MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem2 26069
Description: Lemma for elqaa 26071. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
elqaa.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
elqaa.3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
elqaa.4 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
elqaa.5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))
elqaa.7 𝑃 = (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)))
Assertion
Ref Expression
elqaalem2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐾,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑁,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝑃(π‘₯,𝑦,π‘˜,𝑛)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦,π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem2
Dummy variables π‘š 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13598 . . 3 (𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
2 elqaa.6 . . . . 5 𝑅 = (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))
32fveq2i 6893 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ)))
4 nnmulcl 12240 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•)
54adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•)
6 elfznn0 13598 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
7 elqaa.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 elqaa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
9 elqaa.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
10 elqaa.4 . . . . . . . . 9 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
11 elqaa.5 . . . . . . . . 9 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
127, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 26068 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜π‘–) Β· (π‘β€˜π‘–)) ∈ β„€))
1312simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•)
1413adantlr 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•)
156, 14sylan2 591 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„•)
16 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š))
17 dgrcl 25982 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
188, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
19 nn0uz 12868 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2018, 19eleqtrdi 2841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2120adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 ∈ β„€)
2322ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
247, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 26068 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
2524simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
2723, 26zmodcld 13861 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€)
29 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3029ad2antll 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3130, 26zmodcld 13861 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
3231nn0zd 12588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€)
3326nnrpd 13018 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+)
34 nnre 12223 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
3534ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
36 modabs2 13874 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
3735, 33, 36syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
38 nnre 12223 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
3938ad2antll 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
40 modabs2 13874 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
4139, 33, 40syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
4228, 23, 32, 30, 33, 37, 41modmul12d 13894 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
43 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
44 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))
45 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
4643, 44, 45fvmpt 6997 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
4746ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)))
48 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
49 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
5048, 44, 49fvmpt 6997 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
5150ad2antll 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—) = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)))
5247, 51oveq12d 7429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–)𝑃((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—)) = ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ))𝑃(𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))))
53 oveq12 7420 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))))
5453oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = (𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∧ 𝑦 = (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)))
55 elqaa.7 . . . . . . . . 9 𝑃 = (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)))
56 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
5754, 55, 56ovmpoa 7565 . . . . . . . 8 (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V ∧ (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V) β†’ ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ))𝑃(𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)))
5845, 49, 57mp2an 688 . . . . . . 7 ((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ))𝑃(𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ))
5952, 58eqtrdi 2786 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–)𝑃((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—)) = (((𝑖 mod (π‘β€˜πΎ)) Β· (𝑗 mod (π‘β€˜πΎ))) mod (π‘β€˜πΎ)))
60 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑖 Β· 𝑗) β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
61 ovex 7444 . . . . . . . 8 ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
6260, 44, 61fvmpt 6997 . . . . . . 7 ((𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(𝑖 Β· 𝑗)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
635, 62syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(𝑖 Β· 𝑗)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
6442, 59, 633eqtr4rd 2781 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(𝑖 Β· 𝑗)) = (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–)𝑃((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘—)))
65 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘β€˜π‘–) β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
66 ovex 7444 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
6765, 44, 66fvmpt 6997 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π‘–) ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
6814, 67syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
69 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘–))
7069oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
71 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))
7270, 71, 66fvmpt 6997 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
7372adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) = ((π‘β€˜π‘–) mod (π‘β€˜πΎ)))
7468, 73eqtr4d 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–))
756, 74sylan2 591 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(π‘β€˜π‘–)) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–))
765, 15, 21, 64, 75seqhomo 14019 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜(seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))) = (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)))
773, 76eqtrid 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)))
781, 77sylan2 591 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)))
79 0zd 12574 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
804adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•)
8119, 79, 13, 80seqf 13993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq0( Β· , 𝑁):β„•0βŸΆβ„•)
8281, 18ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ)) ∈ β„•)
