Theorem itgge0 25749

Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgge0.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
itgge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgz 25719	. 2 ⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = 0
2		fconstmpt 5683	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)
3		itgge0.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
4		iblmbf 25705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6		itgge0.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	mbfdm2 25575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
8		ibl0 25725	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ 𝐿1)
10	2, 9	eqeltrrid 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0) ∈ 𝐿1)
11		0red 11125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
12		itgge0.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13	10, 3, 11, 6, 12	itgle 25748	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴0 d𝑥 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)
14	1, 13	eqbrtrrid 5131	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴𝐵 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  {csn 4577   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  dom cdm 5621  ℝcr 11015  0cc0 11016   ≤ cle 11157  volcvol 25401  MblFncmbf 25552  𝐿¹cibl 25555  ∫citg 25556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094  ax-addf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xadd 13022  df-ioo 13259  df-ico 13261  df-icc 13262  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-clim 15405  df-sum 15604  df-xmet 21294  df-met 21295  df-ovol 25402  df-vol 25403  df-mbf 25557  df-itg1 25558  df-itg2 25559  df-ibl 25560  df-itg 25561  df-0p 25608

This theorem is referenced by:  itgabs  25773  areaf  26908  fdvposle  34625  itgabsnc  37739  fourierdlem47  46265