Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp 13650
 Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
modexp (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))

Proof of Theorem modexp
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1197 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
2 id 22 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)))
323adant2l 1176 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)))
4 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
54oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴↑0) mod 𝐷))
6 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐵𝑥) = (𝐵↑0))
76oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
85, 7eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷)))
98imbi2d 345 . . 3 (𝑥 = 0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))))
10 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑘))
1110oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴𝑘) mod 𝐷))
12 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝑘))
1312oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
1411, 13eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)))
1514imbi2d 345 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))))
16 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1716oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
18 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑥) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1918oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
2017, 19eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷)))
2120imbi2d 345 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
22 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐶))
2322oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐴𝐶) mod 𝐷))
24 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝐶))
2524oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
2623, 25eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷) ↔ ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
2726imbi2d 345 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑥) mod 𝐷) = ((𝐵𝑥) mod 𝐷)) ↔ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))))
28 zcn 12026 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
29 exp0 13484 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑0) = 1)
31 zcn 12026 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
32 exp0 13484 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑0) = 1)
3433eqcomd 2765 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 1 = (𝐵↑0))
3530, 34sylan9eq 2814 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑0) = (𝐵↑0))
3635oveq1d 7166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
37363ad2ant1 1131 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑0) mod 𝐷) = ((𝐵↑0) mod 𝐷))
38 simp21l 1288 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
39 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 zexpcl 13495 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
4138, 39, 40syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
42 simp21r 1289 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
43 zexpcl 13495 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
4442, 39, 43syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
45 simp22 1205 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
46 simp3 1136 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷))
47 simp23 1206 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
4841, 44, 38, 42, 45, 46, 47modmul12d 13343 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
4938zcnd 12128 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 expp1 13487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5149, 39, 50syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
5251oveq1d 7166 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) mod 𝐷))
5342zcnd 12128 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
54 expp1 13487 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5553, 39, 54syl2anc 588 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
5655oveq1d 7166 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = (((𝐵𝑘) · 𝐵) mod 𝐷))
5748, 52, 563eqtr4d 2804 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) ∧ ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))
58573exp 1117 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → (((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
5958a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝑘) mod 𝐷) = ((𝐵𝑘) mod 𝐷)) → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷) = ((𝐵↑(𝑘 + 1)) mod 𝐷))))
609, 15, 21, 27, 37, 59nn0ind 12117 . 2 (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷)))
611, 3, 60sylc 65 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵𝐶) mod 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7151  ℂcc 10574  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579   · cmul 10581  ℕ0cn0 11935  ℤcz 12021  ℝ+crp 12431   mod cmo 13287  ↑cexp 13480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8940  df-inf 8941  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fl 13212  df-mod 13288  df-seq 13420  df-exp 13481 This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  15664  odzdvds  16188  lgsmod  26007  lgsne0  26019  fmtnoprmfac1lem  44450  sfprmdvdsmersenne  44489  41prothprmlem2  44504
 Copyright terms: Public domain W3C validator