MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfpos 23759
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfpos.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfpos (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 10322 . . . . . . 7 0 ∈ V
21fvconst2 6698 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
32adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
4 simpr 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
5 mbfpos.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 eqid 2799 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
76fvmpt2 6516 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
84, 5, 7syl2anc 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
93, 8breq12d 4856 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐵))
109, 8, 3ifbieq12d 4304 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
1110mpteq2dva 4937 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)))
12 0re 10330 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6310 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ)
15 mbfpos.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1615, 5mbfdm2 23745 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
17 0cnd 10321 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
18 mbfconst 23741 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
1916, 17, 18syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
205fmpttd 6611 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
21 nfcv 2941 . . . 4 𝑦if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))
22 nfcv 2941 . . . . . 6 𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦)
23 nfcv 2941 . . . . . 6 𝑥
24 nffvmpt1 6422 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
2522, 23, 24nfbr 4890 . . . . 5 𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
2625, 24, 22nfif 4306 . . . 4 𝑥if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦))
27 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑦))
28 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
2927, 28breq12d 4856 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
3029, 28, 27ifbieq12d 4304 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
3121, 26, 30cbvmpt 4942 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑦𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 23757 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) ∈ MblFn)
3311, 32eqeltrrd 2879 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  ifcif 4277  {csn 4368   class class class wbr 4843  cmpt 4922   × cxp 5310  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  cle 10364  volcvol 23571  MblFncmbf 23722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xadd 12194  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-xmet 20061  df-met 20062  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-mbf 23727
This theorem is referenced by:  mbfposb  23761  mbfi1flimlem  23830  itgreval  23904  ibladdlem  23927  iblabslem  23935  mbfposadd  33945  ibladdnclem  33954  iblabsnclem  33961  itgmulc2nclem2  33965
  Copyright terms: Public domain W3C validator