Theorem oduprs 18317

Description: Being a proset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduprs.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oduprs	⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )

Proof of Theorem oduprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3	1, 2	isprs 18313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
4	3	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5	4	r19.21bi 3238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
6	5	r19.21bi 3238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
7	6	r19.21bi 3238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
8	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
9		vex 3468	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9, 9	brcnv 5867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
11	8, 10	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑥)
12	1, 2	isprs 18313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
13	12	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
14	13	r19.21bi 3238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
15	14	r19.21bi 3238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
16	15	r19.21bi 3238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
17	16	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
18	17	an32s 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
19	18	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
20	19	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
21	20	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
22	21	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
23		vex 3468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	9, 23	brcnv 5867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
25		vex 3468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	23, 25	brcnv 5867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑧(le‘𝐾)𝑦)
27	24, 26	anbi12ci 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
28	9, 25	brcnv 5867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑧(le‘𝐾)𝑥)
29	22, 27, 28	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))
30	11, 29	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
31	30	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
32	31	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
33	32	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
34		oduprs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
35	34	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
36	33, 35	jctil 519	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))))
37	34, 1	odubas 18308	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
38	34, 2	oduleval 18306	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
39	37, 38	isprs 18313	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Proset ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))))
40	36, 39	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  lecple 17283  ODualcodu 18303   Proset cproset 18309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-dec 12714  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ple 17296  df-odu 18304  df-proset 18311

This theorem is referenced by:  mgccnv  32984  ordtcnvNEW  33956  oduoppcbas  49409  oduoppcciso  49410