![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > modmul12d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
modmul12d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
modmul12d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
modmul12d.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โค) |
modmul12d.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โค) |
modmul12d.5 | โข (๐ โ ๐ธ โ โ+) |
modmul12d.6 | โข (๐ โ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) |
modmul12d.7 | โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) |
Ref | Expression |
---|---|
modmul12d | โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | modmul12d.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โค) | |
2 | 1 | zred 12696 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | modmul12d.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โค) | |
4 | 3 | zred 12696 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
5 | modmul12d.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โค) | |
6 | modmul12d.5 | . . 3 โข (๐ โ ๐ธ โ โ+) | |
7 | modmul12d.6 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) | |
8 | modmul1 13921 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โค โง ๐ธ โ โ+) โง (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ)) | |
9 | 2, 4, 5, 6, 7, 8 | syl221anc 1378 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ)) |
10 | 3 | zcnd 12697 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
11 | 5 | zcnd 12697 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
12 | 10, 11 | mulcomd 11265 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
13 | 12 | oveq1d 7431 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ)) |
14 | 5 | zred 12696 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
15 | modmul12d.4 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โค) | |
16 | 15 | zred 12696 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
17 | modmul12d.7 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) | |
18 | modmul1 13921 | . . . 4 โข (((๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ) โง (๐ต โ โค โง ๐ธ โ โ+) โง (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ)) | |
19 | 14, 16, 3, 6, 17, 18 | syl221anc 1378 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ)) |
20 | 15 | zcnd 12697 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
21 | 20, 10 | mulcomd 11265 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ท)) |
22 | 21 | oveq1d 7431 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
23 | 13, 19, 22 | 3eqtrd 2769 | . 2 โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
24 | 9, 23 | eqtrd 2765 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7416 โcr 11137 ยท cmul 11143 โคcz 12588 โ+crp 13006 mod cmo 13866 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-sup 9465 df-inf 9466 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fl 13789 df-mod 13867 |
This theorem is referenced by: modexp 14232 fprodmodd 15973 smumul 16467 modxai 17036 elqaalem2 26273 lgsdir2lem5 27280 lgseisenlem2 27327 lgseisenlem3 27328 modexp2m1d 47015 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |