Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgccnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgccnv 30803
 Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgccnv.1 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgccnv.2 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
mgccnv ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 464 . . . 4 ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3 ralcom 3272 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)))
4 bicom 225 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5 fvex 6671 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑦) ∈ V
6 vex 3413 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
75, 6brcnv 5722 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦))
87bicomi 227 . . . . . . . . 9 (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥)
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥))
10 vex 3413 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
11 fvex 6671 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
1210, 11brcnv 5722 . . . . . . . . . 10 (𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
1312bicomi 227 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))
159, 14bibi12d 349 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
164, 15syl5bb 286 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
1716ralbidva 3125 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
1817ralbidva 3125 . . . 4 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
193, 18syl5bb 286 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
202, 19anbi12d 633 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))))
21 eqid 2758 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22 eqid 2758 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23 eqid 2758 . . 3 (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24 eqid 2758 . . 3 (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25 mgccnv.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26 simpl 486 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27 simpr 488 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27mgcval 30791 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)))))
29 eqid 2758 . . . 4 (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
3029, 22odubas 17809 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31 eqid 2758 . . . 4 (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
3231, 21odubas 17809 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
3329, 24oduleval 17807 . . 3 (le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
3431, 23oduleval 17807 . . 3 (le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35 mgccnv.2 . . 3 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
3629oduprs 30765 . . . 4 (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
3727, 36syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
3831oduprs 30765 . . . 4 (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
3926, 38syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
4030, 32, 33, 34, 35, 37, 39mgcval 30791 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))))
4120, 28, 403bitr4d 314 1 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺𝐺𝑀𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   class class class wbr 5032  ◡ccnv 5523  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  lecple 16630   Proset cproset 17602  ODualcodu 17804  MGalConncmgc 30783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-dec 12138  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ple 16643  df-proset 17604  df-odu 17805  df-mgc 30785 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator