Theorem lbsacsbs 20418

Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 20416. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsacsbs.1	⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lbsacsbs.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lbsacsbs.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
lbsacsbs.4	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
lbsacsbs.5	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsacsbs	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Proof of Theorem lbsacsbs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsacsbs.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		lbsacsbs.5	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs2 20416	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
5		lveclmod 20368	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6		lbsacsbs.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
7		lbsacsbs.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8	6, 3, 7	mrclsp 20251	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
10	9	fveq1d 6776	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = (𝑁‘𝑆))
11	10	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
12	9	fveq1d 6776	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
13	12	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
14	13	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
15	14	ralbidv 3112	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
16	11, 15	3anbi23d 1438	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
17		3anan32 1096	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
18	1, 6	lssmre 20228	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
19		lbsacsbs.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
20	7, 19	ismri 17340	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
21	5, 18, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
22	21	anbi1d 630	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
23	17, 22	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
24	4, 16, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Moorecmre 17291  mrClscmrc 17292  mrIndcmri 17293  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LBasisclbs 20336  LVecclvec 20364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-mri 17297  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lbs 20337  df-lvec 20365

This theorem is referenced by:  lvecdim  20419  lvecdimfi  31683