Theorem itgge0 26111

Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgge0.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
itgge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgz 26081	. 2 ⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = 0
2		fconstmpt 5713	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)
3		itgge0.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
4		iblmbf 26068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6		itgge0.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	mbfdm2 25938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
8		ibl0 26087	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
10	2, 9	eqeltrrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0) ∈ 𝐿1)
11		0red 11292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12		itgge0.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13	10, 3, 11, 6, 12	itgle 26110	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴0 d𝑥 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)
14	1, 13	eqbrtrrid 5141	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651  ℝcr 11180  0cc0 11181   ≤ cle 11325  volcvol 25764  MblFncmbf 25915  𝐿¹cibl 25918  ∫citg 25919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xadd 13223  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-xmet 21651  df-met 21652  df-ovol 25765  df-vol 25766  df-mbf 25920  df-itg1 25921  df-itg2 25922  df-ibl 25923  df-itg 25924  df-0p 25971

This theorem is used by:  itgabs  26135  areaf  27271  fdvposle  35213  itgabsnc  38575  fourierdlem47  47107