sfprmdvdsmersenne - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem sfprmdvdsmersenne 47528

Description: If 𝑄 is a safe prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) for a prime 𝑃) with 𝑄≡7 (mod 8), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number M_P. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
sfprmdvdsmersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sfprmdvdsmersenne Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7))
2		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 mod 8) ∈ V
3		elprg 4653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 mod 8) ∈ V → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
5	1, 4	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7})
6		2lgs 27466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → ((2 /_L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
8		2z 12647	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℙ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11		2re 12338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 ∈ ℝ)
13		2m1e1 12390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 − 1) = 1
14	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℝ)
15		prmnn 16708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
17		1lt2 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 2)
19		prmgt1 16731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
20	14, 16, 18, 19	mulgt1d 12202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < (2 · 𝑃))
21	13, 20	eqbrtrid 5183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) < (2 · 𝑃))
22		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
23		2nn 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ)
25	24, 15	nnmulcld 12317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℕ)
26	25	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
27	14, 22, 26	ltsubaddd 11857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 − 1) < (2 · 𝑃) ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
30		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
32	29, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < 𝑄)
33	12, 32	gtned 11394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ≠ 2)
34		eldifsn 4791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ≠ 2))
35	10, 33, 34	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36		lgsqrmodndvds 27412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚)))
37	8, 35, 36	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚)))
38		prmnn 16708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
39	38	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
41		1cnd 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
42		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
43	15	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
44	42, 43	mulcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
46	40, 41, 45	subadd2d 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 − 1) = (2 · 𝑃) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
47		prmz 16709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
48		peano2zm 12658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℤ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
50	49	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
52	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
53		2cnne0 12474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
55		divmul2 11924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
56	51, 52, 54, 55	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
57		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
59	46, 56, 58	3bitr4rd 312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃))
60	59	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
61		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃))
62		zsqcl 14166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
63	62	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
64	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → 2 ∈ ℤ)
65		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
67	66	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2))
68		pncan1 11685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 · 𝑃) ∈ ℂ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
69	44, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
70	69	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑃) / 2))
71		2ne0 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ≠ 0
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
73	43, 42, 72	divcan3d 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 · 𝑃) / 2) = 𝑃)
74	70, 73	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
76	67, 75	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
77	15	nnnn0d 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ₀)
78	77	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
79	76, 78	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
80	38	nnrpd 13073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ⁺)
81	80	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℝ⁺)
82	79, 81	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺))
83	82	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺))
84		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄))
85		modexp 14274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑄 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
86	63, 64, 83, 84, 85	syl211anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
87	86	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
89		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
90	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
91	50, 89, 90	divcan2d 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
92	91	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2)))
93	92	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
94	93	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
95		zcn 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
97	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
98		2nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ₀)
100	96, 97, 99	expmuld 14186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))) = ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)))
101	94, 100	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑚↑(𝑄 − 1)))
102	101	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
104		vfermltl 16835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
105	104	ad5ant245 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
106	103, 105	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = 1)
107		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
108	106, 107	eqeqan12d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) ↔ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)))
109		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
110	109	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = 1)
111	38	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ)
112		prmgt1 16731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 1 < 𝑄)
113		1mod 13940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑄) → (1 mod 𝑄) = 1)
114	111, 112, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → (1 mod 𝑄) = 1)
115	114	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 1 = (1 mod 𝑄))
116	115	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑄))
117	110, 116	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄))
118	38	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℕ)
119		zexpcl 14114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
120	8, 77, 119	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
121	120	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
122		1zzd 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 1 ∈ ℤ)
123		moddvds 16298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
124	118, 121, 122, 123	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
125	117, 124	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
126	125	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
127	126	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
128	108, 127	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
129	128	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
130	129	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
131	88, 130	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
132	131	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (¬ 𝑄 ∥ 𝑚 → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
133	132	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (¬ 𝑄 ∥ 𝑚 → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
134	133	impd 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
135	134	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
136	135	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
137	136	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
138	61, 137	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
139	60, 138	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
140	139	rexlimdv 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄 ∥ 𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
141	37, 140	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /_L 𝑄) = 1 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
142	7, 141	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
143	5, 142	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
144	143	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
145	144	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
146	145	ex 412	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑄 ∈ ℙ → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
147	146	3imp2 1348	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 ∃wrex 3068 Vcvv 3478 ∖ cdif 3960 {csn 4631 {cpr 4633 class class class wbr 5148 (class class class)co 7431 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 < clt 11293 − cmin 11490 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 7c7 12324 8c8 12325 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℝ⁺crp 13032 mod cmo 13906 ↑cexp 14099 ∥ cdvds 16287 ℙcprime 16705 /_L clgs 27353

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231 ax-addf 11232 ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-tp 4636 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-ofr 7698 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-supp 8185 df-tpos 8250 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-2o 8506 df-oadd 8509 df-er 8744 df-ec 8746 df-qs 8750 df-map 8867 df-pm 8868 df-ixp 8937 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-fsupp 9400 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-dju 9939 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-xnn0 12598 df-z 12612 df-dec 12732 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-ioo 13388 df-ico 13390 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-mod 13907 df-seq 14040 df-exp 14100 df-fac 14310 df-hash 14367 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-clim 15521 df-prod 15937 df-dvds 16288 df-gcd 16529 df-prm 16706 df-phi 16800 df-pc 16871 df-struct 17181 df-sets 17198 df-slot 17216 df-ndx 17228 df-base 17246 df-ress 17275 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-hom 17322 df-cco 17323 df-0g 17488 df-gsum 17489 df-prds 17494 df-pws 17496 df-imas 17555 df-qus 17556 df-mre 17631 df-mrc 17632 df-acs 17634 df-mgm 18666 df-sgrp 18745 df-mnd 18761 df-mhm 18809 df-submnd 18810 df-grp 18967 df-minusg 18968 df-sbg 18969 df-mulg 19099 df-subg 19154 df-nsg 19155 df-eqg 19156 df-ghm 19244 df-cntz 19348 df-cmn 19815 df-abl 19816 df-mgp 20153 df-rng 20171 df-ur 20200 df-srg 20205 df-ring 20253 df-cring 20254 df-oppr 20351 df-dvdsr 20374 df-unit 20375 df-invr 20405 df-dvr 20418 df-rhm 20489 df-nzr 20530 df-subrng 20563 df-subrg 20587 df-rlreg 20711 df-domn 20712 df-idom 20713 df-drng 20748 df-field 20749 df-lmod 20877 df-lss 20948 df-lsp 20988 df-sra 21190 df-rgmod 21191 df-lidl 21236 df-rsp 21237 df-2idl 21278 df-cnfld 21383 df-zring 21476 df-zrh 21532 df-zn 21535 df-assa 21891 df-asp 21892 df-ascl 21893 df-psr 21947 df-mvr 21948 df-mpl 21949 df-opsr 21951 df-evls 22116 df-evl 22117 df-psr1 22197 df-vr1 22198 df-ply1 22199 df-coe1 22200 df-evl1 22336 df-mdeg 26109 df-deg1 26110 df-mon1 26185 df-uc1p 26186 df-q1p 26187 df-r1p 26188 df-lgs 27354

This theorem is referenced by: sgprmdvdsmersenne 47529

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