MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp 14207
Description: Exponentiation property of the modulo operation, see theorem 5.2(c) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
modexp (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))

Proof of Theorem modexp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1197 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
2 id 22 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)))
323adant2l 1176 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)))
4 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘0))
54oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท))
6 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ฅ) = (๐ตโ†‘0))
76oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท))
85, 7eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท)))
98imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท))))
10 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
1110oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))
12 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ฅ) = (๐ตโ†‘๐‘˜))
1312oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))
1411, 13eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)))
1514imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))))
16 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1716oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))
18 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ฅ) = (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1918oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))
2017, 19eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท)))
2120imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))))
22 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ฅ) = (๐ดโ†‘๐ถ))
2322oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท))
24 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘ฅ) = (๐ตโ†‘๐ถ))
2524oveq1d 7428 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))
2623, 25eqeq12d 2746 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) โ†” ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท)))
2726imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘ฅ) mod ๐ท)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))))
28 zcn 12569 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
29 exp0 14037 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
31 zcn 12569 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
32 exp0 14037 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
3433eqcomd 2736 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ 1 = (๐ตโ†‘0))
3530, 34sylan9eq 2790 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘0) = (๐ตโ†‘0))
3635oveq1d 7428 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท))
37363ad2ant1 1131 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘0) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘0) mod ๐ท))
38 simp21l 1288 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
39 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
40 zexpcl 14048 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4138, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
42 simp21r 1289 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
43 zexpcl 14048 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
4442, 39, 43syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
45 simp22 1205 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
46 simp3 1136 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท))
47 simp23 1206 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท))
4841, 44, 38, 42, 45, 46, 47modmul12d 13896 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) mod ๐ท) = (((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต) mod ๐ท))
4938zcnd 12673 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
50 expp1 14040 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5149, 39, 50syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5251oveq1d 7428 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) mod ๐ท))
5342zcnd 12673 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
54 expp1 14040 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
5553, 39, 54syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต))
5655oveq1d 7428 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = (((๐ตโ†‘๐‘˜) ยท ๐ต) mod ๐ท))
5748, 52, 563eqtr4d 2780 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โˆง ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))
58573exp 1117 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))))
5958a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) mod ๐ท)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ + 1)) mod ๐ท))))
609, 15, 21, 27, 37, 59nn0ind 12663 . 2 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ท โˆˆ โ„+ โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท)))
611, 3, 60sylc 65 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐ท) = (๐ต mod ๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐ถ) mod ๐ท) = ((๐ตโ†‘๐ถ) mod ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„•0cn0 12478  โ„คcz 12564  โ„+crp 12980   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034
This theorem is referenced by:  dvdsmodexp  16211  odzdvds  16734  lgsmod  27060  lgsne0  27072  fmtnoprmfac1lem  46532  sfprmdvdsmersenne  46571  41prothprmlem2  46586
  Copyright terms: Public domain W3C validator