Theorem m1modge3gt1 13825

Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modge3gt1	⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑀))

Proof of Theorem m1modge3gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 12248	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
2		2p1e3 12265	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
3		eluzle 12748	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑀)
4	2, 3	eqbrtrid 5127	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
5		2z 12507	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		eluzelz 12745	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		zltp1le 12525	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝑀 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑀))
9	4, 8	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑀)
10	1, 9	eqbrtrid 5127	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 + 1) < 𝑀)
11		1red 11116	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℝ)
12		eluzelre 12746	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	11, 11, 12	ltaddsub2d 11721	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → ((1 + 1) < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 − 1)))
14	10, 13	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (𝑀 − 1))
15		eluz3nn 12790	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		m1modnnsub1 13824	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
18	14, 17	breqtrrd 5120	1 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  -cneg 11348  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735   mod cmo 13773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696  df-mod 13774

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  27273