Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sfprmdvdsmersenne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sfprmdvdsmersenne 46571
Description: If ๐‘„ is a safe prime (i.e. ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) for a prime ๐‘ƒ) with ๐‘„โ‰ก7 (mod 8), then ๐‘„ divides the ๐‘ƒ-th Mersenne number MP. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
sfprmdvdsmersenne ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘„ mod 8) = 7 โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1))) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))

Proof of Theorem sfprmdvdsmersenne
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 olc 864 . . . . . . 7 ((๐‘„ mod 8) = 7 โ†’ ((๐‘„ mod 8) = 1 โˆจ (๐‘„ mod 8) = 7))
2 ovex 7446 . . . . . . . 8 (๐‘„ mod 8) โˆˆ V
3 elprg 4650 . . . . . . . 8 ((๐‘„ mod 8) โˆˆ V โ†’ ((๐‘„ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” ((๐‘„ mod 8) = 1 โˆจ (๐‘„ mod 8) = 7)))
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 ((๐‘„ mod 8) = 7 โ†’ ((๐‘„ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” ((๐‘„ mod 8) = 1 โˆจ (๐‘„ mod 8) = 7)))
51, 4mpbird 256 . . . . . 6 ((๐‘„ mod 8) = 7 โ†’ (๐‘„ mod 8) โˆˆ {1, 7})
6 2lgs 27144 . . . . . . . 8 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 /L ๐‘„) = 1 โ†” (๐‘„ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
76ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((2 /L ๐‘„) = 1 โ†” (๐‘„ mod 8) โˆˆ {1, 7}))
8 2z 12600 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
9 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
109adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
11 2re 12292 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
13 2m1e1 12344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆ’ 1) = 1
1411a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
15 prmnn 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1615nnred 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
17 1lt2 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < 2)
19 prmgt1 16640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
2014, 16, 18, 19mulgt1d 12156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < (2 ยท ๐‘ƒ))
2113, 20eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (2 โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ))
22 1red 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
23 2nn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„•
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
2524, 15nnmulcld 12271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
2625nnred 12233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
2714, 22, 26ltsubaddd 11816 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 โˆ’ 1) < (2 ยท ๐‘ƒ) โ†” 2 < ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)))
2821, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 < ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1))
2928ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ 2 < ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1))
30 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†’ (2 < ๐‘„ โ†” 2 < ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)))
3130adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ (2 < ๐‘„ โ†” 2 < ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)))
3229, 31mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ 2 < ๐‘„)
3312, 32gtned 11355 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ๐‘„ โ‰  2)
34 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โ‰  2))
3510, 33, 34sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
36 lgsqrmodndvds 27090 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ((2 /L ๐‘„) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š)))
378, 35, 36sylancr 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((2 /L ๐‘„) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š)))
38 prmnn 16617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
3938nncnd 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
41 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
42 2cnd 12296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4315nncnd 12234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
4442, 43mulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
4640, 41, 45subadd2d 11596 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ƒ) โ†” ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) = ๐‘„))
47 prmz 16618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
48 peano2zm 12611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘„ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
5049zcnd 12673 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5243adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
53 2cnne0 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
55 divmul2 11882 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘„ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ โ†” (๐‘„ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ƒ)))
5651, 52, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ โ†” (๐‘„ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ƒ)))
57 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) = ๐‘„)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) = ๐‘„))
5946, 56, 583bitr4rd 311 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†” ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ))
6059biimpa 475 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ)
61 oveq2 7421 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ โ†’ (2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ))
62 zsqcl 14100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
6362ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„)) โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
65 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1))
6665adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1))
6766oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ((((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1) / 2))
68 pncan1 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ƒ))
6944, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ƒ))
7069oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘ƒ) / 2))
71 2ne0 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 โ‰  0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โ‰  0)
7343, 42, 72divcan3d 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((2 ยท ๐‘ƒ) / 2) = ๐‘ƒ)
7470, 73eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ)
7574ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ)
7667, 75eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ)
7715nnnn0d 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
7877ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
7976, 78eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
8038nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„+)
8180ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„+)
8279, 81jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ (((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„+))
8382ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„)) โ†’ (((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„+))
84 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„)) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„))
85 modexp 14207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โˆง (((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„+) โˆง ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„)) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„))
8663, 64, 83, 84, 85syl211anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„)) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„))
8786ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„)))
8887adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„)))
89 2cnd 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9071a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ 2 โ‰  0)
