Theorem mgccnv 32990

Description: The inverse Galois connection is the Galois connection of the dual orders. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgccnv.1	⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgccnv.2	⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mgccnv	⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Proof of Theorem mgccnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ↔ (𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊))))
3		ralcom 3288	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))
4		bicom 222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦))
5		fvex 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘𝑦) ∈ V
6		vex 3483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	5, 6	brcnv 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))
8	7	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥))
10		vex 3483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		fvex 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
12	10, 11	brcnv 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦)
13	12	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))
15	9, 14	bibi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → ((𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
16	4, 15	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)) → (((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
17	16	ralbidva 3175	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
18	17	ralbidva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
19	3, 18	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥))))
20	2, 19	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦))) ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
23		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
24		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
25		mgccnv.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
26		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑉 ∈ Proset )
27		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → 𝑊 ∈ Proset )
28	21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	mgcval 32978	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ ((𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)𝑦 ↔ 𝑥(le‘𝑉)(𝐺‘𝑦)))))
29		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑊) = (ODual‘𝑊)
30	29, 22	odubas 18337	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ODual‘𝑊))
31		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝑉) = (ODual‘𝑉)
32	31, 21	odubas 18337	. . 3 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘(ODual‘𝑉))
33	29, 24	oduleval 18335	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑊) = (le‘(ODual‘𝑊))
34	31, 23	oduleval 18335	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝑉) = (le‘(ODual‘𝑉))
35		mgccnv.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((ODual‘𝑊)MGalConn(ODual‘𝑉))
36	29	oduprs 18347	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Proset → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
37	27, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑊) ∈ Proset )
38	31	oduprs 18347	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Proset → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
39	26, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (ODual‘𝑉) ∈ Proset )
40	30, 32, 33, 34, 35, 37, 39	mgcval 32978	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐺𝑀𝐹 ↔ ((𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑉) ∧ 𝐹:(Base‘𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑉)((𝐺‘𝑦)◡(le‘𝑉)𝑥 ↔ 𝑦◡(le‘𝑊)(𝐹‘𝑥)))))
41	20, 28, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑊 ∈ Proset ) → (𝐹𝐻𝐺 ↔ 𝐺𝑀𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5683  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  ODualcodu 18332   Proset cproset 18339  MGalConncmgc 32970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-dec 12736  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ple 17318  df-odu 18333  df-proset 18341  df-mgc 32972

This theorem is referenced by: (None)