Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mcgcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mcgcnv 30700
 Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mcgcnv.1 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mcgcnv.2 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
mcgcnv ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mcgcnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 464 . . . 4 ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3 ralcom 3345 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)))
4 bicom 225 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5 fvex 6676 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑦) ∈ V
6 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
75, 6brcnv 5741 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦))
87bicomi 227 . . . . . . . . 9 (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥)
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥))
10 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
11 fvex 6676 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
1210, 11brcnv 5741 . . . . . . . . . 10 (𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
1312bicomi 227 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))
159, 14bibi12d 349 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
164, 15syl5bb 286 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
1716ralbidva 3191 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
1817ralbidva 3191 . . . 4 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
193, 18syl5bb 286 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
202, 19anbi12d 633 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))))
21 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23 eqid 2824 . . 3 (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24 eqid 2824 . . 3 (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25 mcgcnv.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26 simpl 486 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27 simpr 488 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27mgcval 30690 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)))))
29 eqid 2824 . . . 4 (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
3029, 22odubas 17745 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31 eqid 2824 . . . 4 (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
3231, 21odubas 17745 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
3329, 24oduleval 17743 . . 3 (le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
3431, 23oduleval 17743 . . 3 (le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35 mcgcnv.2 . . 3 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
3629oduprs 30664 . . . 4 (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
3727, 36syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
3831oduprs 30664 . . . 4 (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
3926, 38syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
4030, 32, 33, 34, 35, 37, 39mgcval 30690 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))))
4120, 28, 403bitr4d 314 1 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺𝐺𝑀𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   class class class wbr 5053  ◡ccnv 5542  ⟶wf 6341  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  lecple 16574   Proset cproset 17538  ODualcodu 17740  MGalConncmgc 30682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-dec 12098  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ple 16587  df-proset 17540  df-odu 17741  df-mgc 30684 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator