MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1flim 25088
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1flim.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑛,𝑥,𝐴   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝜑,𝑔,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mbfi1flim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = (𝐹𝑦))
21mpteq2ia 5208 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦))
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
43feqmptd 6910 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
64, 5eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
72, 6eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
8 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ∈ V
9 c0ex 11149 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9ifex 4536 . . . . . . 7 if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ V)
127, 11mbfdm2 25001 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
13 mblss 24895 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
15 rembl 24904 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
17 eldifn 4087 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
1817adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑦𝐴)
1918iffalsed 4497 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = 0)
2014, 16, 11, 19, 7mbfss 25010 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) ∈ MblFn)
213ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
22 0red 11158 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2321, 22ifclda 4521 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) ∈ ℝ)
2524fmpttd 7063 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)):ℝ⟶ℝ)
2620, 25mbfi1flimlem 25087 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
27 ssralv 4010 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2814, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)))
2914sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
31 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3230, 31ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
33 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))
34 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
3534, 9ifex 4536 . . . . . . . . . 10 if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
3729, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
38 iftrue 4492 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
4037, 39eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4140breq2d 5117 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4241ralbidva 3172 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4328, 42sylibd 238 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4443anim2d 612 . . 3 (𝜑 → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4544eximdv 1920 . 2 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝐴, (𝐹𝑦), 0))‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))))
4626, 45mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  cr 11050  0cc0 11051  cn 12153  cli 15366  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  1citg1 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25090
  Copyright terms: Public domain W3C validator