Theorem modexp2m1d 44952

Description: The square of an integer which is -1 modulo a number greater than 1 is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
modexp2m1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modexp2m1d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modexp2m1d.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐸)
modexp2m1d.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modexp2m1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Proof of Theorem modexp2m1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modexp2m1d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	sqvald 13789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4	3	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸))
5		neg1z 12286	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
7		modexp2m1d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
8		modexp2m1d.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
9	1, 6, 1, 6, 7, 8, 8	modmul12d 13573	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
10	4, 9	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
11		neg1mulneg1e1 12116	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · -1) = 1)
13	12	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = (1 mod 𝐸))
14	7	rpred 12701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
15		modexp2m1d.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐸)
16		1mod 13551	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐸) → (1 mod 𝐸) = 1)
17	14, 15, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝐸) = 1)
18	13, 17	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = 1)
19	10, 18	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940  -cneg 11136  2c2 11958  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  proththd  44954