Theorem mgccnv 32980

Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgccnv.1	⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgccnv.2	⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mgccnv	⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3		ralcom 3260	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))
4		bicom 222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5		fvex 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
6		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	brcnv 5821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))
8	7	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥))
10		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		fvex 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	10, 11	brcnv 5821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
13	12	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))
15	9, 14	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
16	4, 15	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
17	16	ralbidva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbidva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
19	3, 18	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
20	2, 19	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
21		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2731	. . 3 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24		eqid 2731	. . 3 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25		mgccnv.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
28	21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	mgcval 32968	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))))
29		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
30	29, 22	odubas 18197	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
32	31, 21	odubas 18197	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
33	29, 24	oduleval 18195	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
34	31, 23	oduleval 18195	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35		mgccnv.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
36	29	oduprs 18206	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
37	27, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
38	31	oduprs 18206	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
39	26, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
40	30, 32, 33, 34, 35, 37, 39	mgcval 32968	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
41	20, 28, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  ODualcodu 18192   Proset cproset 18198  MGalConncmgc 32960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ple 17181  df-odu 18193  df-proset 18200  df-mgc 32962

This theorem is referenced by: (None)