Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgccnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgccnv 32739
Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgccnv.1 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
mgccnv.2 𝑀 = ((ODualβ€˜π‘Š)MGalConn(ODualβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
mgccnv ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 460 . . . 4 ((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ↔ (𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ ((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ↔ (𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š))))
3 ralcom 3283 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)))
4 bicom 221 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦))
5 fvex 6910 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜π‘¦) ∈ V
6 vex 3475 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
75, 6brcnv 5885 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦))
87bicomi 223 . . . . . . . . 9 (π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯)
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯))
10 vex 3475 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
11 fvex 6910 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
1210, 11brcnv 5885 . . . . . . . . . 10 (𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦)
1312bicomi 223 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯)))
159, 14bibi12d 345 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ ((π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ ((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
164, 15bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ ((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
1716ralbidva 3172 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
1817ralbidva 3172 . . . 4 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
193, 18bitrid 283 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯))))
202, 19anbi12d 631 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦))) ↔ ((𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯)))))
21 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
22 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
23 eqid 2728 . . 3 (leβ€˜π‘‰) = (leβ€˜π‘‰)
24 eqid 2728 . . 3 (leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜π‘Š)
25 mgccnv.1 . . 3 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
26 simpl 482 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ 𝑉 ∈ Proset )
27 simpr 484 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ π‘Š ∈ Proset )
2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27mgcval 32727 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)((πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜π‘Š)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜π‘‰)(πΊβ€˜π‘¦)))))
29 eqid 2728 . . . 4 (ODualβ€˜π‘Š) = (ODualβ€˜π‘Š)
3029, 22odubas 18283 . . 3 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(ODualβ€˜π‘Š))
31 eqid 2728 . . . 4 (ODualβ€˜π‘‰) = (ODualβ€˜π‘‰)
3231, 21odubas 18283 . . 3 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜(ODualβ€˜π‘‰))
3329, 24oduleval 18281 . . 3 β—‘(leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜(ODualβ€˜π‘Š))
3431, 23oduleval 18281 . . 3 β—‘(leβ€˜π‘‰) = (leβ€˜(ODualβ€˜π‘‰))
35 mgccnv.2 . . 3 𝑀 = ((ODualβ€˜π‘Š)MGalConn(ODualβ€˜π‘‰))
3629oduprs 32704 . . . 4 (π‘Š ∈ Proset β†’ (ODualβ€˜π‘Š) ∈ Proset )
3727, 36syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (ODualβ€˜π‘Š) ∈ Proset )
3831oduprs 32704 . . . 4 (𝑉 ∈ Proset β†’ (ODualβ€˜π‘‰) ∈ Proset )
3926, 38syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (ODualβ€˜π‘‰) ∈ Proset )
4030, 32, 33, 34, 35, 37, 39mgcval 32727 . 2 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Baseβ€˜π‘Š)⟢(Baseβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‰)⟢(Baseβ€˜π‘Š)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)((πΊβ€˜π‘¦)β—‘(leβ€˜π‘‰)π‘₯ ↔ 𝑦◑(leβ€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘₯)))))
4120, 28, 403bitr4d 311 1 ((𝑉 ∈ Proset ∧ π‘Š ∈ Proset ) β†’ (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5677  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  ODualcodu 18278   Proset cproset 18285  MGalConncmgc 32719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-dec 12709  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ple 17253  df-odu 18279  df-proset 18287  df-mgc 32721
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator