Theorem modmul12d 14095

Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modmul12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modmul12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
modmul12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
modmul12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
modmul12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modmul12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modmul12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modmul12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modmul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modmul12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 12830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		modmul12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	zred 12830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		modmul12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6		modmul12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
7		modmul12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
8		modmul1 14094	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
9	2, 4, 5, 6, 7, 8	syl221anc 1409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
10	3	zcnd 12831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11	5	zcnd 12831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	10, 11	mulcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
13	12	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
14	5	zred 12830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15		modmul12d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
16	15	zred 12830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
17		modmul12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
18		modmul1 14094	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
19	14, 16, 3, 6, 17, 18	syl221anc 1409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
20	15	zcnd 12831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
21	20, 10	mulcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
22	21	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
23	13, 19, 22	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
24	9, 23	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   · cmul 11232  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147   mod cmo 14036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-mod 14037

This theorem is used by:  modexp  14409  fprodmodd  16193  smumul  16692  modxai  17275  elqaalem2  26673  lgsdir2lem5  27686  lgseisenlem2  27733  lgseisenlem3  27734  modexp2m1d  48902