MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1flim 25111
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,π‘₯,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑔,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4496 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = (πΉβ€˜π‘¦))
21mpteq2ia 5212 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
43feqmptd 6914 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
64, 5eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ MblFn)
72, 6eqeltrid 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
8 fvex 6859 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
9 c0ex 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9ifex 4540 . . . . . . 7 if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ V)
127, 11mbfdm2 25024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
13 mblss 24918 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
15 rembl 24927 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
17 eldifn 4091 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
1817adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
1918iffalsed 4501 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = 0)
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 25033 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) ∈ MblFn)
213ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
22 0red 11166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
2321, 22ifclda 4525 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) ∈ ℝ)
2524fmpttd 7067 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)):β„βŸΆβ„)
2620, 25mbfi1flimlem 25110 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
27 ssralv 4014 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
2814, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)))
2914sselda 3948 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
30 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
31 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
3230, 31ifbieq1d 4514 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))
34 fvex 6859 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
3534, 9ifex 4540 . . . . . . . . . 10 if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6952 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
38 iftrue 4496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
4037, 39eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4140breq2d 5121 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4241ralbidva 3169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4328, 42sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
4443anim2d 613 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
4544eximdv 1921 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘¦), 0))β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))))
4626, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  β„cr 11058  0cc0 11059  β„•cn 12161   ⇝ cli 15375  volcvol 24850  MblFncmbf 25001  βˆ«1citg1 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25113
  Copyright terms: Public domain W3C validator