9150, 89, 90divcan2d 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ (2 ยท ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘„ โˆ’ 1))
9291eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘„ โˆ’ 1) = (2 ยท ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)))
9392oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘šโ†‘(๐‘„ โˆ’ 1)) = (๐‘šโ†‘(2 ยท ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2))))
9493ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘šโ†‘(๐‘„ โˆ’ 1)) = (๐‘šโ†‘(2 ยท ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2))))
95 zcn 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
9695adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
9779adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
98 2nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 โˆˆ โ„•0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
10096, 97, 99expmuld 14120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘šโ†‘(2 ยท ((๐‘„ โˆ’ 1) / 2))) = ((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)))
10194, 100eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘šโ†‘(๐‘„ โˆ’ 1)))
102101oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((๐‘šโ†‘(๐‘„ โˆ’ 1)) mod ๐‘„))
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((๐‘šโ†‘(๐‘„ โˆ’ 1)) mod ๐‘„))
104 vfermltl 16740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ((๐‘šโ†‘(๐‘„ โˆ’ 1)) mod ๐‘„) = 1)
105104ad5ant245 1359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ((๐‘šโ†‘(๐‘„ โˆ’ 1)) mod ๐‘„) = 1)
106103, 105eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ (((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = 1)
107 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„))
108106, 107eqeqan12d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โˆง (2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ)) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) โ†” 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„)))
109 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) โ†’ 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„))
110109eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) = 1)
11138nnred 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
112 prmgt1 16640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘„)
113 1mod 13874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘„) โ†’ (1 mod ๐‘„) = 1)
114111, 112, 113syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ (1 mod ๐‘„) = 1)
115114eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 = (1 mod ๐‘„))
116115ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 = (1 mod ๐‘„))
117110, 116sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„)) โ†’ ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) = (1 mod ๐‘„))
11838ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
119 zexpcl 14048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
1208, 77, 119sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
121120ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„)) โ†’ (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
122 1zzd 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
123 moddvds 16214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (2โ†‘๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) = (1 mod ๐‘„) โ†” ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
124118, 121, 122, 123syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„)) โ†’ (((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) = (1 mod ๐‘„) โ†” ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
125117, 124mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง 1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„)) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
126125ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
127126ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โˆง (2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ)) โ†’ (1 = ((2โ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘„) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
128108, 127sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โˆง (2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ)) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
129128ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
130129com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2)โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) = ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘„) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
13188, 130syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
132131ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š โ†’ (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))))
133132com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โ†’ (ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))))
134133impd 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
135134com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
136135ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((2โ†‘((๐‘„ โˆ’ 1) / 2)) = (2โ†‘๐‘ƒ) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))))
13861, 137syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ (((๐‘„ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))))
13960, 138mpd 15 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ((((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
140139rexlimdv 3151 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘„) = (2 mod ๐‘„) โˆง ยฌ ๐‘„ โˆฅ ๐‘š) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
14137, 140syld 47 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((2 /L ๐‘„) = 1 โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
1427, 141sylbird 259 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((๐‘„ mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
1435, 142syl5 34 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1)) โ†’ ((๐‘„ mod 8) = 7 โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))
144143ex 411 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†’ ((๐‘„ mod 8) = 7 โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
145144com23 86 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘„ mod 8) = 7 โ†’ (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))))
146145ex 411 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘„ mod 8) = 7 โ†’ (๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1)))))
1471463imp2 1347 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘„ mod 8) = 7 โˆง ๐‘„ = ((2 ยท ๐‘ƒ) + 1))) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ((2โ†‘๐‘ƒ) โˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11254   โˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  โ„•cn 12218  2c2 12273  7c7 12278  8c8 12279  โ„•0cn0 12478  โ„คcz 12564  โ„+crp 12980   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14033   โˆฅ cdvds 16203  โ„™cprime 16614   /L clgs 27031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-phi 16705  df-pc 16776  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-nsg 19042  df-eqg 19043  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-srg 20083  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-rhm 20365  df-nzr 20406  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-field 20505  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-lidl 20934  df-rsp 20935  df-2idl 21008  df-rlreg 21101  df-domn 21102  df-idom 21103  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zrh 21274  df-zn 21277  df-assa 21629  df-asp 21630  df-ascl 21631  df-psr 21683  df-mvr 21684  df-mpl 21685  df-opsr 21687  df-evls 21856  df-evl 21857  df-psr1 21925  df-vr1 21926  df-ply1 21927  df-coe1 21928  df-evl1 22057  df-mdeg 25804  df-deg1 25805  df-mon1 25882  df-uc1p 25883  df-q1p 25884  df-r1p 25885  df-lgs 27032
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  46572
  Copyright terms: Public domain W3C validator