg 24106  df-deg1 24107  df-mon1 24181  df-uc1p 24182  df-q1p 24183  df-r1p 24184  df-lgs 25311
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  42129
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