MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp 14183
Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
modexp (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modexp
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1199 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
2 id 22 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)))
323adant2l 1178 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)))
4 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
54oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
6 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐵𝑥) = (𝐵↑0))
76oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
85, 7eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
10 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑘))
1110oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴𝑘) mod 𝐷))
12 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑘))
1312oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
1411, 13eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)))
1514imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))))
16 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1716oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑥) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1918oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
2017, 19eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
22 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐶))
2322oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴𝐶) mod 𝐷))
24 oveq2 7401 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝐶))
2524oveq1d 7408 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
2623, 25eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
2726imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))))
28 zcn 12545 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
29 exp0 14013 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑0) = 1)
31 zcn 12545 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
32 exp0 14013 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑0) = 1)
3433eqcomd 2737 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 1 = (𝐵↑0))
3530, 34sylan9eq 2791 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
3635oveq1d 7408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
37363ad2ant1 1133 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
38 simp21l 1290 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 zexpcl 14024 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
42 simp21r 1291 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
43 zexpcl 14024 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
4442, 39, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
45 simp22 1207 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
46 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
47 simp23 1208 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
4841, 44, 38, 42, 45, 46, 47modmul12d 13872 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
4938zcnd 12649 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 expp1 14016 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5149, 39, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5251oveq1d 7408 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
5342zcnd 12649 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
54 expp1 14016 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5553, 39, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5655oveq1d 7408 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
5748, 52, 563eqtr4d 2781 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
58573exp 1119 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → (((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
5958a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
609, 15, 21, 27, 37, 59nn0ind 12639 . 2 (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
611, 3, 60sylc 65 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7393  cc 11090  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  0cn0 12454  cz 12540  +crp 12956   mod cmo 13816  cexp 14009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010
This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  16187  odzdvds  16710  lgsmod  26753  lgsne0  26765  fmtnoprmfac1lem  46004  sfprmdvdsmersenne  46043  41prothprmlem2  46058
  Copyright terms: Public domain W3C validator