MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negmod 12916
Description: The negation of a number modulo a positive number is equal to the difference of the modulus and the number modulo the modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
negmod ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁𝐴) mod 𝑁))

Proof of Theorem negmod
StepHypRef Expression
1 rpcn 12037 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℂ)
2 recn 10226 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 negsub 10529 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁𝐴))
41, 2, 3syl2anr 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁 + -𝐴) = (𝑁𝐴))
54eqcomd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝑁𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
65oveq1d 6806 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
71mulid2d 10258 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
87adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
98oveq1d 6806 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (𝑁 + -𝐴))
109oveq1d 6806 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((𝑁 + -𝐴) mod 𝑁))
11 1cnd 10256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
12 mulcl 10220 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
1311, 1, 12syl2an 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 · 𝑁) ∈ ℂ)
14 renegcl 10544 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 10268 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
1615adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℂ)
1713, 16addcomd 10438 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝑁) + -𝐴) = (-𝐴 + (1 · 𝑁)))
1817oveq1d 6806 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁))
1914adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
20 simpr 471 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ+)
21 1zzd 11608 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22 modcyc 12906 . . . 4 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1476 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((-𝐴 + (1 · 𝑁)) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
2418, 23eqtrd 2805 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((1 · 𝑁) + -𝐴) mod 𝑁) = (-𝐴 mod 𝑁))
256, 10, 243eqtr2rd 2812 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (-𝐴 mod 𝑁) = ((𝑁𝐴) mod 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  cmin 10466  -cneg 10467  cz 11577  +crp 12028   mod cmo 12869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12794  df-mod 12870
This theorem is referenced by:  m1modnnsub1  12917  gausslemma2dlem5a  25309
  Copyright terms: Public domain W3C validator