numclwwlk5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwwlk5 30776

Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
numclwwlk3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
numclwwlk5	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

**Proof of Theorem numclwwlk5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		numclwwlk3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	finrusgrfusgr 29952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
5	4	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6	5	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
7		simpr1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
8		ne0i 4297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ≠ ∅)
10	3	frusgrnn0 29958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
12	11	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
14	13	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
15	1, 2, 14	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀))
16		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
17	3	numclwwlk5lem 30775	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
18	15, 16, 17	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
20		eleq1 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
21		breq1 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
22	20, 21	3anbi23d 1467	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
23	22	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
24		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
25	24	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)))
26		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
27	25, 26	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2))
28	27	eqeq1d 2768	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
29	19, 23, 28	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
30		3simpa 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
32	31	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
33		simprl3 1239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
34		simprr1 1240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
35		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
36		oddprmge3 16784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
37	35, 36	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
38	37	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
40	39	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
41	40	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
42	3	numclwwlk3 30773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
43	32, 33, 34, 41, 42	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
44	43	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
45	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
46	45	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
47	46	nn0zd 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
48		peano2zm 12655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49		zre 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
50	47, 48, 49	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
51		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
52	3	clwwlknonfin 30482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
53		hashcl 14412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
54	51, 52, 53	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0red 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
56	50, 55	remulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
57	46	nn0red 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
58		prmm2nn0 16782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
59	58	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
60	59	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
61	57, 60	reexpcld 14219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
62		prmnn 16757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	nnrpd 13076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
64	63	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
65	64	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
66	56, 61, 65	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
67	66	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
68		modaddabs 13964	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
69	68	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
70	67, 69	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
71	62	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
72	71	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
73		nn0z 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
74	46, 73, 48	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75	54	nn0zd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
76	72, 74, 75	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
77		simpr3 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
78		mulmoddvds 16413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
79	76, 77, 78	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
80		simpr2 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
81	80, 47	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
82		powm2modprm 16888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
83	81, 77, 82	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
84	79, 83	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
85	84	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
86		0p1e1 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
87	86	oveq1i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
88	62	nnred 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
89		prmgt1 16781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
90		1mod 13956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
91	88, 89, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
92	87, 91	eqtrid 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
93	92	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
94	93	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
95	85, 94	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
96	95	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
97	44, 70, 96	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
98	97	ex 418	. 2 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
99	29, 98	pm2.61ine 3044	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2961 ∖ cdif 3905 ∅c0 4289 {csn 4594 class class class wbr 5114 ‘cfv 6543 (class class class)co 7423 Fincfn 8952 ℝcr 11117 0cc0 11118 1c1 11119 + caddc 11121 · cmul 11123 < clt 11261 − cmin 11459 ℕcn 12251 2c2 12313 3c3 12314 ℕ₀cn0 12522 ℤcz 12609 ℤ_≥cuz 12880 ℝ⁺crp 13034 mod cmo 13922 ↑cexp 14117 ♯chash 14386 ∥ cdvds 16335 ℙcprime 16754 Vtxcvtx 29383 FinUSGraphcfusgr 29703 RegUSGraph crusgr 29943 ClWWalksNOncclwwlknon 30475 FriendGraph cfrgr 30646

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2738 ax-rep 5243 ax-sep 5262 ax-nul 5274 ax-pow 5341 ax-pr 5409 ax-un 7745 ax-inf2 9620 ax-cnex 11174 ax-resscn 11175 ax-1cn 11176 ax-icn 11177 ax-addcl 11178 ax-addrcl 11179 ax-mulcl 11180 ax-mulrcl 11181 ax-mulcom 11182 ax-addass 11183 ax-mulass 11184 ax-distr 11185 ax-i2m1 11186 ax-1ne0 11187 ax-1rid 11188 ax-rnegex 11189 ax-rrecex 11190 ax-cnre 11191 ax-pre-lttri 11192 ax-pre-lttrn 11193 ax-pre-ltadd 11194 ax-pre-mulgt0 11195 ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2570 df-eu 2600 df-clab 2745 df-cleq 2758 df-clel 2841 df-nfc 2915 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3083 df-rex 3093 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3420 df-v 3460 df-sbc 3748 df-csb 3857 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3928 df-nul 4290 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4878 df-int 4918 df-iun 4963 df-disj 5082 df-br 5115 df-opab 5179 df-mpt 5198 df-tr 5224 df-id 5561 df-eprel 5566 df-po 5574 df-so 5575 df-fr 5619 df-se 5620 df-we 5621 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6309 df-ord 6370 df-on 6371 df-lim 6372 df-suc 6373 df-iota 6499 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7380 df-ov 7426 df-oprab 7427 df-mpo 7428 df-om 7872 df-1st 7995 df-2nd 7996 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-er 8703 df-map 8835 df-pm 8836 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-sup 9412 df-inf 9413 df-oi 9482 df-dju 9906 df-card 9944 df-pnf 11263 df-mnf 11264 df-xr 11265 df-ltxr 11266 df-le 11267 df-sub 11461 df-neg 11462 df-div 11890 df-nn 12252 df-2 12321 df-3 12322 df-n0 12523 df-xnn0 12596 df-z 12610 df-uz 12881 df-rp 13035 df-xadd 13156 df-fz 13554 df-fzo 13702 df-fl 13845 df-mod 13923 df-seq 14058 df-exp 14118 df-hash 14387 df-word 14571 df-lsw 14620 df-concat 14628 df-s1 14655 df-substr 14701 df-pfx 14733 df-s2 14911 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-clim 15565 df-sum 15764 df-dvds 16336 df-gcd 16578 df-prm 16755 df-phi 16850 df-vtx 29385 df-iedg 29386 df-edg 29435 df-uhgr 29445 df-ushgr 29446 df-upgr 29469 df-umgr 29470 df-uspgr 29537 df-usgr 29538 df-fusgr 29704 df-nbgr 29720 df-vtxdg 29853 df-rgr 29944 df-rusgr 29945 df-wwlks 30216 df-wwlksn 30217 df-wwlksnon 30218 df-clwwlk 30370 df-clwwlkn 30413 df-clwwlknon 30476 df-frgr 30647

This theorem is used by: numclwwlk6 30778

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