MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmul12d 13963
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modmul12d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
modmul12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modmul12d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
modmul12d.5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modmul12d.6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modmul12d.7 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modmul12d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 12720 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 modmul12d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
43zred 12720 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 modmul12d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
6 modmul12d.5 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7 modmul12d.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
8 modmul1 13962 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1380 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
103zcnd 12721 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
115zcnd 12721 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1210, 11mulcomd 11280 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1312oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
145zred 12720 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 modmul12d.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1615zred 12720 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
17 modmul12d.7 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
18 modmul1 13962 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1380 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
2015zcnd 12721 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2120, 10mulcomd 11280 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
2221oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
2313, 19, 223eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
249, 23eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cr 11152   · cmul 11158  cz 12611  +crp 13032   mod cmo 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907
This theorem is referenced by:  modexp  14274  fprodmodd  16030  smumul  16527  modxai  17102  elqaalem2  26377  lgsdir2lem5  27388  lgseisenlem2  27435  lgseisenlem3  27436  modexp2m1d  47537
  Copyright terms: Public domain W3C validator