Theorem modmul12d 13573

Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modmul12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
modmul12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modmul12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modmul12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modmul12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modmul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12355	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		modmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zred 12355	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		modmul12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		modmul12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
7		modmul12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
8		modmul1 13572	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
9	2, 4, 5, 6, 7, 8	syl221anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
10	3	zcnd 12356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	5	zcnd 12356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	10, 11	mulcomd 10927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
13	12	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
14	5	zred 12355	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15		modmul12d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
16	15	zred 12355	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17		modmul12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
18		modmul1 13572	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
19	14, 16, 3, 6, 17, 18	syl221anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
20	15	zcnd 12356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
21	20, 10	mulcomd 10927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
22	21	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
23	13, 19, 22	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
24	9, 23	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   · cmul 10807  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518

This theorem is referenced by:  modexp  13881  fprodmodd  15635  smumul  16128  modxai  16697  elqaalem2  25385  lgsdir2lem5  26382  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem3  26430  modexp2m1d  44952