Theorem itgless 25987

Description: Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgless.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgless.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itgless.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgless.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
itgless.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgless	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgless.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		itgss2 25983	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
4		itgless.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
5		iblmbf 25937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
7		itgless.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	6, 7	mbfdm2 25807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
9	1	sselda 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9, 7	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		0re 11216	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		ifcl 4532	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
14		eldifn 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 4497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
17		iftrue 4492	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
18	17	mpteq2ia 5205	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19		itgless.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20	1, 19, 7, 4	iblss 25975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	18, 20	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
22	1, 8, 13, 16, 21	iblss2 25976	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
23	7, 11, 12	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
24	7	leidd 11786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐶)
25		itgless.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
26		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (𝐶 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
27		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
28	26, 27	ifboth 4526	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐶 ∧ 0 ≤ 𝐶) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
29	24, 25, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
30	22, 4, 23, 7, 29	itgle 25980	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
31	3, 30	eqbrtrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11250  volcvol 25633  MblFncmbf 25784  𝐿¹cibl 25787  ∫citg 25788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xadd 13144  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-xmet 21526  df-met 21527  df-ovol 25634  df-vol 25635  df-mbf 25789  df-itg1 25790  df-itg2 25791  df-ibl 25792  df-itg 25793  df-0p 25840

This theorem is used by: (None)