Theorem lbsacsbs 21111

Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 21109. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsacsbs.1	⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lbsacsbs.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lbsacsbs.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
lbsacsbs.4	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
lbsacsbs.5	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsacsbs	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Proof of Theorem lbsacsbs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsacsbs.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		lbsacsbs.5	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs2 21109	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
5		lveclmod 21058	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6		lbsacsbs.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
7		lbsacsbs.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8	6, 3, 7	mrclsp 20940	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
10	9	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = (𝑁‘𝑆))
11	10	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
12	9	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
13	12	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
14	13	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
15	14	ralbidv 3159	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
16	11, 15	3anbi23d 1441	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
17		3anan32 1096	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
18	1, 6	lssmre 20917	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
19		lbsacsbs.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
20	7, 19	ismri 17554	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
21	5, 18, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
22	21	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
23	17, 22	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
24	4, 16, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Moorecmre 17501  mrClscmrc 17502  mrIndcmri 17503  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922  LBasisclbs 21026  LVecclvec 21054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-mri 17507  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lbs 21027  df-lvec 21055

This theorem is referenced by:  lvecdim  21112  lvecdimfi  33752