Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgccnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgccnv 32636
Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgccnv.1 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgccnv.2 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
mgccnv ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 460 . . . 4 ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3 ralcom 3278 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)))
4 bicom 221 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5 fvex 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑦) ∈ V
6 vex 3470 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
75, 6brcnv 5872 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦))
87bicomi 223 . . . . . . . . 9 (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥)
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥))
10 vex 3470 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
11 fvex 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
1210, 11brcnv 5872 . . . . . . . . . 10 (𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
1312bicomi 223 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))
159, 14bibi12d 345 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦) ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
164, 15bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
1716ralbidva 3167 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
1817ralbidva 3167 . . . 4 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
193, 18bitrid 283 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥))))
202, 19anbi12d 630 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))))
21 eqid 2724 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22 eqid 2724 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23 eqid 2724 . . 3 (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24 eqid 2724 . . 3 (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25 mgccnv.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26 simpl 482 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27 simpr 484 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27mgcval 32624 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹𝑥)(le‘𝑊)𝑦𝑥(le‘𝑉)(𝐺𝑦)))))
29 eqid 2724 . . . 4 (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
3029, 22odubas 18246 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31 eqid 2724 . . . 4 (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
3231, 21odubas 18246 . . 3 (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
3329, 24oduleval 18244 . . 3 (le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
3431, 23oduleval 18244 . . 3 (le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35 mgccnv.2 . . 3 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
3629oduprs 32601 . . . 4 (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
3727, 36syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
3831oduprs 32601 . . . 4 (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
3926, 38syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
4030, 32, 33, 34, 35, 37, 39mgcval 32624 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺𝑦)(le‘𝑉)𝑥𝑦(le‘𝑊)(𝐹𝑥)))))
4120, 28, 403bitr4d 311 1 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺𝐺𝑀𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053   class class class wbr 5138  ccnv 5665  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  lecple 17203  ODualcodu 18241   Proset cproset 18248  MGalConncmgc 32616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-dec 12675  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ple 17216  df-odu 18242  df-proset 18250  df-mgc 32618
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator