Theorem elqaalem2 24612

Description: Lemma for elqaa 24614. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
elqaa.7	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem2

Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 12816	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		elqaa.6	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
3	2	fveq2i 6502	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)))
4		nnmulcl 11464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ)
5	4	adantl 474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ)
6		elfznn0 12816	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7		elqaa.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		elqaa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
9		elqaa.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
10		elqaa.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
11		elqaa.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
12	7, 8, 9, 10, 11, 2	elqaalem1 24611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑖) · (𝑁‘𝑖)) ∈ ℤ))
13	12	simpld 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑖) ∈ ℕ)
14	13	adantlr 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑖) ∈ ℕ)
15	6, 14	sylan2 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝑖) ∈ ℕ)
16		eldifi 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
17		dgrcl 24526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
18	8, 16, 17	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
19		nn0uz 12094	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20	18, 19	syl6eleq 2876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
21	20	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
22		nnz 11817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
23	22	ad2antrl 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
24	7, 8, 9, 10, 11, 2	elqaalem1 24611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
25	24	simpld 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
26	25	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
27	23, 26	zmodcld 13075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 11898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ)
29		nnz 11817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
30	29	ad2antll 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
31	30, 26	zmodcld 13075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 11898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ)
33	26	nnrpd 12246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+)
34		nnre 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
35	34	ad2antrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
36		modabs2 13088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
37	35, 33, 36	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
38		nnre 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
39	38	ad2antll 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑗 ∈ ℝ)
40		modabs2 13088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
41	39, 33, 40	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
42	28, 23, 32, 30, 33, 37, 41	modmul12d 13108	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
43		oveq1 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
44		eqid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))
45		ovex 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
46	43, 44, 45	fvmpt 6595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
47	46	ad2antrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
48		oveq1 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
49		ovex 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
50	48, 44, 49	fvmpt 6595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
51	50	ad2antll 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
52	47, 51	oveq12d 6994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖)𝑃((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗)) = ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾))𝑃(𝑗 mod (𝑁‘𝐾))))
53		oveq12 6985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))))
54	53	oveq1d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)))
55		elqaa.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)))
56		ovex 7008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
57	54, 55, 56	ovmpoa 7121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V ∧ (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V) → ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾))𝑃(𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)))
58	45, 49, 57	mp2an 679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾))𝑃(𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾))
59	52, 58	syl6eq 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖)𝑃((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗)) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)))
60		oveq1 6983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 · 𝑗) → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
61		ovex 7008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
62	60, 44, 61	fvmpt 6595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑖 · 𝑗)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
63	5, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑖 · 𝑗)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
64	42, 59, 63	3eqtr4rd 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑖 · 𝑗)) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖)𝑃((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗)))
65		oveq1 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁‘𝑖) → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
66		ovex 7008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
67	65, 44, 66	fvmpt 6595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑖) ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
68	14, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
69		fveq2 6499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑁‘𝑘) = (𝑁‘𝑖))
70	69	oveq1d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
71		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))
72	70, 71, 66	fvmpt 6595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
73	72	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
74	68, 73	eqtr4d 2817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖))
75	6, 74	sylan2 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖))
76	5, 15, 21, 64, 75	seqhomo 13232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))) = (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)))
77	3, 76	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)))
78	1, 77	sylan2 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)))
79		0zd 11805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
80	4	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ)
81	19, 79, 13, 80	seqf 13206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
82	81, 18	ffvelrnd 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
83	2, 82	syl5eqel 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
84	83	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℕ)
