numclwwlk5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwwlk5 30420

Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlk5	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

**Proof of Theorem numclwwlk5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simpr1 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		numclwwlk3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	finrusgrfusgr 29601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
5	4	3adant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
7		simpr1 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
8		ne0i 4364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ≠ ∅)
10	3	frusgrnn0 29607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
12	11	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
14	13	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
15	1, 2, 14	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀))
16		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
17	3	numclwwlk5lem 30419	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
18	15, 16, 17	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
20		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
21		breq1 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
22	20, 21	3anbi23d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
23	22	anbi2d 629	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
24		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
25	24	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)))
26		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
27	25, 26	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2))
28	27	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
29	19, 23, 28	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
30		3simpa 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
32	31	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
33		simprl3 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
34		simprr1 1221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35		eldifsn 4811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
36		oddprmge3 16747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
37	35, 36	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
38	37	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
40	39	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
41	40	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
42	3	numclwwlk3 30417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
43	32, 33, 34, 41, 42	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
44	43	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
45	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
46	45	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
47	46	nn0zd 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		peano2zm 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		zre 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
51		simpl3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
52	3	clwwlknonfin 30126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
53		hashcl 14405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
54	51, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0red 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
56	50, 55	remulcld 11320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
57	46	nn0red 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
58		prmm2nn0 16745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
59	58	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
60	59	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
61	57, 60	reexpcld 14213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
62		prmnn 16721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	nnrpd 13097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
64	63	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
65	64	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
66	56, 61, 65	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
67	66	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
68		modaddabs 13960	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
69	68	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
70	67, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
71	62	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
73		nn0z 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
74	46, 73, 48	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75	54	nn0zd 12665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
76	72, 74, 75	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
77		simpr3 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
78		mulmoddvds 16378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
79	76, 77, 78	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
80		simpr2 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
81	80, 47	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
82		powm2modprm 16850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
83	81, 77, 82	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
84	79, 83	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
85	84	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
86		0p1e1 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
87	86	oveq1i 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
88	62	nnred 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
89		prmgt1 16744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
90		1mod 13954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
91	88, 89, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
92	87, 91	eqtrid 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
93	92	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
94	93	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
95	85, 94	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
96	95	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
97	44, 70, 96	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
98	97	ex 412	. 2 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
99	29, 98	pm2.61ine 3031	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∖ cdif 3973 ∅c0 4352 {csn 4648 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 Fincfn 9003 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 − cmin 11520 ℕcn 12293 2c2 12348 3c3 12349 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℤ_≥cuz 12903 ℝ⁺crp 13057 mod cmo 13920 ↑cexp 14112 ♯chash 14379 ∥ cdvds 16302 ℙcprime 16718 Vtxcvtx 29031 FinUSGraphcfusgr 29351 RegUSGraph crusgr 29592 ClWWalksNOncclwwlknon 30119 FriendGraph cfrgr 30290

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-disj 5134 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-oadd 8526 df-er 8763 df-map 8886 df-pm 8887 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-dju 9970 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-n0 12554 df-xnn0 12626 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-xadd 13176 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-hash 14380 df-word 14563 df-lsw 14611 df-concat 14619 df-s1 14644 df-substr 14689 df-pfx 14719 df-s2 14897 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-clim 15534 df-sum 15735 df-dvds 16303 df-gcd 16541 df-prm 16719 df-phi 16813 df-vtx 29033 df-iedg 29034 df-edg 29083 df-uhgr 29093 df-ushgr 29094 df-upgr 29117 df-umgr 29118 df-uspgr 29185 df-usgr 29186 df-fusgr 29352 df-nbgr 29368 df-vtxdg 29502 df-rgr 29593 df-rusgr 29594 df-wwlks 29863 df-wwlksn 29864 df-wwlksnon 29865 df-clwwlk 30014 df-clwwlkn 30057 df-clwwlknon 30120 df-frgr 30291

This theorem is referenced by: numclwwlk6 30422

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