Theorem mbfi1flim 25952

Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1flim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfi1flim	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = (𝐹‘𝑦))
2	1	mpteq2ia 5200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦))
3		mbfi1flim.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
5		mbfi1flim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
6	4, 5	eqeltrrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ MblFn)
7	2, 6	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8		fvex 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
9		c0ex 11225	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
10	8, 9	ifex 4533	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V)
12	7, 11	mbfdm2 25866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
13		mblss 25760	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		rembl 25769	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17		eldifn 4079	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
19	18	iffalsed 4493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = 0)
20	14, 16, 11, 19, 7	mbfss 25875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
21	3	ffvelcdmda 7078	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22		0red 11236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
23	21, 22	ifclda 4518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
25	24	fmpttd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
26	20, 25	mbfi1flimlem 25951	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
27		ssralv 4000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
28	14, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
29	14	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		eleq1w 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
31		fveq2 6879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
32	30, 31	ifbieq1d 4507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
33		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))
34		fvex 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
35	34, 9	ifex 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
36	32, 33, 35	fvmpt 6987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
37	29, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
38		iftrue 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
39	38	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
41	40	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
42	41	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
43	28, 42	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
44	43	anim2d 624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
45	44	eximdv 1950	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
46	26, 45	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℝcr 11124  0cc0 11125  ℕcn 12258   ⇝ cli 15572  volcvol 25692  MblFncmbf 25843  ∫₁citg1 25844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-rest 17508  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172  df-cmp 23613  df-ovol 25693  df-vol 25694  df-mbf 25848  df-itg1 25849  df-0p 25899

This theorem is used by:  mbfmullem  25954