Theorem negmod 13972

Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Proof of Theorem negmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13045	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		recn 11208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		negsub 11524	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
5	4	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
6	5	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
7	1	mullidd 11245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
9	8	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
10	9	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
11		1cnd 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
12		mulcl 11202	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
13	11, 1, 12	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		renegcl 11539	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
17	13, 16	addcomd 11430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (-𝐴 + (1 · 𝑁)))
18	17	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁))
19	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ+)
21		1zzd 12643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		modcyc 13959	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
24	18, 23	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
25	6, 10, 24	3eqtr2rd 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  -cneg 11460  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923

This theorem is used by:  m1modnnsub1  13973  gausslemma2dlem5a  27571  ceildivmod  48123  submodlt  48134