Theorem m1modge3gt1 13971

Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modge3gt1	⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑀))

Proof of Theorem m1modge3gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 12420	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
2		2p1e3 12437	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
3		eluzle 12918	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
4	2, 3	eqbrtrid 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
5		2z 12677	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		eluzelz 12915	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		zltp1le 12695	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
8	5, 6, 7	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
9	4, 8	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑀)
10	1, 9	eqbrtrid 5201	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 + 1) < 𝑀)
11		1red 11293	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12916	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	11, 11, 12	ltaddsub2d 11893	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → ((1 + 1) < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 − 1)))
14	10, 13	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (𝑀 − 1))
15		eluzge3nn 12957	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		m1modnnsub1 13970	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
18	14, 17	breqtrrd 5194	1 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  1c1 11187   + caddc 11189   < clt 11326   ≤ cle 11327   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕcn 12295  2c2 12350  3c3 12351  ℤcz 12641  ℤ_≥cuz 12905   mod cmo 13922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-fl 13845  df-mod 13923

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  27428