Theorem lbsacsbs 21102

Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 21100. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsacsbs.1	⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lbsacsbs.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lbsacsbs.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
lbsacsbs.4	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
lbsacsbs.5	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsacsbs	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Proof of Theorem lbsacsbs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsacsbs.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		lbsacsbs.5	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs2 21100	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
5		lveclmod 21049	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6		lbsacsbs.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
7		lbsacsbs.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8	6, 3, 7	mrclsp 20931	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
10	9	fveq1d 6833	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = (𝑁‘𝑆))
11	10	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
12	9	fveq1d 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
13	12	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
14	13	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
15	14	ralbidv 3156	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
16	11, 15	3anbi23d 1441	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
17		3anan32 1096	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
18	1, 6	lssmre 20908	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
19		lbsacsbs.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
20	7, 19	ismri 17545	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
21	5, 18, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
22	21	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
23	17, 22	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
24	4, 16, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  Moorecmre 17492  mrClscmrc 17493  mrIndcmri 17494  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  LSpanclspn 20913  LBasisclbs 21017  LVecclvec 21045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-0g 17352  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-mri 17498  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-drng 20655  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lbs 21018  df-lvec 21046

This theorem is referenced by:  lvecdim  21103  lvecdimfi  33680