Theorem lssacsex 21101

Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 20920 by lspsolv 21100. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacsex.1	⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lssacsex.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lssacsex.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssacsex	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lssacsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21060	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssacsex.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3		lssacsex.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssacs 20920	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
6		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑊 ∈ LVec)
7		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
8	7	elpwid 4551	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
9		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠)))
11		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12		lssacsex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
13	3, 11, 12	mrclsp 20942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
14	6, 1, 13	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
15	14	fveq1d 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})))
16	14	fveq1d 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑠) = (𝑁‘𝑠))
17	15, 16	difeq12d 4068	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)) = ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠)))
18	10, 17	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))
19	2, 3, 11	lspsolv 21100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
20	6, 8, 9, 18, 19	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
21	14	fveq1d 6834	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
22	20, 21	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
23	22	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
24	23	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
25	24	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
26	5, 25	jca 511	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ‘cfv 6490  Basecbs 17137  mrClscmrc 17503  ACScacs 17505  LModclmod 20813  LSubSpclss 20884  LSpanclspn 20924  LVecclvec 21056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-0g 17362  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057

This theorem is referenced by:  lvecdim  21114  lvecdimfi  33745  lindsdom  37926  aacllem  50234