numclwwlk5 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numclwwlk5		Structured version Visualization version GIF version

Theorem numclwwlk5 28752

Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlk5	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

**Proof of Theorem numclwwlk5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simpr1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		numclwwlk3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	finrusgrfusgr 27932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
5	4	3adant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
7		simpr1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
8		ne0i 4268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ≠ ∅)
10	3	frusgrnn0 27938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
12	11	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
13	12	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
14	13	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
15	1, 2, 14	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀))
16		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
17	3	numclwwlk5lem 28751	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
18	15, 16, 17	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
20		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
21		breq1 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
22	20, 21	3anbi23d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
23	22	anbi2d 629	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
24		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
25	24	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)))
26		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
27	25, 26	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2))
28	27	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
29	19, 23, 28	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
30		3simpa 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
32	31	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
33		simprl3 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
34		simprr1 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
36		oddprmge3 16405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
37	35, 36	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
38	37	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
39	38	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
41	40	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
42	3	numclwwlk3 28749	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
43	32, 33, 34, 41, 42	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
44	43	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
45	12	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
46	45	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
47	46	nn0zd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		peano2zm 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		zre 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
51		simpl3 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
52	3	clwwlknonfin 28458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
53		hashcl 14071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0red 12294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
56	50, 55	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
57	46	nn0red 12294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
58		prmm2nn0 16403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
59	58	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
60	59	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
61	57, 60	reexpcld 13881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
62		prmnn 16379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	nnrpd 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
64	63	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
65	64	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
66	56, 61, 65	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
67	66	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
68		modaddabs 13629	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
69	68	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
70	67, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
71	62	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
73		nn0z 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
74	46, 73, 48	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75	54	nn0zd 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
76	72, 74, 75	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
77		simpr3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
78		mulmoddvds 16039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
79	76, 77, 78	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
80		simpr2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
81	80, 47	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
82		powm2modprm 16504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
83	81, 77, 82	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
84	79, 83	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
85	84	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
86		0p1e1 12095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
87	86	oveq1i 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
88	62	nnred 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
89		prmgt1 16402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
90		1mod 13623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
91	88, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
92	87, 91	eqtrid 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
93	92	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
94	93	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
95	85, 94	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
96	95	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
97	44, 70, 96	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
98	97	ex 413	. 2 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
99	29, 98	pm2.61ine 3028	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∖ cdif 3884 ∅c0 4256 {csn 4561 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 Fincfn 8733 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 − cmin 11205 ℕcn 11973 2c2 12028 3c3 12029 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ℝ⁺crp 12730 mod cmo 13589 ↑cexp 13782 ♯chash 14044 ∥ cdvds 15963 ℙcprime 16376 Vtxcvtx 27366 FinUSGraphcfusgr 27683 RegUSGraph crusgr 27923 ClWWalksNOncclwwlknon 28451 FriendGraph cfrgr 28622

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-disj 5040 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-oadd 8301 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-dju 9659 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-xnn0 12306 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-xadd 12849 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-mod 13590 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-word 14218 df-lsw 14266 df-concat 14274 df-s1 14301 df-substr 14354 df-pfx 14384 df-s2 14561 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-sum 15398 df-dvds 15964 df-gcd 16202 df-prm 16377 df-phi 16467 df-vtx 27368 df-iedg 27369 df-edg 27418 df-uhgr 27428 df-ushgr 27429 df-upgr 27452 df-umgr 27453 df-uspgr 27520 df-usgr 27521 df-fusgr 27684 df-nbgr 27700 df-vtxdg 27833 df-rgr 27924 df-rusgr 27925 df-wwlks 28195 df-wwlksn 28196 df-wwlksnon 28197 df-clwwlk 28346 df-clwwlkn 28389 df-clwwlknon 28452 df-frgr 28623

This theorem is referenced by: numclwwlk6 28754

W3C validator