Theorem oduprs 18454

Description: Being a proset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduprs.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oduprs	⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )

Proof of Theorem oduprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3	1, 2	isprs 18450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
4	3	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5	4	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
6	5	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
7	6	r19.21bi 3255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
8	7	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
9		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9, 9	brcnv 5860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
11	8, 10	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑥)
12	1, 2	isprs 18450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
13	12	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
14	13	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
15	14	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
16	15	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
17	16	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
18	17	an32s 665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
19	18	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
20	19	an32s 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
21	20	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
22	21	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
23		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	9, 23	brcnv 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
25		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	23, 25	brcnv 5860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑧(le‘𝐾)𝑦)
27	24, 26	anbi12ci 641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
28	9, 25	brcnv 5860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑧(le‘𝐾)𝑥)
29	22, 27, 28	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))
30	11, 29	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
31	30	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
32	31	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
33	32	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
34		oduprs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
35	34	fvexi 6891	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
36	33, 35	jctil 529	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))))
37	34, 1	odubas 18445	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
38	34, 2	oduleval 18443	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
39	37, 38	isprs 18450	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Proset ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))))
40	36, 39	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  lecple 17415  ODualcodu 18440   Proset cproset 18446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ple 17428  df-odu 18441  df-proset 18448

This theorem is used by:  mgccnv  33542  ordtcnvNEW  34534  oduoppcbas  50617  oduoppcciso  50618