MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmul12d 13896
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
modmul12d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
modmul12d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
modmul12d.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
modmul12d.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
modmul12d.6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ))
modmul12d.7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
modmul12d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21zred 12670 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 modmul12d.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
43zred 12670 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 modmul12d.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6 modmul12d.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
7 modmul12d.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ))
8 modmul1 13895 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ธ) = (๐ต mod ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ))
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1378 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ))
103zcnd 12671 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
115zcnd 12671 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1210, 11mulcomd 11239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
1312oveq1d 7420 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ))
145zred 12670 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
15 modmul12d.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
1615zred 12670 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
17 modmul12d.7 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ))
18 modmul1 13895 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ถ mod ๐ธ) = (๐ท mod ๐ธ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ))
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1378 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ))
2015zcnd 12671 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2120, 10mulcomd 11239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ท))
2221oveq1d 7420 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))
2313, 19, 223eqtrd 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))
249, 23eqtrd 2766 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐ธ) = ((๐ต ยท ๐ท) mod ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  โ„cr 11111   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562  โ„+crp 12980   mod cmo 13840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841
This theorem is referenced by:  modexp  14206  fprodmodd  15947  smumul  16441  modxai  17010  elqaalem2  26210  lgsdir2lem5  27217  lgseisenlem2  27264  lgseisenlem3  27265  modexp2m1d  46852
  Copyright terms: Public domain W3C validator