Theorem lssacsex 21035

Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 20854 by lspsolv 21034. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacsex.1	⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lssacsex.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lssacsex.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssacsex	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lssacsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20994	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssacsex.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3		lssacsex.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssacs 20854	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
6		simplll 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑊 ∈ LVec)
7		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
8	7	elpwid 4556	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
9		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠)))
11		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12		lssacsex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
13	3, 11, 12	mrclsp 20876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
14	6, 1, 13	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
15	14	fveq1d 6818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})))
16	14	fveq1d 6818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑠) = (𝑁‘𝑠))
17	15, 16	difeq12d 4074	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)) = ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠)))
18	10, 17	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))
19	2, 3, 11	lspsolv 21034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑠 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
20	6, 8, 9, 18, 19	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
21	14	fveq1d 6818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
22	20, 21	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
23	22	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
24	23	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
25	24	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
26	5, 25	jca 511	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  mrClscmrc 17472  ACScacs 17474  LModclmod 20747  LSubSpclss 20818  LSpanclspn 20858  LVecclvec 20990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-0g 17332  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-subg 18989  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-ring 20107  df-oppr 20209  df-dvdsr 20229  df-unit 20230  df-invr 20260  df-drng 20600  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-lvec 20991

This theorem is referenced by:  lvecdim  21048  lvecdimfi  33576  lindsdom  37611  aacllem  49800