MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1flim 25744
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4539 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = (𝐹𝑦))
21mpteq2ia 5256 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦))
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43feqmptd 6971 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
64, 5eqeltrrd 2827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
72, 6eqeltrid 2830 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8 fvex 6914 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ∈ V
9 c0ex 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9ifex 4583 . . . . . . 7 if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V)
127, 11mbfdm2 25657 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
13 mblss 25551 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 rembl 25560 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17 eldifn 4127 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
1817adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
1918iffalsed 4544 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = 0)
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 25666 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
213ffvelcdmda 7098 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
22 0red 11267 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2321, 22ifclda 4568 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2423adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2524fmpttd 7129 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
2620, 25mbfi1flimlem 25743 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
27 ssralv 4048 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2814, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2914sselda 3979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 eleq1w 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
31 fveq2 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3230, 31ifbieq1d 4557 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
33 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))
34 fvex 6914 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
3534, 9ifex 4583 . . . . . . . . . 10 if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 7009 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
38 iftrue 4539 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
3938adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
4037, 39eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4140breq2d 5165 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4241ralbidva 3166 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4328, 42sylibd 238 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4443anim2d 610 . . 3 (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4544eximdv 1913 . 2 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4626, 45mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4533   class class class wbr 5153  cmpt 5236  dom cdm 5682  wf 6550  cfv 6554  cr 11157  0cc0 11158  cn 12264  cli 15486  volcvol 25483  MblFncmbf 25634  1citg1 25635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cmp 23382  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-0p 25690
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25746
  Copyright terms: Public domain W3C validator