MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1flim 24327
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4431 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = (𝐹𝑦))
21mpteq2ia 5121 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦))
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43feqmptd 6708 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
64, 5eqeltrrd 2891 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
72, 6eqeltrid 2894 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8 fvex 6658 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ∈ V
9 c0ex 10624 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9ifex 4473 . . . . . . 7 if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V)
127, 11mbfdm2 24241 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
13 mblss 24135 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 rembl 24144 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17 eldifn 4055 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
1817adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
1918iffalsed 4436 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = 0)
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 24250 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
213ffvelrnda 6828 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
22 0red 10633 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2321, 22ifclda 4459 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2423adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2524fmpttd 6856 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
2620, 25mbfi1flimlem 24326 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
27 ssralv 3981 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2814, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2914sselda 3915 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 eleq1w 2872 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
31 fveq2 6645 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3230, 31ifbieq1d 4448 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
33 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))
34 fvex 6658 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
3534, 9ifex 4473 . . . . . . . . . 10 if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6745 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
38 iftrue 4431 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
3938adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
4037, 39eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4140breq2d 5042 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4241ralbidva 3161 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4328, 42sylibd 242 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4443anim2d 614 . . 3 (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4544eximdv 1918 . 2 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4626, 45mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2111  wral 3106  Vcvv 3441  cdif 3878  wss 3881  ifcif 4425   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5519  wf 6320  cfv 6324  cr 10525  0cc0 10526  cn 11625  cli 14833  volcvol 24067  MblFncmbf 24218  1citg1 24219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cmp 21992  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-0p 24274
This theorem is referenced by:  mbfmullem  24329
  Copyright terms: Public domain W3C validator