Theorem negmod 14039

Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Proof of Theorem negmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13112	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		recn 11271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		negsub 11587	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
5	4	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
6	5	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
7	1	mullidd 11308	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
9	8	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
10	9	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
11		1cnd 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
12		mulcl 11265	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
13	11, 1, 12	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		renegcl 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
17	13, 16	addcomd 11493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (-𝐴 + (1 · 𝑁)))
18	17	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁))
19	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ+)
21		1zzd 12708	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		modcyc 14026	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
24	18, 23	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
25	6, 10, 24	3eqtr2rd 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  -cneg 11523  ℤcz 12674  ℝ⁺crp 13101   mod cmo 13989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990

This theorem is used by:  m1modnnsub1  14040  gausslemma2dlem5a  27679  ceildivmod  48359  submodlt  48370