Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgccnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgccnv 32672
Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgccnv.1 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
mgccnv.2 𝑀 = ((ODualβ€˜π‘Š)MGalConn(ODualβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
mgccnv ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 460 . . . 4 ((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ↔ (𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ ((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ↔ (𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š))))
3 ralcom 3280 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)))
4 bicom 221 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦))
5 fvex 6897 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ V
6 vex 3472 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
75, 6brcnv 5875 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦))
87bicomi 223 . . . . . . . . 9 (π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯)
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯))
10 vex 3472 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
11 fvex 6897 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
1210, 11brcnv 5875 . . . . . . . . . 10 (𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦)
1312bicomi 223 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯)))
159, 14bibi12d 345 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ ((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
164, 15bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ ((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
1716ralbidva 3169 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
1817ralbidva 3169 . . . 4 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
193, 18bitrid 283 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
202, 19anbi12d 630 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯)))))
21 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
22 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
23 eqid 2726 . . 3 (leβ€˜π‘‰) = (leβ€˜π‘‰)
24 eqid 2726 . . 3 (leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜π‘Š)
25 mgccnv.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
26 simpl 482 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ 𝑉 ∈ Proset )
27 simpr 484 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ π‘Š ∈ Proset )
2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27mgcval 32660 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)))))
29 eqid 2726 . . . 4 (ODualβ€˜π‘Š) = (ODualβ€˜π‘Š)
3029, 22odubas 18254 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(ODualβ€˜π‘Š))
31 eqid 2726 . . . 4 (ODualβ€˜π‘‰) = (ODualβ€˜π‘‰)
3231, 21odubas 18254 . . 3 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜(ODualβ€˜π‘‰))
3329, 24oduleval 18252 . . 3 β—‘(leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜(ODualβ€˜π‘Š))
3431, 23oduleval 18252 . . 3 β—‘(leβ€˜π‘‰) = (leβ€˜(ODualβ€˜π‘‰))
35 mgccnv.2 . . 3 𝑀 = ((ODualβ€˜π‘Š)MGalConn(ODualβ€˜π‘‰))
3629oduprs 32637 . . . 4 (π‘Š ∈ Proset β†’ (ODualβ€˜π‘Š) ∈ Proset )
3727, 36syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (ODualβ€˜π‘Š) ∈ Proset )
3831oduprs 32637 . . . 4 (𝑉 ∈ Proset β†’ (ODualβ€˜π‘‰) ∈ Proset )
3926, 38syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (ODualβ€˜π‘‰) ∈ Proset )
4030, 32, 33, 34, 35, 37, 39mgcval 32660 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯)))))
4120, 28, 403bitr4d 311 1 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  lecple 17211  ODualcodu 18249   Proset cproset 18256  MGalConncmgc 32652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ple 17224  df-odu 18250  df-proset 18258  df-mgc 32654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator