MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgless 25853
Description: Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgless.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgless.2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itgless.3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgless.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
itgless.5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgless (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgless
StepHypRef Expression
1 itgless.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 itgss2 25849 . . 3 (𝐴𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
4 itgless.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
5 iblmbf 25803 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
7 itgless.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
86, 7mbfdm2 25673 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
91sselda 3982 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
109, 7syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 0re 11264 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 ifcl 4570 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
14 eldifn 4131 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1514adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
1615iffalsed 4535 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
17 iftrue 4530 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
1817mpteq2ia 5244 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
19 itgless.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
201, 19, 7, 4iblss 25841 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
2118, 20eqeltrid 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
221, 8, 13, 16, 21iblss2 25842 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
237, 11, 12sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
247leidd 11830 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝐶)
25 itgless.4 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
26 breq1 5145 . . . . 5 (𝐶 = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) → (𝐶𝐶 ↔ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
27 breq1 5145 . . . . 5 (0 = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
2826, 27ifboth 4564 . . . 4 ((𝐶𝐶 ∧ 0 ≤ 𝐶) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
2924, 25, 28syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
3022, 4, 23, 7, 29itgle 25846 . 2 (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
313, 30eqbrtrd 5164 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  wss 3950  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cr 11155  0cc0 11156  cle 11297  volcvol 25499  MblFncmbf 25650  𝐿1cibl 25653  citg 25654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator