Theorem modaddabs 13949

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
modaddabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Proof of Theorem modaddabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modcl 13913	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
4		modcl 13913	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
6	5	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
7	3, 6	addcomd 11463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)))
8	7	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	4, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11	10	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13	1, 12	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
14	13	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
15		modabs2 13945	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
16	15	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
17		modadd1 13948	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
18	11, 14, 16, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
19		recn 11245	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	3, 20	addcomd 11463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)))
22	21	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
23	18, 22	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶))
24		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	1, 24	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
26	25	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
27		3simpc 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
28		modabs2 13945	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
29	28	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
30		modadd1 13948	. . 3 ⊢ ((((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
32	8, 23, 31	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154   + caddc 11158  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is referenced by:  modfsummods  15829  numclwwlk5  30407  numclwwlk7  30410  fouriersw  46246  m1mod0mod1  47356  gpg3nbgrvtx0  48032