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Theorem numclwwlk5 30254
Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk5
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2 simpr1 1191 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 numclwwlk3.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43finrusgrfusgr 29435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
543adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
65adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
7 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
8 ne0i 4335 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
98adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
103frusgrnn0 29441 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
116, 7, 9, 10syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1211ex 411 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
13123ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
1413impcom 406 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
151, 2, 143jca 1125 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0))
16 simpr3 1193 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))
173numclwwlk5lem 30253 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
1815, 16, 17sylc 65 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1)
1918a1i 11 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
20 eleq1 2813 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ↔ 2 ∈ β„™))
21 breq1 5151 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ (𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) ↔ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))
2220, 213anbi23d 1435 . . . 4 (𝑃 = 2 β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))))
2322anbi2d 628 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))))
24 oveq2 7425 . . . . . 6 (𝑃 = 2 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))
2524fveq2d 6898 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) = (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)))
26 id 22 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ 𝑃 = 2)
2725, 26oveq12d 7435 . . . 4 (𝑃 = 2 β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2))
2827eqeq1d 2727 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
2919, 23, 283imtr4d 293 . 2 (𝑃 = 2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
30 3simpa 1145 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3130adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3231adantl 480 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
33 simprl3 1217 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
34 simprr1 1218 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
35 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
36 oddprmge3 16670 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
3735, 36sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
3837ex 411 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 β‰  2 β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)))
39383ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ (𝑃 β‰  2 β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)))
4039adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 β‰  2 β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)))
4140impcom 406 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
423numclwwlk3 30251 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) = (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))))
4332, 33, 34, 41, 42syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) = (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))))
4443oveq1d 7432 . . . 4 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃))
45123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
4645impcom 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
4746nn0zd 12614 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
48 peano2zm 12635 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€)
49 zre 12592 . . . . . . . . 9 ((𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5047, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
51 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
523clwwlknonfin 29960 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ Fin)
53 hashcl 14347 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„•0)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„•0)
5554nn0red 12563 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ ℝ)
5650, 55remulcld 11274 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ)
5746nn0red 12563 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
58 prmm2nn0 16668 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
59583ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ (𝑃 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
6059adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
6157, 60reexpcld 14159 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ)
62 prmnn 16644 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6362nnrpd 13046 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
64633ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
6564adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
6656, 61, 653jca 1125 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
6766adantl 480 . . . . 5 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
68 modaddabs 13906 . . . . . 6 ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃))
6968eqcomd 2731 . . . . 5 ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
7067, 69syl 17 . . . 4 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
71623ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
7271adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
73 nn0z 12613 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
7446, 73, 483syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€)
7554nn0zd 12614 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„€)
7672, 74, 753jca 1125 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„€))
77 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))
78 mulmoddvds 16306 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) = 0))
7976, 77, 78sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) = 0)
80 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
8180, 47jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐾 ∈ β„€))
82 powm2modprm 16771 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) = 1))
8381, 77, 82sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) = 1)
8479, 83oveq12d 7435 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
8584oveq1d 7432 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
86 0p1e1 12364 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
8786oveq1i 7427 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
8862nnred 12257 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
89 prmgt1 16667 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑃)
90 1mod 13900 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
9188, 89, 90syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
9287, 91eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
93923ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
9493adantl 480 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
9585, 94eqtrd 2765 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9695adantl 480 . . . 4 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9744, 70, 963eqtrd 2769 . . 3 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9897ex 411 . 2 (𝑃 β‰  2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
9929, 98pm2.61ine 3015 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3942  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  Fincfn 8962  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„+crp 13006   mod cmo 13866  β†‘cexp 14058  β™―chash 14321   βˆ₯ cdvds 16230  β„™cprime 16641  Vtxcvtx 28865  FinUSGraphcfusgr 29185   RegUSGraph crusgr 29426  ClWWalksNOncclwwlknon 29953   FriendGraph cfrgr 30124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-s2 14831  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-vtx 28867  df-iedg 28868  df-edg 28917  df-uhgr 28927  df-ushgr 28928  df-upgr 28951  df-umgr 28952  df-uspgr 29019  df-usgr 29020  df-fusgr 29186  df-nbgr 29202  df-vtxdg 29336  df-rgr 29427  df-rusgr 29428  df-wwlks 29697  df-wwlksn 29698  df-wwlksnon 29699  df-clwwlk 29848  df-clwwlkn 29891  df-clwwlknon 29954  df-frgr 30125
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  30256
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