MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfpos 25031
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfpos.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfpos (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11156 . . . . . . 7 0 ∈ V
21fvconst2 7158 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
32adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5 mbfpos.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
76fvmpt2 6964 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
84, 5, 7syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
93, 8breq12d 5123 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ 𝐡))
109, 8, 3ifbieq12d 4519 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
1110mpteq2dva 5210 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
12 0re 11164 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6737 . . . 4 (𝐴 Γ— {0}):π΄βŸΆβ„
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {0}):π΄βŸΆβ„)
15 mbfpos.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
1615, 5mbfdm2 25017 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
17 0cnd 11155 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
18 mbfconst 25013 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {0}) ∈ MblFn)
1916, 17, 18syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {0}) ∈ MblFn)
205fmpttd 7068 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
21 nfcv 2908 . . . 4 Ⅎ𝑦if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))
22 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘₯((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)
23 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘₯ ≀
24 nffvmpt1 6858 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
2522, 23, 24nfbr 5157 . . . . 5 β„²π‘₯((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
2625, 24, 22nfif 4521 . . . 4 β„²π‘₯if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦))
27 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦))
28 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦))
2927, 28breq12d 5123 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)))
3029, 28, 27ifbieq12d 4519 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)) = if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)))
3121, 26, 30cbvmpt 5221 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)))
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 25029 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
3311, 32eqeltrrd 2839 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   ≀ cle 11197  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  mbfposb  25033  mbfi1flimlem  25103  itgreval  25177  ibladdlem  25200  iblabslem  25208  mbfposadd  36154  ibladdnclem  36163  iblabsnclem  36170  itgmulc2nclem2  36174
  Copyright terms: Public domain W3C validator