Theorem mgccnv 33260

Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgccnv.1	⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgccnv.2	⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mgccnv	⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 465	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3		ralcom 3299	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))
4		bicom 225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5		fvex 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
6		vex 3465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	brcnv 5869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))
8	7	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥))
10		vex 3465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		fvex 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	10, 11	brcnv 5869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
13	12	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))
15	9, 14	bibi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
16	4, 15	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
17	16	ralbidva 3192	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbidva 3192	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
19	3, 18	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
20	2, 19	anbi12d 643	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
21		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2769	. . 3 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24		eqid 2769	. . 3 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25		mgccnv.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
28	21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	mgcval 33248	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))))
29		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
30	29, 22	odubas 18347	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
32	31, 21	odubas 18347	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
33	29, 24	oduleval 18345	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
34	31, 23	oduleval 18345	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35		mgccnv.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
36	29	oduprs 18356	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
37	27, 36	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
38	31	oduprs 18356	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
39	26, 38	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
40	30, 32, 33, 34, 35, 37, 39	mgcval 33248	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
41	20, 28, 40	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  lecple 17317  ODualcodu 18342   Proset cproset 18348  MGalConncmgc 33240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ple 17330  df-odu 18343  df-proset 18350  df-mgc 33242

This theorem is referenced by: (None)