MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgge0 25753
Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgge0.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgge0.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgge0.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
itgge0 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgge0
StepHypRef Expression
1 itgz 25723 . 2 𝐴0 d𝑥 = 0
2 fconstmpt 5740 . . . 4 (𝐴 × {0}) = (𝑥𝐴 ↦ 0)
3 itgge0.1 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
4 iblmbf 25710 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
6 itgge0.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6mbfdm2 25579 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
8 ibl0 25729 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
102, 9eqeltrrid 2834 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ 0) ∈ 𝐿1)
11 0red 11248 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12 itgge0.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
1310, 3, 11, 6, 12itgle 25752 . 2 (𝜑 → ∫𝐴0 d𝑥 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)
141, 13eqbrtrrid 5184 1 (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  {csn 4629   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5676  dom cdm 5678  cr 11138  0cc0 11139  cle 11280  volcvol 25405  MblFncmbf 25556  𝐿1cibl 25559  citg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612
This theorem is referenced by:  itgabs  25777  areaf  26906  fdvposle  34233  itgabsnc  37162  fourierdlem47  45541
  Copyright terms: Public domain W3C validator