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Theorem numclwwlk5 29374
Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk5
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2 simpr1 1195 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 numclwwlk3.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43finrusgrfusgr 28555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
543adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
65adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
7 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
8 ne0i 4299 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
103frusgrnn0 28561 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
116, 7, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1211ex 414 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
13123ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
1413impcom 409 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
151, 2, 143jca 1129 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0))
16 simpr3 1197 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))
173numclwwlk5lem 29373 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
1815, 16, 17sylc 65 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1)
1918a1i 11 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
20 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ↔ 2 ∈ β„™))
21 breq1 5113 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ (𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) ↔ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))
2220, 213anbi23d 1440 . . . 4 (𝑃 = 2 β†’ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))))
2322anbi2d 630 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ β„™ ∧ 2 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))))
24 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑃 = 2 β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2))
2524fveq2d 6851 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) = (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)))
26 id 22 . . . . 5 (𝑃 = 2 β†’ 𝑃 = 2)
2725, 26oveq12d 7380 . . . 4 (𝑃 = 2 β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2))
2827eqeq1d 2739 . . 3 (𝑃 = 2 β†’ (((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)2)) mod 2) = 1))
2919, 23, 283imtr4d 294 . 2 (𝑃 = 2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
30 3simpa 1149 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3130adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
3231adantl 483 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
33 simprl3 1221 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
34 simprr1 1222 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
35 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2))
36 oddprmge3 16583 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
3735, 36sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 β‰  2) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
3837ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 β‰  2 β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)))
39383ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ (𝑃 β‰  2 β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)))
4039adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 β‰  2 β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)))
4140impcom 409 . . . . . 6 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
423numclwwlk3 29371 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) = (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))))
4332, 33, 34, 41, 42syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) = (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))))
4443oveq1d 7377 . . . 4 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃))
45123ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
4645impcom 409 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
4746nn0zd 12532 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
48 peano2zm 12553 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€)
49 zre 12510 . . . . . . . . 9 ((𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5047, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
51 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
523clwwlknonfin 29080 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ Fin)
53 hashcl 14263 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„•0)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„•0)
5554nn0red 12481 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ ℝ)
5650, 55remulcld 11192 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ)
5746nn0red 12481 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
58 prmm2nn0 16581 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
59583ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ (𝑃 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
6059adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
6157, 60reexpcld 14075 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ)
62 prmnn 16557 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6362nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
64633ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
6564adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
6656, 61, 653jca 1129 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
6766adantl 483 . . . . 5 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
68 modaddabs 13821 . . . . . 6 ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃))
6968eqcomd 2743 . . . . 5 ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
7067, 69syl 17 . . . 4 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) + (𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
71623ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
7271adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
73 nn0z 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
7446, 73, 483syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€)
7554nn0zd 12532 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„€)
7672, 74, 753jca 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„€))
77 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))
78 mulmoddvds 16219 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2))) ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) = 0))
7976, 77, 78sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) = 0)
80 simpr2 1196 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
8180, 47jca 513 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐾 ∈ β„€))
82 powm2modprm 16682 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1) β†’ ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) = 1))
8381, 77, 82sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) = 1)
8479, 83oveq12d 7380 . . . . . . 7 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
8584oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
86 0p1e1 12282 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
8786oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
8862nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
89 prmgt1 16580 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑃)
90 1mod 13815 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
9188, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
9287, 91eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
93923ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)) β†’ ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
9493adantl 483 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
9585, 94eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9695adantl 483 . . . 4 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ (((((𝐾 βˆ’ 1) Β· (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑃 βˆ’ 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9744, 70, 963eqtrd 2781 . . 3 ((𝑃 β‰  2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1)))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9897ex 414 . 2 (𝑃 β‰  2 β†’ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
9929, 98pm2.61ine 3029 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922   mod cmo 13781  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554  Vtxcvtx 27989  FinUSGraphcfusgr 28306   RegUSGraph crusgr 28546  ClWWalksNOncclwwlknon 29073   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-s2 14744  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-vtx 27991  df-iedg 27992  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-fusgr 28307  df-nbgr 28323  df-vtxdg 28456  df-rgr 28547  df-rusgr 28548  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-wwlksnon 28819  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  29376
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