Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  modexp2m1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modexp2m1d 47488
Description: The square of an integer which is -1 modulo a number greater than 1 is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
modexp2m1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modexp2m1d.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modexp2m1d.g (𝜑 → 1 < 𝐸)
modexp2m1d.m (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modexp2m1d (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)

Proof of Theorem modexp2m1d
StepHypRef Expression
1 modexp2m1d.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 12750 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32sqvald 14195 . . . 4 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
43oveq1d 7465 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸))
5 neg1z 12681 . . . . 5 -1 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
7 modexp2m1d.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
8 modexp2m1d.m . . . 4 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (-1 mod 𝐸))
91, 6, 1, 6, 7, 8, 8modmul12d 13978 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
104, 9eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = ((-1 · -1) mod 𝐸))
11 neg1mulneg1e1 12508 . . . . 5 (-1 · -1) = 1
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-1 · -1) = 1)
1312oveq1d 7465 . . 3 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = (1 mod 𝐸))
147rpred 13101 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
15 modexp2m1d.g . . . 4 (𝜑 → 1 < 𝐸)
16 1mod 13956 . . . 4 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐸) → (1 mod 𝐸) = 1)
1714, 15, 16syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (1 mod 𝐸) = 1)
1813, 17eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → ((-1 · -1) mod 𝐸) = 1)
1910, 18eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐴↑2) mod 𝐸) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7450  cr 11185  1c1 11187   · cmul 11191   < clt 11326  -cneg 11523  2c2 12350  cz 12641  +crp 13059   mod cmo 13922  cexp 14114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14055  df-exp 14115
This theorem is referenced by:  proththd  47490
  Copyright terms: Public domain W3C validator