MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmul12d 13288
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modmul12d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
modmul12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modmul12d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
modmul12d.5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modmul12d.6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modmul12d.7 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modmul12d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 12075 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 modmul12d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
43zred 12075 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 modmul12d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
6 modmul12d.5 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7 modmul12d.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
8 modmul1 13287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1378 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
103zcnd 12076 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
115zcnd 12076 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1210, 11mulcomd 10651 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1312oveq1d 7155 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
145zred 12075 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 modmul12d.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1615zred 12075 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
17 modmul12d.7 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
18 modmul1 13287 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1378 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
2015zcnd 12076 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2120, 10mulcomd 10651 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
2221oveq1d 7155 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
2313, 19, 223eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
249, 23eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cr 10525   · cmul 10531  cz 11969  +crp 12377   mod cmo 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233
This theorem is referenced by:  modexp  13595  fprodmodd  15342  smumul  15831  modxai  16393  elqaalem2  24914  lgsdir2lem5  25911  lgseisenlem2  25958  lgseisenlem3  25959  modexp2m1d  44070
  Copyright terms: Public domain W3C validator