Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  modexp2m1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp2m1d 47419
Description: The square of an integer which is -1 modulo a number greater than 1 is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
modexp2m1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modexp2m1d.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modexp2m1d.g (𝜑 → 1 < 𝐸)
modexp2m1d.m (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modexp2m1d (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Proof of Theorem modexp2m1d
StepHypRef Expression
1 modexp2m1d.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 12744 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32sqvald 14189 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
43oveq1d 7460 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸))
5 neg1z 12675 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
7 modexp2m1d.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
8 modexp2m1d.m . . . 4 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
91, 6, 1, 6, 7, 8, 8modmul12d 13972 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
104, 9eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
11 neg1mulneg1e1 12502 . . . . 5 (-1 · -1) = 1
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-1 · -1) = 1)
1312oveq1d 7460 . . 3 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = (1 mod 𝐸))
147rpred 13095 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
15 modexp2m1d.g . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐸)
16 1mod 13950 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐸) → (1 mod 𝐸) = 1)
1714, 15, 16syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (1 mod 𝐸) = 1)
1813, 17eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = 1)
1910, 18eqtrd 2774 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2103   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445  cr 11179  1c1 11181   · cmul 11185   < clt 11320  -cneg 11517  2c2 12344  cz 12635  +crp 13053   mod cmo 13916  cexp 14108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109
This theorem is referenced by:  proththd  47421
  Copyright terms: Public domain W3C validator