Theorem mgccnv 32925

Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgccnv.1	⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgccnv.2	⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mgccnv	⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3		ralcom 3265	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))
4		bicom 222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5		fvex 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
6		vex 3451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	brcnv 5846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))
8	7	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥))
10		vex 3451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		fvex 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	10, 11	brcnv 5846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
13	12	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))
15	9, 14	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
16	4, 15	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
17	16	ralbidva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbidva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
19	3, 18	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
20	2, 19	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
21		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2729	. . 3 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24		eqid 2729	. . 3 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25		mgccnv.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
28	21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	mgcval 32913	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))))
29		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
30	29, 22	odubas 18252	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
32	31, 21	odubas 18252	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
33	29, 24	oduleval 18250	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
34	31, 23	oduleval 18250	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35		mgccnv.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
36	29	oduprs 18261	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
37	27, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
38	31	oduprs 18261	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
39	26, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
40	30, 32, 33, 34, 35, 37, 39	mgcval 32913	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
41	20, 28, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  ODualcodu 18247   Proset cproset 18253  MGalConncmgc 32905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-odu 18248  df-proset 18255  df-mgc 32907

This theorem is referenced by: (None)