Theorem mgccnv 33059

Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgccnv.1	⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgccnv.2	⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mgccnv	⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3		ralcom 3265	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))
4		bicom 222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5		fvex 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
6		vex 3433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	brcnv 5837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))
8	7	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥))
10		vex 3433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		fvex 6853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	10, 11	brcnv 5837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
13	12	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))
15	9, 14	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
16	4, 15	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
17	16	ralbidva 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbidva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
19	3, 18	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
20	2, 19	anbi12d 633	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25		mgccnv.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
28	21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	mgcval 33047	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))))
29		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
30	29, 22	odubas 18257	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
32	31, 21	odubas 18257	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
33	29, 24	oduleval 18255	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
34	31, 23	oduleval 18255	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35		mgccnv.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
36	29	oduprs 18266	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
37	27, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
38	31	oduprs 18266	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
39	26, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
40	30, 32, 33, 34, 35, 37, 39	mgcval 33047	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
41	20, 28, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ^◡ccnv 5630  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227  ODualcodu 18252   Proset cproset 18258  MGalConncmgc 33039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-dec 12645  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-odu 18253  df-proset 18260  df-mgc 33041

This theorem is referenced by: (None)