Theorem mbfi1flim 25692

Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1flim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfi1flim	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = (𝐹‘𝑦))
2	1	mpteq2ia 5195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦))
3		mbfi1flim.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
5		mbfi1flim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
6	4, 5	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ MblFn)
7	2, 6	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
9		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
10	8, 9	ifex 4532	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V)
12	7, 11	mbfdm2 25606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
13		mblss 25500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		rembl 25509	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17		eldifn 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
19	18	iffalsed 4492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = 0)
20	14, 16, 11, 19, 7	mbfss 25615	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
21	3	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22		0red 11147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
23	21, 22	ifclda 4517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
25	24	fmpttd 7069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
26	20, 25	mbfi1flimlem 25691	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
27		ssralv 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
28	14, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
29	14	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
31		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
32	30, 31	ifbieq1d 4506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))
34		fvex 6855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
35	34, 9	ifex 4532	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
36	32, 33, 35	fvmpt 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
37	29, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
38		iftrue 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
41	40	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
42	41	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
43	28, 42	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
44	43	anim2d 613	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
45	44	eximdv 1919	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
46	26, 45	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  0cc0 11038  ℕcn 12157   ⇝ cli 15419  volcvol 25432  MblFncmbf 25583  ∫₁citg1 25584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cmp 23343  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-0p 25639

This theorem is referenced by:  mbfmullem  25694