Theorem modmul12d 13860

Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modmul12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
modmul12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modmul12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modmul12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modmul12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modmul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12608	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		modmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zred 12608	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		modmul12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		modmul12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
7		modmul12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
8		modmul1 13859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
9	2, 4, 5, 6, 7, 8	syl221anc 1384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
10	3	zcnd 12609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	5	zcnd 12609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	10, 11	mulcomd 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
13	12	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
14	5	zred 12608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15		modmul12d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
16	15	zred 12608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17		modmul12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
18		modmul1 13859	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
19	14, 16, 3, 6, 17, 18	syl221anc 1384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
20	15	zcnd 12609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
21	20, 10	mulcomd 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
22	21	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
23	13, 19, 22	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
24	9, 23	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   · cmul 11043  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802

This theorem is referenced by:  modexp  14173  fprodmodd  15932  smumul  16432  modxai  17008  elqaalem2  26296  lgsdir2lem5  27308  lgseisenlem2  27355  lgseisenlem3  27356  modexp2m1d  47961