Theorem mbfpos 25618

Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfpos.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfpos.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfpos	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfpos

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11138	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fvconst2 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		mbfpos.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	breq12d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐵))
10	9, 8, 3	ifbieq12d 4495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
11	10	mpteq2dva 5178	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)))
12		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6730	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ)
15		mbfpos.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
16	15, 5	mbfdm2 25604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
17		0cnd 11137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
18		mbfconst 25600	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
19	16, 17, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
20	5	fmpttd 7067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
21		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))
22		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦)
23		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
24		nffvmpt1 6851	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
25	22, 23, 24	nfbr 5132	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
26	25, 24, 22	nfif 4497	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦))
27		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑦))
28		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
29	27, 28	breq12d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)))
30	29, 28, 27	ifbieq12d 4495	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
31	21, 26, 30	cbvmpt 5187	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
32	14, 19, 20, 15, 31	mbfmax 25616	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	11, 32	eqeltrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11180  volcvol 25430  MblFncmbf 25581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586

This theorem is referenced by:  mbfposb  25620  mbfi1flimlem  25689  itgreval  25764  ibladdlem  25787  iblabslem  25795  mbfposadd  37988  ibladdnclem  37997  iblabsnclem  38004  itgmulc2nclem2  38008