MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem2 25833
Description: Lemma for elqaa 25835. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
elqaa.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
elqaa.3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
elqaa.4 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
elqaa.5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))
elqaa.7 𝑃 = (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)))
Assertion
Ref Expression
elqaalem2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐾,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑁,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝑃(π‘₯,𝑦,π‘˜,𝑛)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem2
Dummy variables π‘š 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13594 . . 3 (𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
2 elqaa.6 . . . . 5 𝑅 = (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))
32fveq2i 6895 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ)))
4 nnmulcl 12236 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•)
54adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•)
6 elfznn0 13594 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
7 elqaa.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 elqaa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
9 elqaa.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
10 elqaa.4 . . . . . . . . 9 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
11 elqaa.5 . . . . . . . . 9 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
127, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 25832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜π‘–) Β· (π‘β€˜π‘–)) ∈ β„€))
1312simpld 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•)
1413adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•)
156, 14sylan2 594 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•)
16 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š))
17 dgrcl 25747 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
188, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
19 nn0uz 12864 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2018, 19eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2120adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 nnz 12579 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
247, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 25832 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
2524simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
2723, 26zmodcld 13857 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€)
29 nnz 12579 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3029ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3130, 26zmodcld 13857 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
3231nn0zd 12584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€)
3326nnrpd 13014 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+)
34 nnre 12219 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
3534ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
36 modabs2 13870 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
3735, 33, 36syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
38 nnre 12219 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
3938ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
40 modabs2 13870 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
4139, 33, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
4228, 23, 32, 30, 33, 37, 41modmul12d 13890 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
43 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))
45 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
4643, 44, 45fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
4746ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
48 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
49 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
5048, 44, 49fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
5150ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
5247, 51oveq12d 7427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–)𝑃((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—)) = ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ))𝑃(𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))))
53 oveq12 7418 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))))
5453oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)))
55 elqaa.7 . . . . . . . . 9 𝑃 = (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)))
56 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
5754, 55, 56ovmpoa 7563 . . . . . . . 8 (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V ∧ (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V) β†’ ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ))𝑃(𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)))
5845, 49, 57mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ))𝑃(𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ))
5952, 58eqtrdi 2789 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–)𝑃((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—)) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)))
60 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 Β· 𝑗) β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
61 ovex 7442 . . . . . . . 8 ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
6260, 44, 61fvmpt 6999 . . . . . . 7 ((𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(𝑖 Β· 𝑗)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
635, 62syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(𝑖 Β· 𝑗)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
6442, 59, 633eqtr4rd 2784 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(𝑖 Β· 𝑗)) = (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–)𝑃((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—)))
65 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘β€˜π‘–) β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
66 ovex 7442 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
6765, 44, 66fvmpt 6999 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
6814, 67syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
69 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘–))
7069oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
71 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))
7270, 71, 66fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
7372adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
7468, 73eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–))
756, 74sylan2 594 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–))
765, 15, 21, 64, 75seqhomo 14015 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))) = (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)))
773, 76eqtrid 2785 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)))
781, 77sylan2 594 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)))
79 0zd 12570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
804adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•)
8119, 79, 13, 80seqf 13989 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq0( Β· , 𝑁):β„•0βŸΆβ„•)
8281, 18ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ)) ∈ β„•)
832, 82eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
8483adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ β„•)
85 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑅 β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
86 ovex 7442 . . . . 5 (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
8785, 44, 86fvmpt 6999 . . . 4 (𝑅 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
8884, 87syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
891, 88sylan2 594 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
90 oveq12 7418 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑖 Β· 𝑗))
9190oveq1d 7424 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
9291, 55, 61ovmpoa 7563 . . . . 5 ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ V) β†’ (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
9392el2v 3483 . . . 4 (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ))
94 nn0mulcl 12508 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•0)
9594nn0zd 12584 . . . . 5 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„€)
961, 25sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
97 zmodcl 13856 . . . . 5 (((𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
9895, 96, 97syl2anr 598 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
9993, 98eqeltrid 2838 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0)) β†’ (𝑖𝑃𝑗) ∈ β„•0)
100 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘š β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘š))
101100oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛))
102101eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€))
103102rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€} = {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€})
104103infeq1d 9472 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
105104cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < )) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
10611, 105eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
1077, 8, 9, 10, 106, 2elqaalem1 25832 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜π‘˜) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„€))
108107simpld 496 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•)
109108adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•)
110109nnzd 12585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„€)
11125adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
112110, 111zmodcld 13857 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
113112fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))):β„•0βŸΆβ„•0)
1141, 113sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))):β„•0βŸΆβ„•0)
115 ffvelcdm 7084 . . . 4 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))):β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) ∈ β„•0)
116114, 6, 115syl2an 597 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) ∈ β„•0)
117 c0ex 11208 . . . . 5 0 ∈ V
118 vex 3479 . . . . 5 𝑖 ∈ V
119 oveq12 7418 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (0 Β· 𝑖))
120119oveq1d 7424 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)))
121 ovex 7442 . . . . . 6 ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
122120, 55, 121ovmpoa 7563 . . . . 5 ((0 ∈ V ∧ 𝑖 ∈ V) β†’ (0𝑃𝑖) = ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)))
123117, 118, 122mp2an 691 . . . 4 (0𝑃𝑖) = ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ))
124 nn0cn 12482 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ β„‚)
125124mul02d 11412 . . . . . 6 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (0 Β· 𝑖) = 0)
126125oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)) = (0 mod (π‘β€˜πΎ)))
12796nnrpd 13014 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+)
128 0mod 13867 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+ β†’ (0 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
129127, 128syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (0 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
130126, 129sylan9eqr 2795 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
131123, 130eqtrid 2785 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0𝑃𝑖) = 0)
132 oveq12 7418 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑖 Β· 0))
133132oveq1d 7424 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)))
134 ovex 7442 . . . . . 6 ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
135133, 55, 134ovmpoa 7563 . . . . 5 ((𝑖 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝑖𝑃0) = ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)))
136118, 117, 135mp2an 691 . . . 4 (𝑖𝑃0) = ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ))
137124mul01d 11413 . . . . . 6 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 Β· 0) = 0)
138137oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)) = (0 mod (π‘β€˜πΎ)))
139138, 129sylan9eqr 2795 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
140136, 139eqtrid 2785 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖𝑃0) = 0)
141 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ)))
14218adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
1431adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
144 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜πΎ))
145144oveq1d 7424 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)))
146 ovex 7442 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
147145, 71, 146fvmpt 6999 . . . . 5 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜πΎ) = ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)))
148143, 147syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜πΎ) = ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)))
14996nncnd 12228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„‚)
15096nnne0d 12262 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) β‰  0)
151149, 150dividd 11988 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) = 1)
152 1z 12592 . . . . . 6 1 ∈ β„€
153151, 152eqeltrdi 2842 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€)
15496nnred 12227 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ)
155 mod0 13841 . . . . . 6 (((π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+) β†’ (((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0 ↔ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
156154, 127, 155syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0 ↔ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
157153, 156mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
158148, 157eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜πΎ) = 0)
15999, 116, 131, 140, 141, 142, 158seqz 14016 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0)
16078, 89, 1593eqtr3d 2781 1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„šcq 12932  β„+crp 12974  ...cfz 13484   mod cmo 13834  seqcseq 13966  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  elqaalem3  25834
  Copyright terms: Public domain W3C validator