Theorem negmod 13741

Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Proof of Theorem negmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12845	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		recn 11066	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		negsub 11374	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁 − 𝐴))
5	4	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
6	5	oveq1d 7356	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
7	1	mulid2d 11098	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
8	7	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
9	8	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
10	9	oveq1d 7356	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
11		1cnd 11075	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
12		mulcl 11060	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
13	11, 1, 12	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		renegcl 11389	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11108	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
17	13, 16	addcomd 11282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (-𝐴 + (1 · 𝑁)))
18	17	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁))
19	14	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
20		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ+)
21		1zzd 12456	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		modcyc 13731	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
24	18, 23	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
25	6, 10, 24	3eqtr2rd 2784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁 − 𝐴) mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7341  ℂcc 10974  ℝcr 10975  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981   − cmin 11310  -cneg 11311  ℤcz 12424  ℝ⁺crp 12835   mod cmo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-sup 9303  df-inf 9304  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-fl 13617  df-mod 13695

This theorem is referenced by:  m1modnnsub1  13742  gausslemma2dlem5a  26623