Theorem mbfi1flim 25933

Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1flim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfi1flim	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = (𝐹‘𝑦))
2	1	mpteq2ia 5208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦))
3		mbfi1flim.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
5		mbfi1flim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
6	4, 5	eqeltrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ MblFn)
7	2, 6	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
9		c0ex 11215	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
10	8, 9	ifex 4540	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V)
12	7, 11	mbfdm2 25847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
13		mblss 25741	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		rembl 25750	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17		eldifn 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
19	18	iffalsed 4500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = 0)
20	14, 16, 11, 19, 7	mbfss 25856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
21	3	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22		0red 11226	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
23	21, 22	ifclda 4525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
25	24	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
26	20, 25	mbfi1flimlem 25932	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
27		ssralv 4007	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
28	14, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
29	14	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
31		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
32	30, 31	ifbieq1d 4514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
33		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))
34		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
35	34, 9	ifex 4540	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
36	32, 33, 35	fvmpt 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
37	29, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
38		iftrue 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
39	38	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
41	40	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
42	41	ralbidva 3188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
43	28, 42	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
44	43	anim2d 624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
45	44	eximdv 1950	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
46	26, 45	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11114  0cc0 11115  ℕcn 12248   ⇝ cli 15559  volcvol 25673  MblFncmbf 25824  ∫₁citg1 25825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-rest 17497  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-cmp 23594  df-ovol 25674  df-vol 25675  df-mbf 25829  df-itg1 25830  df-0p 25880

This theorem is used by:  mbfmullem  25935