MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1flim 24993
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4483 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = (𝐹𝑦))
21mpteq2ia 5199 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦))
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43feqmptd 6897 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
64, 5eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
72, 6eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8 fvex 6842 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ∈ V
9 c0ex 11074 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9ifex 4527 . . . . . . 7 if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V)
127, 11mbfdm2 24906 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
13 mblss 24800 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 rembl 24809 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17 eldifn 4078 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
1817adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
1918iffalsed 4488 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = 0)
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 24915 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
213ffvelcdmda 7021 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
22 0red 11083 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2321, 22ifclda 4512 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2524fmpttd 7049 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
2620, 25mbfi1flimlem 24992 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
27 ssralv 4001 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2814, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2914sselda 3935 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
31 fveq2 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3230, 31ifbieq1d 4501 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
33 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))
34 fvex 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
3534, 9ifex 4527 . . . . . . . . . 10 if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6935 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
38 iftrue 4483 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
4037, 39eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4140breq2d 5108 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4241ralbidva 3169 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4328, 42sylibd 238 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4443anim2d 613 . . 3 (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4544eximdv 1920 . 2 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4626, 45mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3442  cdif 3898  wss 3901  ifcif 4477   class class class wbr 5096  cmpt 5179  dom cdm 5624  wf 6479  cfv 6483  cr 10975  0cc0 10976  cn 12078  cli 15292  volcvol 24732  MblFncmbf 24883  1citg1 24884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-ofr 7600  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-dju 9762  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-rest 17230  df-topgen 17251  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-top 22148  df-topon 22165  df-bases 22201  df-cmp 22643  df-ovol 24733  df-vol 24734  df-mbf 24888  df-itg1 24889  df-0p 24939
This theorem is referenced by:  mbfmullem  24995
  Copyright terms: Public domain W3C validator