Theorem modexp2m1d 46981

Description: The square of an integer which is -1 modulo a number greater than 1 is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
modexp2m1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
modexp2m1d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modexp2m1d.g	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐸)
modexp2m1d.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modexp2m1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Proof of Theorem modexp2m1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modexp2m1d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	sqvald 14147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
4	3	oveq1d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸))
5		neg1z 12636	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
7		modexp2m1d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
8		modexp2m1d.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
9	1, 6, 1, 6, 7, 8, 8	modmul12d 13930	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
10	4, 9	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
11		neg1mulneg1e1 12463	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = 1
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · -1) = 1)
13	12	oveq1d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = (1 mod 𝐸))
14	7	rpred 13056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
15		modexp2m1d.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐸)
16		1mod 13908	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐸) → (1 mod 𝐸) = 1)
17	14, 15, 16	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝐸) = 1)
18	13, 17	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = 1)
19	10, 18	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  1c1 11147   · cmul 11151   < clt 11286  -cneg 11483  2c2 12305  ℤcz 12596  ℝ⁺crp 13014   mod cmo 13874  ↑cexp 14066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067

This theorem is referenced by:  proththd  46983