MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1flim 25248
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,π‘₯,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑔,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4534 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = (πΉβ€˜π‘¦))
21mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
43feqmptd 6960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
64, 5eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
72, 6eqeltrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
8 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
9 c0ex 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9ifex 4578 . . . . . . 7 if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V)
127, 11mbfdm2 25161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
13 mblss 25055 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
15 rembl 25064 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
17 eldifn 4127 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
1817adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
1918iffalsed 4539 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = 0)
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 25170 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
213ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
22 0red 11219 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
2321, 22ifclda 4563 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
2524fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)):β„βŸΆβ„)
2620, 25mbfi1flimlem 25247 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
27 ssralv 4050 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
2814, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
2914sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
30 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
31 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
3230, 31ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
33 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
34 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
3534, 9ifex 4578 . . . . . . . . . 10 if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
38 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
4037, 39eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4140breq2d 5160 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4241ralbidva 3175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4328, 42sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4443anim2d 612 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
4544eximdv 1920 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
4626, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11111  0cc0 11112  β„•cn 12214   ⇝ cli 15430  volcvol 24987  MblFncmbf 25138  βˆ«1citg1 25139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-0p 25194
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25250
  Copyright terms: Public domain W3C validator