numclwwlk5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwwlk5 30185

Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlk5	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

**Proof of Theorem numclwwlk5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simpr1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		numclwwlk3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	finrusgrfusgr 29366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
5	4	3adant2 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
7		simpr1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
8		ne0i 4330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ≠ ∅)
10	3	frusgrnn0 29372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
13	12	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
14	13	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
15	1, 2, 14	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀))
16		simpr3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
17	3	numclwwlk5lem 30184	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
18	15, 16, 17	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
20		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
21		breq1 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
22	20, 21	3anbi23d 1436	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
23	22	anbi2d 628	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
24		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
25	24	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)))
26		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
27	25, 26	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2))
28	27	eqeq1d 2729	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
29	19, 23, 28	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
30		3simpa 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
32	31	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
33		simprl3 1218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
34		simprr1 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35		eldifsn 4786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
36		oddprmge3 16662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
37	35, 36	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
38	37	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
39	38	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
40	39	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
41	40	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
42	3	numclwwlk3 30182	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
43	32, 33, 34, 41, 42	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
44	43	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
45	12	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
46	45	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
47	46	nn0zd 12606	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		peano2zm 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		zre 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
51		simpl3 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
52	3	clwwlknonfin 29891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
53		hashcl 14339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0red 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
56	50, 55	remulcld 11266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
57	46	nn0red 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
58		prmm2nn0 16660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
59	58	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
60	59	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
61	57, 60	reexpcld 14151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
62		prmnn 16636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	nnrpd 13038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
64	63	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
65	64	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
66	56, 61, 65	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
67	66	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
68		modaddabs 13898	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
69	68	eqcomd 2733	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
70	67, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
71	62	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
73		nn0z 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
74	46, 73, 48	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75	54	nn0zd 12606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
76	72, 74, 75	3jca 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
77		simpr3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
78		mulmoddvds 16298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
79	76, 77, 78	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
80		simpr2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
81	80, 47	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
82		powm2modprm 16763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
83	81, 77, 82	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
84	79, 83	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
85	84	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
86		0p1e1 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
87	86	oveq1i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
88	62	nnred 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
89		prmgt1 16659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
90		1mod 13892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
91	88, 89, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
92	87, 91	eqtrid 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
93	92	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
94	93	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
95	85, 94	eqtrd 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
96	95	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
97	44, 70, 96	3eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
98	97	ex 412	. 2 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
99	29, 98	pm2.61ine 3020	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2935 ∖ cdif 3941 ∅c0 4318 {csn 4624 class class class wbr 5142 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 Fincfn 8955 ℝcr 11129 0cc0 11130 1c1 11131 + caddc 11133 · cmul 11135 < clt 11270 − cmin 11466 ℕcn 12234 2c2 12289 3c3 12290 ℕ₀cn0 12494 ℤcz 12580 ℤ_≥cuz 12844 ℝ⁺crp 12998 mod cmo 13858 ↑cexp 14050 ♯chash 14313 ∥ cdvds 16222 ℙcprime 16633 Vtxcvtx 28796 FinUSGraphcfusgr 29116 RegUSGraph crusgr 29357 ClWWalksNOncclwwlknon 29884 FriendGraph cfrgr 30055

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-inf2 9656 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-disj 5108 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-er 8718 df-map 8838 df-pm 8839 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-sup 9457 df-inf 9458 df-oi 9525 df-dju 9916 df-card 9954 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-3 12298 df-n0 12495 df-xnn0 12567 df-z 12581 df-uz 12845 df-rp 12999 df-xadd 13117 df-fz 13509 df-fzo 13652 df-fl 13781 df-mod 13859 df-seq 13991 df-exp 14051 df-hash 14314 df-word 14489 df-lsw 14537 df-concat 14545 df-s1 14570 df-substr 14615 df-pfx 14645 df-s2 14823 df-cj 15070 df-re 15071 df-im 15072 df-sqrt 15206 df-abs 15207 df-clim 15456 df-sum 15657 df-dvds 16223 df-gcd 16461 df-prm 16634 df-phi 16726 df-vtx 28798 df-iedg 28799 df-edg 28848 df-uhgr 28858 df-ushgr 28859 df-upgr 28882 df-umgr 28883 df-uspgr 28950 df-usgr 28951 df-fusgr 29117 df-nbgr 29133 df-vtxdg 29267 df-rgr 29358 df-rusgr 29359 df-wwlks 29628 df-wwlksn 29629 df-wwlksnon 29630 df-clwwlk 29779 df-clwwlkn 29822 df-clwwlknon 29885 df-frgr 30056

This theorem is referenced by: numclwwlk6 30187

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