Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oduprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduprs 30657
Description: Being a proset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
oduprs.d 𝐷 = (ODual‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oduprs (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )

Proof of Theorem oduprs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
31, 2isprs 17540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
43simprbi 500 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
54r19.21bi 3203 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
65r19.21bi 3203 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
76r19.21bi 3203 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
87simpld 498 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
9 vex 3483 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
109, 9brcnv 5740 . . . . . . . 8 (𝑥(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘𝐾)𝑥)
118, 10sylibr 237 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
121, 2isprs 17540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
1312simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1413r19.21bi 3203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1514r19.21bi 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1615r19.21bi 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1716simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
1817an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
1918ex 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2019an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2120imp 410 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
2221an32s 651 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
23 vex 3483 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
249, 23brcnv 5740 . . . . . . . . 9 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥)
25 vex 3483 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
2623, 25brcnv 5740 . . . . . . . . 9 (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑧(le‘𝐾)𝑦)
2724, 26anbi12ci 630 . . . . . . . 8 ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥))
289, 25brcnv 5740 . . . . . . . 8 (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑧(le‘𝐾)𝑥)
2922, 27, 283imtr4g 299 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))
3011, 29jca 515 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
3130ralrimiva 3177 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
3231ralrimiva 3177 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
3332ralrimiva 3177 . . 3 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
34 oduprs.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝐾)
3534fvexi 6675 . . 3 𝐷 ∈ V
3633, 35jctil 523 . 2 (𝐾 ∈ Proset → (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
3734, 1odubas 17743 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
3834, 2oduleval 17741 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐷)
3937, 38isprs 17540 . 2 (𝐷 ∈ Proset ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
4036, 39sylibr 237 1 (𝐾 ∈ Proset → 𝐷 ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  Vcvv 3480   class class class wbr 5052  ccnv 5541  cfv 6343  Basecbs 16483  lecple 16572   Proset cproset 17536  ODualcodu 17738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ple 16585  df-proset 17538  df-odu 17739
This theorem is referenced by:  mcgcnv  30693  ordtcnvNEW  31223
  Copyright terms: Public domain W3C validator