Theorem itgless 25809

Description: Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgless.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgless.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itgless.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgless.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
itgless.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgless	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgless.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		itgss2 25805	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
4		itgless.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
5		iblmbf 25759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
7		itgless.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	6, 7	mbfdm2 25629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
9	1	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9, 7	syldan 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		0re 11144	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		ifcl 4507	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	sylancl 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
14		eldifn 4069	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 4472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
17		iftrue 4467	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
18	17	mpteq2ia 5174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19		itgless.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20	1, 19, 7, 4	iblss 25797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	18, 20	eqeltrid 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
22	1, 8, 13, 16, 21	iblss2 25798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
23	7, 11, 12	sylancl 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
24	7	leidd 11714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐶)
25		itgless.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
26		breq1 5082	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (𝐶 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
27		breq1 5082	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
28	26, 27	ifboth 4501	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐶 ∧ 0 ≤ 𝐶) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
29	24, 25, 28	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
30	22, 4, 23, 7, 29	itgle 25802	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
31	3, 30	eqbrtrd 5101	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4461   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  ℝcr 11035  0cc0 11036   ≤ cle 11178  volcvol 25455  MblFncmbf 25606  𝐿¹cibl 25609  ∫citg 25610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xadd 13062  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-xmet 21347  df-met 21348  df-ovol 25456  df-vol 25457  df-mbf 25611  df-itg1 25612  df-itg2 25613  df-ibl 25614  df-itg 25615  df-0p 25662

This theorem is referenced by: (None)