MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1flim 25241
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,π‘₯,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑔,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4535 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = (πΉβ€˜π‘¦))
21mpteq2ia 5252 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
43feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
64, 5eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
72, 6eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
8 fvex 6905 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
9 c0ex 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9ifex 4579 . . . . . . 7 if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V)
127, 11mbfdm2 25154 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
13 mblss 25048 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
15 rembl 25057 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
17 eldifn 4128 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
1817adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
1918iffalsed 4540 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = 0)
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 25163 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
213ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
22 0red 11217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
2321, 22ifclda 4564 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
2524fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)):β„βŸΆβ„)
2620, 25mbfi1flimlem 25240 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
27 ssralv 4051 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
2814, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
2914sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
30 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
31 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
3230, 31ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
34 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
3534, 9ifex 4579 . . . . . . . . . 10 if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
38 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
4037, 39eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4140breq2d 5161 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4241ralbidva 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4328, 42sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4443anim2d 613 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
4544eximdv 1921 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
4626, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„cr 11109  0cc0 11110  β„•cn 12212   ⇝ cli 15428  volcvol 24980  MblFncmbf 25131  βˆ«1citg1 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-0p 25187
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25243
  Copyright terms: Public domain W3C validator