Theorem mbfi1flim 25624

Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1flim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfi1flim	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = (𝐹‘𝑦))
2	1	mpteq2ia 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦))
3		mbfi1flim.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
5		mbfi1flim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
6	4, 5	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ MblFn)
7	2, 6	eqeltrid 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8		fvex 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
9		c0ex 11168	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
10	8, 9	ifex 4539	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V)
12	7, 11	mbfdm2 25538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
13		mblss 25432	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		rembl 25441	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17		eldifn 4095	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
19	18	iffalsed 4499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = 0)
20	14, 16, 11, 19, 7	mbfss 25547	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
21	3	ffvelcdmda 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22		0red 11177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
23	21, 22	ifclda 4524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
25	24	fmpttd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
26	20, 25	mbfi1flimlem 25623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
27		ssralv 4015	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
28	14, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
29	14	sselda 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
31		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
32	30, 31	ifbieq1d 4513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
33		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))
34		fvex 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
35	34, 9	ifex 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
36	32, 33, 35	fvmpt 6968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
37	29, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
38		iftrue 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
41	40	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
42	41	ralbidva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
43	28, 42	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
44	43	anim2d 612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
45	44	eximdv 1917	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
46	26, 45	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  0cc0 11068  ℕcn 12186   ⇝ cli 15450  volcvol 25364  MblFncmbf 25515  ∫₁citg1 25516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cmp 23274  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-0p 25571

This theorem is referenced by:  mbfmullem  25626