MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modaddabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modaddabs 13639
Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
modaddabs ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))

Proof of Theorem modaddabs
StepHypRef Expression
1 modcl 13603 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ)
21recnd 11013 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
323adant2 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐶) ∈ ℂ)
4 modcl 13603 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ)
54recnd 11013 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
653adant1 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 mod 𝐶) ∈ ℂ)
73, 6addcomd 11187 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) = ((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)))
87oveq1d 7282 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
9 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
104, 9jca 512 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11103adant1 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
131, 12jca 512 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
14133adant2 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
15 modabs2 13635 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
16153adant1 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
17 modadd1 13638 . . . 4 ((((𝐵 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
1811, 14, 16, 17syl3anc 1370 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
19 recn 10971 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20193ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
213, 20addcomd 11187 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)))
2221oveq1d 7282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶))
2318, 22eqtr4d 2781 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐵 mod 𝐶) + (𝐴 mod 𝐶)) mod 𝐶) = (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶))
24 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
251, 24jca 512 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
26253adant2 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
27 3simpc 1149 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
28 modabs2 13635 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
29283adant2 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶))
30 modadd1 13638 . . 3 ((((𝐴 mod 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 mod 𝐶) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐶)) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1370 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + 𝐵) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
328, 23, 313eqtrd 2782 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝐶) + (𝐵 mod 𝐶)) mod 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  (class class class)co 7267  cc 10879  cr 10880   + caddc 10884  +crp 12740   mod cmo 13599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fl 13522  df-mod 13600
This theorem is referenced by:  modfsummods  15515  numclwwlk5  28760  numclwwlk7  28763  fouriersw  43753  m1mod0mod1  44799
  Copyright terms: Public domain W3C validator