Theorem modm1p1mod0 13945

Description: If a real number modulo a positive real number equals the positive real number decreased by 1, the real number increased by 1 modulo the positive real number equals 0. (Contributed by AV, 2-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modm1p1mod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem modm1p1mod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		modaddmod 13932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
3	1, 2	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
4	3	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀))
6		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
7	6	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
8		rpcn 13024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		npcan1 11667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
11	10	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀) = (𝑀 mod 𝑀))
12		modid0 13919	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
13	11, 12	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀) = 0)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀) = 0)
15	7, 14	sylan9eqr 2793	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = 0)
16	5, 15	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0)
17	16	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  ℝ⁺crp 13013   mod cmo 13891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-mod 13892

This theorem is referenced by:  clwwisshclwwslemlem  29999  cycpmfv2  33130