Proof of Theorem numclwwlk5
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1))) →
𝐺 RegUSGraph 𝐾) |
| 2 | | simpr1 1195 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1))) →
𝑋 ∈ 𝑉) |
| 3 | | numclwwlk3.v |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) |
| 4 | 3 | finrusgrfusgr 29583 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph) |
| 5 | 4 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph) |
| 6 | 5 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph) |
| 7 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾) |
| 8 | | ne0i 4341 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ≠ ∅) |
| 10 | 3 | frusgrnn0 29589 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 11 | 6, 7, 9, 10 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 12 | 11 | ex 412 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈
ℕ0)) |
| 13 | 12 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1)) →
((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈
ℕ0)) |
| 14 | 13 | impcom 407 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1))) →
𝐾 ∈
ℕ0) |
| 15 | 1, 2, 14 | 3jca 1129 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1))) →
(𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈
ℕ0)) |
| 16 | | simpr3 1197 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1))) → 2
∥ (𝐾 −
1)) |
| 17 | 3 | numclwwlk5lem 30406 |
. . . . 5
⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2
∥ (𝐾 − 1)
→ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)) |
| 18 | 15, 16, 17 | sylc 65 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1))) →
((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1) |
| 19 | 18 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 − 1))) →
((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)) |
| 20 | | eleq1 2829 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈
ℙ)) |
| 21 | | breq1 5146 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1))) |
| 22 | 20, 21 | 3anbi23d 1441 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 −
1)))) |
| 23 | 22 | anbi2d 630 |
. . 3
⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥
(𝐾 −
1))))) |
| 24 | | oveq2 7439 |
. . . . . 6
⊢ (𝑃 = 2 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) |
| 25 | 24 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = 2 →
(♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) |
| 26 | | id 22 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2) |
| 27 | 25, 26 | oveq12d 7449 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = 2 →
((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2)) |
| 28 | 27 | eqeq1d 2739 |
. . 3
⊢ (𝑃 = 2 →
(((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) =
1)) |
| 29 | 19, 23, 28 | 3imtr4d 294 |
. 2
⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)) |
| 30 | | 3simpa 1149 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) |
| 31 | 30 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) |
| 32 | 31 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) |
| 33 | | simprl3 1221 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin) |
| 34 | | simprr1 1222 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋 ∈ 𝑉) |
| 35 | | eldifsn 4786 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
↔ (𝑃 ∈ ℙ
∧ 𝑃 ≠
2)) |
| 36 | | oddprmge3 16737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ 𝑃 ∈
(ℤ≥‘3)) |
| 37 | 35, 36 | sylbir 235 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘3)) |
| 38 | 37 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘3))) |
| 39 | 38 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘3))) |
| 40 | 39 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘3))) |
| 41 | 40 | impcom 407 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘3)) |
| 42 | 3 | numclwwlk3 30404 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3)))
→ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2)))) |
| 43 | 32, 33, 34, 41, 42 | syl13anc 1374 |
. . . . 5
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2)))) |
| 44 | 43 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃)) |
| 45 | 12 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈
ℕ0)) |
| 46 | 45 | impcom 407 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 47 | 46 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 48 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈
ℤ) |
| 49 | | zre 12617 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ
→ (𝐾 − 1) ∈
ℝ) |
| 50 | 47, 48, 49 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ) |
| 51 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin) |
| 52 | 3 | clwwlknonfin 30113 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin) |
| 53 | | hashcl 14395 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin →
(♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈
ℕ0) |
| 54 | 51, 52, 53 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈
ℕ0) |
| 55 | 54 | nn0red 12588 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈
ℝ) |
| 56 | 50, 55 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈
ℝ) |
| 57 | 46 | nn0red 12588 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 58 | | prmm2nn0 16735 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈
ℕ0) |
| 59 | 58 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈
ℕ0) |
| 60 | 59 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 − 2) ∈
ℕ0) |
| 61 | 57, 60 | reexpcld 14203 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈
ℝ) |
| 62 | | prmnn 16711 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
| 63 | 62 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℝ+) |
| 64 | 63 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈
ℝ+) |
| 65 | 64 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈
ℝ+) |
| 66 | 56, 61, 65 | 3jca 1129 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈
ℝ+)) |
| 67 | 66 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈
ℝ+)) |
| 68 | | modaddabs 13949 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 − 1) ·
(♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
→ (((((𝐾 − 1)
· (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃)) |
| 69 | 68 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 − 1) ·
(♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
→ ((((𝐾 − 1)
· (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃)) |
| 70 | 67, 69 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃)) |
| 71 | 62 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ) |
| 72 | 71 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ) |
| 73 | | nn0z 12638 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℤ) |
| 74 | 46, 73, 48 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ) |
| 75 | 54 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈
ℤ) |
| 76 | 72, 74, 75 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧
(♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈
ℤ)) |
| 77 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) |
| 78 | | mulmoddvds 16367 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧
(♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)) |
| 79 | 76, 77, 78 | sylc 65 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0) |
| 80 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ) |
| 81 | 80, 47 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) |
| 82 | | powm2modprm 16841 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)) |
| 83 | 81, 77, 82 | sylc 65 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1) |
| 84 | 79, 83 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1)) |
| 85 | 84 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃)) |
| 86 | | 0p1e1 12388 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (0 + 1) =
1 |
| 87 | 86 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0 + 1)
mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) |
| 88 | 62 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℝ) |
| 89 | | prmgt1 16734 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 <
𝑃) |
| 90 | | 1mod 13943 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 <
𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1) |
| 91 | 88, 89, 90 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod
𝑃) = 1) |
| 92 | 87, 91 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1)
mod 𝑃) =
1) |
| 93 | 92 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1) |
| 94 | 93 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1) |
| 95 | 85, 94 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) |
| 96 | 95 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) |
| 97 | 44, 70, 96 | 3eqtrd 2781 |
. . 3
⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1) |
| 98 | 97 | ex 412 |
. 2
⊢ (𝑃 ≠ 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)) |
| 99 | 29, 98 | pm2.61ine 3025 |
1
⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1) |