MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmul12d 13922
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
modmul12d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
modmul12d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
modmul12d.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
modmul12d.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
modmul12d.6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ))
modmul12d.7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
modmul12d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21zred 12696 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 modmul12d.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
43zred 12696 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 modmul12d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6 modmul12d.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
7 modmul12d.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ))
8 modmul1 13921 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ))
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1378 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ))
103zcnd 12697 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
115zcnd 12697 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1210, 11mulcomd 11265 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
1312oveq1d 7431 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ))
145zred 12696 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15 modmul12d.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
1615zred 12696 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
17 modmul12d.7 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ))
18 modmul1 13921 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ))
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1378 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ))
2015zcnd 12697 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2120, 10mulcomd 11265 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ท))
2221oveq1d 7431 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))
2313, 19, 223eqtrd 2769 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))
249, 23eqtrd 2765 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7416  โ„cr 11137   ยท cmul 11143  โ„คcz 12588  โ„+crp 13006   mod cmo 13866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867
This theorem is referenced by:  modexp  14232  fprodmodd  15973  smumul  16467  modxai  17036  elqaalem2  26273  lgsdir2lem5  27280  lgseisenlem2  27327  lgseisenlem3  27328  modexp2m1d  47015
  Copyright terms: Public domain W3C validator