85		oveq1 6983	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑅 → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
86		ovex 7008	. . . . 5 ⊢ (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
87	85, 44, 86	fvmpt 6595	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
88	84, 87	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
89	1, 88	sylan2 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
90		oveq12 6985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑖 · 𝑗))
91	90	oveq1d 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
92	91, 55, 61	ovmpoa 7121	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ V) → (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
93	92	el2v 3422	. . . 4 ⊢ (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾))
94		nn0mulcl 11745	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ0)
95	94	nn0zd 11898	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
96	1, 25	sylan2 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
97		zmodcl 13074	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
98	95, 96, 97	syl2anr 587	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
99	93, 98	syl5eqel 2870	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0)) → (𝑖𝑃𝑗) ∈ ℕ0)
100		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
101	100	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑛))
102	101	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
103	102	rabbidv 3403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
104	103	infeq1d 8736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
105	104	cbvmptv 5028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < )) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
106	11, 105	eqtri 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
107	7, 8, 9, 10, 106, 2	elqaalem1 24611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑘) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑘) · (𝑁‘𝑘)) ∈ ℤ))
108	107	simpld 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑘) ∈ ℕ)
109	108	adantlr 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑘) ∈ ℕ)
110	109	nnzd 11899	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑘) ∈ ℤ)
111	25	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
112	110, 111	zmodcld 13075	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
113	112	fmpttd 6702	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))):ℕ0⟶ℕ0)
114	1, 113	sylan2 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))):ℕ0⟶ℕ0)
115		ffvelrn 6674	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))):ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) ∈ ℕ0)
116	114, 6, 115	syl2an 586	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) ∈ ℕ0)
117		c0ex 10433	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
118		vex 3418	. . . . 5 ⊢ 𝑖 ∈ V
119		oveq12 6985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑥 · 𝑦) = (0 · 𝑖))
120	119	oveq1d 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
121		ovex 7008	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
122	120, 55, 121	ovmpoa 7121	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑖 ∈ V) → (0𝑃𝑖) = ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
123	117, 118, 122	mp2an 679	. . . 4 ⊢ (0𝑃𝑖) = ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾))
124		nn0cn 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
125	124	mul02d 10638	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑖) = 0)
126	125	oveq1d 6991	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) = (0 mod (𝑁‘𝐾)))
127	96	nnrpd 12246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+)
128		0mod 13085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+ → (0 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
129	127, 128	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (0 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
130	126, 129	sylan9eqr 2836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
131	123, 130	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (0𝑃𝑖) = 0)
132		oveq12 6985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑖 · 0))
133	132	oveq1d 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)))
134		ovex 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
135	133, 55, 134	ovmpoa 7121	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝑖𝑃0) = ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)))
136	118, 117, 135	mp2an 679	. . . 4 ⊢ (𝑖𝑃0) = ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾))
137	124	mul01d 10639	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 · 0) = 0)
138	137	oveq1d 6991	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)) = (0 mod (𝑁‘𝐾)))
139	138, 129	sylan9eqr 2836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
140	136, 139	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑃0) = 0)
141		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
142	18	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
143	1	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
144		fveq2 6499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁‘𝑘) = (𝑁‘𝐾))
145	144	oveq1d 6991	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)))
146		ovex 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
147	145, 71, 146	fvmpt 6595	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝐾) = ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)))
148	143, 147	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝐾) = ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)))
149	96	nncnd 11457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℂ)
150	96	nnne0d 11490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ≠ 0)
151	149, 150	dividd 11215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) = 1)
152		1z 11825	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
153	151, 152	syl6eqel 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ)
154	96	nnred 11456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ)
155		mod0 13059	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) = 0 ↔ ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
156	154, 127, 155	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) = 0 ↔ ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
157	153, 156	mpbird 249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
158	148, 157	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝐾) = 0)
159	99, 116, 131, 140, 141, 142, 158	seqz 13233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)) = 0)
160	78, 89, 159	3eqtr3d 2822	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {crab 3092  Vcvv 3415   ∖ cdif 3826  {csn 4441   ↦ cmpt 5008  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∈ cmpo 6978  infcinf 8700  ℂcc 10333  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340   < clt 10474   / cdiv 11098  ℕcn 11439  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ℤ_≥cuz 12058  ℚcq 12162  ℝ⁺crp 12204  ...cfz 12708   mod cmo 13052  seqcseq 13184  0_𝑝c0p 23973  Polycply 24477  coeffccoe 24479  degcdgr 24480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-0p 23974  df-ply 24481  df-coe 24483  df-dgr 24484

This theorem is referenced by:  elqaalem3  24613