Theorem mbfi1flim 25708

Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfi1flim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfi1flim	⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = (𝐹‘𝑦))
2	1	mpteq2ia 5167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦))
3		mbfi1flim.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4	3	feqmptd 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)))
5		mbfi1flim.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
6	4, 5	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑦)) ∈ MblFn)
7	2, 6	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8		fvex 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) ∈ V
9		c0ex 11129	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
10	8, 9	ifex 4505	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ V)
12	7, 11	mbfdm2 25622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
13		mblss 25516	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
15		rembl 25525	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ dom vol
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17		eldifn 4062	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
19	18	iffalsed 4465	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = 0)
20	14, 16, 11, 19, 7	mbfss 25631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) ∈ MblFn)
21	3	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
22		0red 11138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
23	21, 22	ifclda 4490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) ∈ ℝ)
25	24	fmpttd 7056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
26	20, 25	mbfi1flimlem 25707	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
27		ssralv 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
28	14, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)))
29	14	sselda 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
31		fveq2 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
32	30, 31	ifbieq1d 4479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
33		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))
34		fvex 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
35	34, 9	ifex 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
36	32, 33, 35	fvmpt 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
37	29, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
38		iftrue 4460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
41	40	breq2d 5084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
42	41	ralbidva 3160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
43	28, 42	sylibd 240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))
44	43	anim2d 618	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
45	44	eximdv 1924	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))))
46	26, 45	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4454   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  ℝcr 11028  0cc0 11029  ℕcn 12165   ⇝ cli 15437  volcvol 25448  MblFncmbf 25599  ∫₁citg1 25600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cmp 23370  df-ovol 25449  df-vol 25450  df-mbf 25604  df-itg1 25605  df-0p 25655

This theorem is referenced by:  mbfmullem  25710