Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  modexp2m1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp2m1d 46981
Description: The square of an integer which is -1 modulo a number greater than 1 is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
modexp2m1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modexp2m1d.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modexp2m1d.g (𝜑 → 1 < 𝐸)
modexp2m1d.m (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modexp2m1d (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Proof of Theorem modexp2m1d
StepHypRef Expression
1 modexp2m1d.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 12705 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32sqvald 14147 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
43oveq1d 7441 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸))
5 neg1z 12636 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
7 modexp2m1d.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
8 modexp2m1d.m . . . 4 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
91, 6, 1, 6, 7, 8, 8modmul12d 13930 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
104, 9eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
11 neg1mulneg1e1 12463 . . . . 5 (-1 · -1) = 1
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-1 · -1) = 1)
1312oveq1d 7441 . . 3 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = (1 mod 𝐸))
147rpred 13056 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
15 modexp2m1d.g . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐸)
16 1mod 13908 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐸) → (1 mod 𝐸) = 1)
1714, 15, 16syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (1 mod 𝐸) = 1)
1813, 17eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = 1)
1910, 18eqtrd 2768 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cr 11145  1c1 11147   · cmul 11151   < clt 11286  -cneg 11483  2c2 12305  cz 12596  +crp 13014   mod cmo 13874  cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067
This theorem is referenced by:  proththd  46983
  Copyright terms: Public domain W3C validator