Theorem oduprs 18506

Description: Being a proset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduprs.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
oduprs	⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )

Proof of Theorem oduprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3	1, 2	isprs 18502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
4	3	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5	4	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
6	5	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
7	6	r19.21bi 3258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
8	7	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
9		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9, 9	brcnv 5868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
11	8, 10	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑥)
12	1, 2	isprs 18502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
13	12	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
14	13	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
15	14	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
16	15	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
17	16	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
18	17	an32s 665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
19	18	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
20	19	an32s 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
21	20	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
22	21	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
23		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	9, 23	brcnv 5868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
25		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
26	23, 25	brcnv 5868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑧(le‘𝐾)𝑦)
27	24, 26	anbi12ci 641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑧(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
28	9, 25	brcnv 5868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑧(le‘𝐾)𝑥)
29	22, 27, 28	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))
30	11, 29	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
31	30	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
32	31	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
33	32	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧)))
34		oduprs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
35	34	fvexi 6925	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
36	33, 35	jctil 529	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))))
37	34, 1	odubas 18497	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
38	34, 2	oduleval 18495	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
39	37, 38	isprs 18502	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Proset ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥◡(le‘𝐾)𝑧))))
40	36, 39	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5655  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  lecple 17467  ODualcodu 18492   Proset cproset 18498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ple 17480  df-odu 18493  df-proset 18500

This theorem is used by:  mgccnv  33636  ordtcnvNEW  34635  oduoppcbas  50918  oduoppcciso  50919