Theorem mbfpos 25620

Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfpos.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfpos.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfpos	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfpos

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11138	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fvconst2 7160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		mbfpos.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐵))
10	9, 8, 3	ifbieq12d 4510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
11	10	mpteq2dva 5193	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)))
12		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6732	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ)
15		mbfpos.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
16	15, 5	mbfdm2 25606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
17		0cnd 11137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
18		mbfconst 25602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
19	16, 17, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
20	5	fmpttd 7069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
21		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))
22		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦)
23		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
24		nffvmpt1 6853	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
25	22, 23, 24	nfbr 5147	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
26	25, 24, 22	nfif 4512	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦))
27		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑦))
28		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
29	27, 28	breq12d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)))
30	29, 28, 27	ifbieq12d 4510	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
31	21, 26, 30	cbvmpt 5202	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
32	14, 19, 20, 15, 31	mbfmax 25618	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	11, 32	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179  volcvol 25432  MblFncmbf 25583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588

This theorem is referenced by:  mbfposb  25622  mbfi1flimlem  25691  itgreval  25766  ibladdlem  25789  iblabslem  25797  mbfposadd  37915  ibladdnclem  37924  iblabsnclem  37931  itgmulc2nclem2  37935