Theorem negmod 13926

Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Proof of Theorem negmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13001	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		recn 11160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		negsub 11476	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
5	4	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
6	5	oveq1d 7407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
7	1	mullidd 11197	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
8	7	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
9	8	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
10	9	oveq1d 7407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
11		1cnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
12		mulcl 11154	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
13	11, 1, 12	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		renegcl 11491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
17	13, 16	addcomd 11382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (-𝐴 + (1 · 𝑁)))
18	17	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁))
19	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ+)
21		1zzd 12599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		modcyc 13913	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
24	18, 23	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
25	6, 10, 24	3eqtr2rd 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   − cmin 11411  -cneg 11412  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990   mod cmo 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fl 13799  df-mod 13877

This theorem is referenced by:  m1modnnsub1  13927  gausslemma2dlem5a  27411  ceildivmod  47903  submodlt  47914