Theorem lbsacsbs 21427

Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 21425. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsacsbs.1	⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lbsacsbs.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lbsacsbs.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
lbsacsbs.4	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
lbsacsbs.5	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsacsbs	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Proof of Theorem lbsacsbs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsacsbs.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		lbsacsbs.5	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs2 21425	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
5		lveclmod 21374	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6		lbsacsbs.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
7		lbsacsbs.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8	6, 3, 7	mrclsp 21257	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
9	5, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
10	9	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = (𝑁‘𝑆))
11	10	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
12	9	fveq1d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
13	12	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
14	13	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
15	14	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
16	11, 15	3anbi23d 1467	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
17		3anan32 1113	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
18	1, 6	lssmre 21234	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
19		lbsacsbs.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
20	7, 19	ismri 17798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
21	5, 18, 20	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
22	21	anbi1d 643	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
23	17, 22	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
24	4, 16, 23	3bitrd 308	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  Moorecmre 17745  mrClscmrc 17746  mrIndcmri 17747  LModclmod 21128  LSubSpclss 21199  LSpanclspn 21239  LBasisclbs 21342  LVecclvec 21370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-0g 17605  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-mri 17751  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lbs 21343  df-lvec 21371

This theorem is used by:  lvecdim  21428  lvecdimfi  34221