832, 82eqeltrid 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
8483adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ β„•)
85 oveq1 7418 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑅 β†’ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
86 ovex 7444 . . . . 5 (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
8785, 44, 86fvmpt 6997 . . . 4 (𝑅 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
8884, 87syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
891, 88sylan2 591 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (π‘˜ mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘…) = (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)))
90 oveq12 7420 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑖 Β· 𝑗))
9190oveq1d 7426 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
9291, 55, 61ovmpoa 7565 . . . . 5 ((𝑖 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ V) β†’ (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)))
9392el2v 3480 . . . 4 (𝑖𝑃𝑗) = ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ))
94 nn0mulcl 12512 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„•0)
9594nn0zd 12588 . . . . 5 ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„€)
961, 25sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
97 zmodcl 13860 . . . . 5 (((𝑖 Β· 𝑗) ∈ β„€ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
9895, 96, 97syl2anr 595 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑖 Β· 𝑗) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
9993, 98eqeltrid 2835 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0)) β†’ (𝑖𝑃𝑗) ∈ β„•0)
100 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘š β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘š))
101100oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛))
102101eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€))
103102rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€} = {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€})
104103infeq1d 9474 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
105104cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < )) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
10611, 105eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘š) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
1077, 8, 9, 10, 106, 2elqaalem1 26068 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜π‘˜) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘β€˜π‘˜)) ∈ β„€))
108107simpld 493 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•)
109108adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•)
110109nnzd 12589 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„€)
11125adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„•)
112110, 111zmodcld 13861 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„•0)
113112fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))):β„•0βŸΆβ„•0)
1141, 113sylan2 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))):β„•0βŸΆβ„•0)
115 ffvelcdm 7082 . . . 4 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))):β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) ∈ β„•0)
116114, 6, 115syl2an 594 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜π‘–) ∈ β„•0)
117 c0ex 11212 . . . . 5 0 ∈ V
118 vex 3476 . . . . 5 𝑖 ∈ V
119 oveq12 7420 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (0 Β· 𝑖))
120119oveq1d 7426 . . . . . 6 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑖) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)))
121 ovex 7444 . . . . . 6 ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
122120, 55, 121ovmpoa 7565 . . . . 5 ((0 ∈ V ∧ 𝑖 ∈ V) β†’ (0𝑃𝑖) = ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)))
123117, 118, 122mp2an 688 . . . 4 (0𝑃𝑖) = ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ))
124 nn0cn 12486 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ β„‚)
125124mul02d 11416 . . . . . 6 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (0 Β· 𝑖) = 0)
126125oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)) = (0 mod (π‘β€˜πΎ)))
12796nnrpd 13018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+)
128 0mod 13871 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+ β†’ (0 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
129127, 128syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (0 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
130126, 129sylan9eqr 2792 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((0 Β· 𝑖) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
131123, 130eqtrid 2782 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (0𝑃𝑖) = 0)
132 oveq12 7420 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑖 Β· 0))
133132oveq1d 7426 . . . . . 6 ((π‘₯ = 𝑖 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)))
134 ovex 7444 . . . . . 6 ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
135133, 55, 134ovmpoa 7565 . . . . 5 ((𝑖 ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (𝑖𝑃0) = ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)))
136118, 117, 135mp2an 688 . . . 4 (𝑖𝑃0) = ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ))
137124mul01d 11417 . . . . . 6 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 Β· 0) = 0)
138137oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)) = (0 mod (π‘β€˜πΎ)))
139138, 129sylan9eqr 2792 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 Β· 0) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
140136, 139eqtrid 2782 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖𝑃0) = 0)
141 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ)))
14218adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
1431adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
144 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜πΎ))
145144oveq1d 7426 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)) = ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)))
146 ovex 7444 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) ∈ V
147145, 71, 146fvmpt 6997 . . . . 5 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜πΎ) = ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)))
148143, 147syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜πΎ) = ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)))
14996nncnd 12232 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ β„‚)
15096nnne0d 12266 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) β‰  0)
151149, 150dividd 11992 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) = 1)
152 1z 12596 . . . . . 6 1 ∈ β„€
153151, 152eqeltrdi 2839 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€)
15496nnred 12231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ)
155 mod0 13845 . . . . . 6 (((π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜πΎ) ∈ ℝ+) β†’ (((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0 ↔ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
156154, 127, 155syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0 ↔ ((π‘β€˜πΎ) / (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
157153, 156mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘β€˜πΎ) mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
158148, 157eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ)))β€˜πΎ) = 0)
15999, 116, 131, 140, 141, 142, 158seqz 14020 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (seq0(𝑃, (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π‘β€˜π‘˜) mod (π‘β€˜πΎ))))β€˜(degβ€˜πΉ)) = 0)
16078, 89, 1593eqtr3d 2778 1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (𝑅 mod (π‘β€˜πΎ)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„šcq 12936  β„+crp 12978  ...cfz 13488   mod cmo 13838  seqcseq 13970  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  elqaalem3  26070
  Copyright terms: Public domain W3C validator