MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfpos 25593
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfpos.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfpos (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11239 . . . . . . 7 0 ∈ V
21fvconst2 7216 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
32adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
4 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5 mbfpos.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
76fvmpt2 7016 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
84, 5, 7syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
93, 8breq12d 5161 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ 0 ≀ 𝐡))
109, 8, 3ifbieq12d 4557 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
1110mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
12 0re 11247 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6787 . . . 4 (𝐴 Γ— {0}):π΄βŸΆβ„
1413a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {0}):π΄βŸΆβ„)
15 mbfpos.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
1615, 5mbfdm2 25579 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
17 0cnd 11238 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
18 mbfconst 25575 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Γ— {0}) ∈ MblFn)
1916, 17, 18syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {0}) ∈ MblFn)
205fmpttd 7125 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
21 nfcv 2899 . . . 4 Ⅎ𝑦if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))
22 nfcv 2899 . . . . . 6 β„²π‘₯((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)
23 nfcv 2899 . . . . . 6 β„²π‘₯ ≀
24 nffvmpt1 6908 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
2522, 23, 24nfbr 5195 . . . . 5 β„²π‘₯((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)
2625, 24, 22nfif 4559 . . . 4 β„²π‘₯if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦))
27 fveq2 6897 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) = ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦))
28 fveq2 6897 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦))
2927, 28breq12d 5161 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) ↔ ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦)))
3029, 28, 27ifbieq12d 4557 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯)) = if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)))
3121, 26, 30cbvmpt 5259 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘¦), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘¦)))
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 25591 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯) ≀ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯), ((𝐴 Γ— {0})β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
3311, 32eqeltrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139   ≀ cle 11280  volcvol 25405  MblFncmbf 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561
This theorem is referenced by:  mbfposb  25595  mbfi1flimlem  25665  itgreval  25739  ibladdlem  25762  iblabslem  25770  mbfposadd  37140  ibladdnclem  37149  iblabsnclem  37156  itgmulc2nclem2  37160
  Copyright terms: Public domain W3C validator