![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > modmul12d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
modmul12d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
modmul12d.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
modmul12d.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โค) |
modmul12d.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โค) |
modmul12d.5 | โข (๐ โ ๐ธ โ โ+) |
modmul12d.6 | โข (๐ โ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) |
modmul12d.7 | โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) |
Ref | Expression |
---|---|
modmul12d | โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | modmul12d.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โค) | |
2 | 1 | zred 12670 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | modmul12d.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โค) | |
4 | 3 | zred 12670 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
5 | modmul12d.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โค) | |
6 | modmul12d.5 | . . 3 โข (๐ โ ๐ธ โ โ+) | |
7 | modmul12d.6 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) | |
8 | modmul1 13895 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โค โง ๐ธ โ โ+) โง (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ)) | |
9 | 2, 4, 5, 6, 7, 8 | syl221anc 1378 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ)) |
10 | 3 | zcnd 12671 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
11 | 5 | zcnd 12671 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
12 | 10, 11 | mulcomd 11239 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
13 | 12 | oveq1d 7420 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ)) |
14 | 5 | zred 12670 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
15 | modmul12d.4 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โค) | |
16 | 15 | zred 12670 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
17 | modmul12d.7 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) | |
18 | modmul1 13895 | . . . 4 โข (((๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ) โง (๐ต โ โค โง ๐ธ โ โ+) โง (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ)) | |
19 | 14, 16, 3, 6, 17, 18 | syl221anc 1378 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ)) |
20 | 15 | zcnd 12671 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
21 | 20, 10 | mulcomd 11239 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ท)) |
22 | 21 | oveq1d 7420 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
23 | 13, 19, 22 | 3eqtrd 2770 | . 2 โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
24 | 9, 23 | eqtrd 2766 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7405 โcr 11111 ยท cmul 11117 โคcz 12562 โ+crp 12980 mod cmo 13840 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-inf 9440 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fl 13763 df-mod 13841 |
This theorem is referenced by: modexp 14206 fprodmodd 15947 smumul 16441 modxai 17010 elqaalem2 26210 lgsdir2lem5 27217 lgseisenlem2 27264 lgseisenlem3 27265 modexp2m1d 46852 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |