MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfpos 25531
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfpos.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfpos (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11209 . . . . . . 7 0 ∈ V
21fvconst2 7200 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
32adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
4 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5 mbfpos.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
76fvmpt2 7002 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
84, 5, 7syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
93, 8breq12d 5154 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ 𝐡))
109, 8, 3ifbieq12d 4551 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
1110mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
12 0re 11217 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6774 . . . 4 (𝐴 Γ— {0}):π΄βŸΆβ„
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {0}):π΄βŸΆβ„)
15 mbfpos.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
1615, 5mbfdm2 25517 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
17 0cnd 11208 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
18 mbfconst 25513 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {0}) ∈ MblFn)
1916, 17, 18syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {0}) ∈ MblFn)
205fmpttd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
21 nfcv 2897 . . . 4 Ⅎ𝑦if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))
22 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)
23 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯ ≀
24 nffvmpt1 6895 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
2522, 23, 24nfbr 5188 . . . . 5 β„²π‘₯((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
2625, 24, 22nfif 4553 . . . 4 β„²π‘₯if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦))
27 fveq2 6884 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦))
28 fveq2 6884 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦))
2927, 28breq12d 5154 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)))
3029, 28, 27ifbieq12d 4551 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)) = if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)))
3121, 26, 30cbvmpt 5252 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)))
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 25529 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
3311, 32eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   ≀ cle 11250  volcvol 25343  MblFncmbf 25494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21229  df-met 21230  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499
This theorem is referenced by:  mbfposb  25533  mbfi1flimlem  25603  itgreval  25677  ibladdlem  25700  iblabslem  25708  mbfposadd  37046  ibladdnclem  37055  iblabsnclem  37062  itgmulc2nclem2  37066
  Copyright terms: Public domain W3C validator