Theorem modexp2m1d 48523

Description: The square of an integer which is -1 modulo a number greater than 1 is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
modexp2m1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modexp2m1d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modexp2m1d.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐸)
modexp2m1d.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modexp2m1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Proof of Theorem modexp2m1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modexp2m1d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	sqvald 14211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4	3	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸))
5		neg1z 12658	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
7		modexp2m1d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
8		modexp2m1d.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
9	1, 6, 1, 6, 7, 8, 8	modmul12d 13993	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
10	4, 9	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
11		neg1mulneg1e1 12484	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · -1) = 1)
13	12	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = (1 mod 𝐸))
14	7	rpred 13090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
15		modexp2m1d.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐸)
16		1mod 13968	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐸) → (1 mod 𝐸) = 1)
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝐸) = 1)
18	13, 17	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = 1)
19	10, 18	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  1c1 11129   · cmul 11133   < clt 11271  -cneg 11470  2c2 12323  ℤcz 12619  ℝ⁺crp 13046   mod cmo 13934  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  proththd  48525