Theorem itgless 25766

Description: Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgless.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
itgless.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
itgless.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgless.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
itgless.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgless	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgless.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		itgss2 25762	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
4		itgless.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
5		iblmbf 25717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
7		itgless.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	6, 7	mbfdm2 25586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom vol)
9	1	sselda 3982	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9, 7	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		0re 11254	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12		ifcl 4577	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
14		eldifn 4128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
16	15	iffalsed 4543	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
17		iftrue 4538	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
18	17	mpteq2ia 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19		itgless.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20	1, 19, 7, 4	iblss 25754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	18, 20	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
22	1, 8, 13, 16, 21	iblss2 25755	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
23	7, 11, 12	sylancl 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
24	7	leidd 11818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐶)
25		itgless.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
26		breq1 5155	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (𝐶 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
27		breq1 5155	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
28	26, 27	ifboth 4571	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐶 ∧ 0 ≤ 𝐶) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
29	24, 25, 28	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
30	22, 4, 23, 7, 29	itgle 25759	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
31	3, 30	eqbrtrd 5174	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ℝcr 11145  0cc0 11146   ≤ cle 11287  volcvol 25412  MblFncmbf 25563  𝐿¹cibl 25566  ∫citg 25567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-itg 25572  df-0p 25619

This theorem is referenced by: (None)