Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  modexp2m1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp2m1d 45033
Description: The square of an integer which is -1 modulo a number greater than 1 is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
modexp2m1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modexp2m1d.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modexp2m1d.g (𝜑 → 1 < 𝐸)
modexp2m1d.m (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modexp2m1d (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Proof of Theorem modexp2m1d
StepHypRef Expression
1 modexp2m1d.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 12426 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32sqvald 13859 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
43oveq1d 7286 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸))
5 neg1z 12356 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
7 modexp2m1d.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
8 modexp2m1d.m . . . 4 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
91, 6, 1, 6, 7, 8, 8modmul12d 13643 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
104, 9eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
11 neg1mulneg1e1 12186 . . . . 5 (-1 · -1) = 1
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-1 · -1) = 1)
1312oveq1d 7286 . . 3 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = (1 mod 𝐸))
147rpred 12771 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
15 modexp2m1d.g . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐸)
16 1mod 13621 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐸) → (1 mod 𝐸) = 1)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (1 mod 𝐸) = 1)
1813, 17eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = 1)
1910, 18eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  cr 10871  1c1 10873   · cmul 10877   < clt 11010  -cneg 11206  2c2 12028  cz 12319  +crp 12729   mod cmo 13587  cexp 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781
This theorem is referenced by:  proththd  45035
  Copyright terms: Public domain W3C validator