Theorem m1modnnsub1 13935

Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnnsub1	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem m1modnnsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11235	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nnrp 13020	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
3		negmod 13934	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
5		nnre 12247	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		peano2rem 11550	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
8		nnm1ge0 12661	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀 − 1))
9	5	ltm1d 12174	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
10		modid 13913	. . 3 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
11	7, 2, 8, 9, 10	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
12	4, 11	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  -cneg 11467  ℕcn 12240  ℝ⁺crp 13008   mod cmo 13886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809  df-mod 13887

This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  13936  fmtnoprmfac1lem  47578  gpgedgvtx0  48065