Theorem elqaalem2 26300

Description: Lemma for elqaa 26302. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
elqaa.7	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem2

Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13568	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		elqaa.6	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
3	2	fveq2i 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)))
4		nnmulcl 12192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ)
6		elfznn0 13568	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7		elqaa.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		elqaa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
9		elqaa.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
10		elqaa.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
11		elqaa.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
12	7, 8, 9, 10, 11, 2	elqaalem1 26299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑖) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑖) · (𝑁‘𝑖)) ∈ ℤ))
13	12	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑖) ∈ ℕ)
14	13	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑖) ∈ ℕ)
15	6, 14	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝑖) ∈ ℕ)
16		eldifi 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
17		dgrcl 26211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
18	8, 16, 17	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
19		nn0uz 12820	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20	18, 19	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
22		nnz 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
23	22	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
24	7, 8, 9, 10, 11, 2	elqaalem1 26299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
25	24	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
27	23, 26	zmodcld 13845	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12543	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ)
29		nnz 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
30	29	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
31	30, 26	zmodcld 13845	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12543	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ)
33	26	nnrpd 12978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+)
34		nnre 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
35	34	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
36		modabs2 13858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
37	35, 33, 36	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
38		nnre 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
39	38	ad2antll 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → 𝑗 ∈ ℝ)
40		modabs2 13858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+) → ((𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
41	39, 33, 40	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
42	28, 23, 32, 30, 33, 37, 41	modmul12d 13881	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
43		oveq1 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))
45		ovex 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
46	43, 44, 45	fvmpt 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
47	46	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)))
48		oveq1 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
49		ovex 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
50	48, 44, 49	fvmpt 6942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
51	50	ad2antll 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗) = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)))
52	47, 51	oveq12d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖)𝑃((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗)) = ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾))𝑃(𝑗 mod (𝑁‘𝐾))))
53		oveq12 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))))
54	53	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)))
55		elqaa.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)))
56		ovex 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
57	54, 55, 56	ovmpoa 7516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V ∧ (𝑗 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V) → ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾))𝑃(𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)))
58	45, 49, 57	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 mod (𝑁‘𝐾))𝑃(𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾))
59	52, 58	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖)𝑃((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗)) = (((𝑖 mod (𝑁‘𝐾)) · (𝑗 mod (𝑁‘𝐾))) mod (𝑁‘𝐾)))
60		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 · 𝑗) → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
61		ovex 7394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
62	60, 44, 61	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑖 · 𝑗)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
63	5, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑖 · 𝑗)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
64	42, 59, 63	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑖 · 𝑗)) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖)𝑃((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑗)))
65		oveq1 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁‘𝑖) → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
66		ovex 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
67	65, 44, 66	fvmpt 6942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑖) ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
68	14, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
69		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑁‘𝑘) = (𝑁‘𝑖))
70	69	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
71		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))
72	70, 71, 66	fvmpt 6942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
73	72	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) = ((𝑁‘𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
74	68, 73	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖))
75	6, 74	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(𝑁‘𝑖)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖))
76	5, 15, 21, 64, 75	seqhomo 14005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘(seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))) = (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)))
77	3, 76	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)))
78	1, 77	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)))
79		0zd 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
80	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ)
81	19, 79, 13, 80	seqf 13979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
82	81, 18	ffvelcdmd 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
83	2, 82	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
84	83	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℕ)
85		oveq1 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑅 → (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
86		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
87	85, 44, 86	fvmpt 6942	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
88	84, 87	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
89	1, 88	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑅) = (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)))
90		oveq12 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑖 · 𝑗))
91	90	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
92	91, 55, 61	ovmpoa 7516	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ V) → (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)))
93	92	el2v 3437	. . . 4 ⊢ (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾))
94		nn0mulcl 12467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℕ0)
95	94	nn0zd 12543	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
96	1, 25	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
97		zmodcl 13844	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ) → ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
98	95, 96, 97	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 · 𝑗) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
99	93, 98	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0)) → (𝑖𝑃𝑗) ∈ ℕ0)
100		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
101	100	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑛))
102	101	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
103	102	rabbidv 3397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
104	103	infeq1d 9385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
105	104	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < )) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
106	11, 105	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
107	7, 8, 9, 10, 106, 2	elqaalem1 26299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑘) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑘) · (𝑁‘𝑘)) ∈ ℤ))
108	107	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑘) ∈ ℕ)
109	108	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑘) ∈ ℕ)
110	109	nnzd 12544	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑘) ∈ ℤ)
111	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℕ)
112	110, 111	zmodcld 13845	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ ℕ0)
113	112	fmpttd 7062	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))):ℕ0⟶ℕ0)
114	1, 113	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))):ℕ0⟶ℕ0)
115		ffvelcdm 7028	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))):ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) ∈ ℕ0)
116	114, 6, 115	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝑖) ∈ ℕ0)
117		c0ex 11132	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
118		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑖 ∈ V
119		oveq12 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑥 · 𝑦) = (0 · 𝑖))
120	119	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
121		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
122	120, 55, 121	ovmpoa 7516	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑖 ∈ V) → (0𝑃𝑖) = ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)))
123	117, 118, 122	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (0𝑃𝑖) = ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾))
124		nn0cn 12441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
125	124	mul02d 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (0 · 𝑖) = 0)
126	125	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) = (0 mod (𝑁‘𝐾)))
127	96	nnrpd 12978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+)
128		0mod 13855	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+ → (0 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
129	127, 128	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (0 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
130	126, 129	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((0 · 𝑖) mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
131	123, 130	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (0𝑃𝑖) = 0)
132		oveq12 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑖 · 0))
133	132	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)))
134		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
135	133, 55, 134	ovmpoa 7516	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝑖𝑃0) = ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)))
136	118, 117, 135	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝑖𝑃0) = ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾))
137	124	mul01d 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 · 0) = 0)
138	137	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)) = (0 mod (𝑁‘𝐾)))
139	138, 129	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 0) mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
140	136, 139	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑃0) = 0)
141		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
142	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
143	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
144		fveq2 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁‘𝑘) = (𝑁‘𝐾))
145	144	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)) = ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)))
146		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) ∈ V
147	145, 71, 146	fvmpt 6942	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝐾) = ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)))
148	143, 147	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝐾) = ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)))
149	96	nncnd 12184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℂ)
150	96	nnne0d 12221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ≠ 0)
151	149, 150	dividd 11923	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) = 1)
152		1z 12551	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
153	151, 152	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ)
154	96	nnred 12183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ)
155		mod0 13829	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐾) ∈ ℝ+) → (((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) = 0 ↔ ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
156	154, 127, 155	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) = 0 ↔ ((𝑁‘𝐾) / (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
157	153, 156	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑁‘𝐾) mod (𝑁‘𝐾)) = 0)
158	148, 157	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾)))‘𝐾) = 0)
159	99, 116, 131, 140, 141, 142, 158	seqz 14006	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (seq0(𝑃, (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁‘𝑘) mod (𝑁‘𝐾))))‘(deg‘𝐹)) = 0)
160	78, 89, 159	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝐾)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  infcinf 9348  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037   < clt 11173   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℚcq 12892  ℝ⁺crp 12936  ...cfz 13455   mod cmo 13822  seqcseq 13957  0_𝑝c0p 25649  Polycply 26162  coeffccoe 26164  degcdgr 26165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-0p 25650  df-ply 26166  df-coe 26168  df-dgr 26169

This theorem is referenced by:  elqaalem3  26301