Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssacsex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssacsex 19919
 Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 19742 by lspsolv 19918. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lssacsex.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lssacsex.3 𝑋 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssacsex (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19881 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2 lssacsex.3 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑊)
3 lssacsex.1 . . . 4 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssacs 19742 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
51, 4syl 17 . 2 (𝑊 ∈ LVec → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
6 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑊 ∈ LVec)
7 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
87elpwid 4534 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠𝑋)
9 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦𝑋)
10 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠)))
11 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
133, 11, 12mrclsp 19764 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
146, 1, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
1514fveq1d 6664 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})))
1614fveq1d 6664 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑠) = (𝑁𝑠))
1715, 16difeq12d 4087 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)) = ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠)))
1810, 17eleqtrrd 2919 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))
192, 3, 11lspsolv 19918 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑠𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2114fveq1d 6664 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2220, 21eleqtrd 2918 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2322ralrimiva 3177 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2423ralrimiva 3177 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2524ralrimiva 3177 . 2 (𝑊 ∈ LVec → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
265, 25jca 515 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ∖ cdif 3917   ∪ cun 3918   ⊆ wss 3920  𝒫 cpw 4523  {csn 4551  ‘cfv 6344  Basecbs 16486  mrClscmrc 16857  ACScacs 16859  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  LSpanclspn 19746  LVecclvec 19877 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878 This theorem is referenced by:  lvecdim  19932  lvecdimfi  31061  lindsdom  34997  aacllem  45256
 Copyright terms: Public domain W3C validator