Theorem mbfpos 25791

Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfpos.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfpos.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfpos	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfpos

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11201	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	fvconst2 7204	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
3	2	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
4		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		mbfpos.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fvmpt2 7003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
8	4, 5, 7	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
9	3, 8	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐵))
10	9, 8, 3	ifbieq12d 4517	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
11	10	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)))
12		0re 11211	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6770	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ)
15		mbfpos.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
16	15, 5	mbfdm2 25777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
17		0cnd 11200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
18		mbfconst 25773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
19	16, 17, 18	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
20	5	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℝ)
21		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))
22		nfcv 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦)
23		nfcv 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
24		nffvmpt1 6894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
25	22, 23, 24	nfbr 5159	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
26	25, 24, 22	nfif 4519	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦))
27		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑦))
28		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
29	27, 28	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)))
30	29, 28, 27	ifbieq12d 4517	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
31	21, 26, 30	cbvmpt 5214	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
32	14, 19, 20, 15, 31	mbfmax 25789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) ∈ MblFn)
33	11, 32	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4488  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  dom cdm 5663  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   ≤ cle 11245  volcvol 25603  MblFncmbf 25754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xadd 13139  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-xmet 21496  df-met 21497  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759

This theorem is referenced by:  mbfposb  25793  mbfi1flimlem  25862  itgreval  25937  ibladdlem  25960  iblabslem  25968  mbfposadd  38299  ibladdnclem  38308  iblabsnclem  38315  itgmulc2nclem2  38319