MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp 13592
Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
modexp (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modexp
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1193 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
2 id 22 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)))
323adant2l 1172 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)))
4 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
54oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
6 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐵𝑥) = (𝐵↑0))
76oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
85, 7eqeq12d 2841 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
98imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
10 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑘))
1110oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴𝑘) mod 𝐷))
12 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑘))
1312oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
1411, 13eqeq12d 2841 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)))
1514imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))))
16 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1716oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑥) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1918oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
2017, 19eqeq12d 2841 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
2120imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
22 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐶))
2322oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴𝐶) mod 𝐷))
24 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝐶))
2524oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
2623, 25eqeq12d 2841 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
2726imbi2d 342 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))))
28 zcn 11978 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
29 exp0 13426 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑0) = 1)
31 zcn 11978 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
32 exp0 13426 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑0) = 1)
3433eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 1 = (𝐵↑0))
3530, 34sylan9eq 2880 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
3635oveq1d 7166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
37363ad2ant1 1127 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
38 simp21l 1284 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39 simp1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 zexpcl 13437 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
42 simp21r 1285 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
43 zexpcl 13437 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
4442, 39, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
45 simp22 1201 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
46 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
47 simp23 1202 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
4841, 44, 38, 42, 45, 46, 47modmul12d 13286 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
4938zcnd 12080 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 expp1 13429 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5149, 39, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5251oveq1d 7166 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
5342zcnd 12080 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
54 expp1 13429 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5553, 39, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5655oveq1d 7166 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
5748, 52, 563eqtr4d 2870 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
58573exp 1113 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → (((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
5958a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
609, 15, 21, 27, 37, 59nn0ind 12069 . 2 (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
611, 3, 60sylc 65 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12382   mod cmo 13230  cexp 13422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423
This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  15607  odzdvds  16124  lgsmod  25815  lgsne0  25827  fmtnoprmfac1lem  43560  sfprmdvdsmersenne  43602  41prothprmlem2  43617
  Copyright terms: Public domain W3C validator