Theorem modaddabs 13907

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
modaddabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Proof of Theorem modaddabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcl 13869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	3adant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
4		modcl 13869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
6	5	3adant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
7	3, 6	addcomd 11371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)))
8	7	oveq1d 7396	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
9		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	4, 9	jca 518	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11	10	3adant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	1, 12	jca 518	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
14	13	3adant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
15		modabs2 13901	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
16	15	3adant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
17		modadd1 13904	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
18	11, 14, 16, 17	syl3anc 1382	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
19		recn 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	3ad2ant2 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	3, 20	addcomd 11371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)))
22	21	oveq1d 7396	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
23	18, 22	eqtr4d 2790	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶))
24		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	1, 24	jca 518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
26	25	3adant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
27		3simpc 1159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
28		modabs2 13901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
29	28	3adant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
30		modadd1 13904	. . 3 ⊢ ((((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
32	8, 23, 31	3eqtrd 2791	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058   + caddc 11062  ℝ⁺crp 12979   mod cmo 13865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fl 13788  df-mod 13866

This theorem is referenced by:  modfsummods  15793  numclwwlk5  30525  numclwwlk7  30528  fouriersw  46743  m1mod0mod1  47892  gpg3nbgrvtx0  48636