Theorem lbsacsbs 21073

Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 21071. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsacsbs.1	⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lbsacsbs.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lbsacsbs.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
lbsacsbs.4	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
lbsacsbs.5	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsacsbs	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Proof of Theorem lbsacsbs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsacsbs.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		lbsacsbs.5	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs2 21071	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
5		lveclmod 21020	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6		lbsacsbs.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
7		lbsacsbs.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8	6, 3, 7	mrclsp 20902	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
10	9	fveq1d 6863	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = (𝑁‘𝑆))
11	10	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
12	9	fveq1d 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
13	12	eleq2d 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
14	13	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
15	14	ralbidv 3157	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
16	11, 15	3anbi23d 1441	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
17		3anan32 1096	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋))
18	1, 6	lssmre 20879	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
19		lbsacsbs.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
20	7, 19	ismri 17599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
21	5, 18, 20	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
22	21	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
23	17, 22	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))
24	4, 16, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝐼 ∧ (𝑁‘𝑆) = 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  Moorecmre 17550  mrClscmrc 17551  mrIndcmri 17552  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884  LBasisclbs 20988  LVecclvec 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-mri 17556  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lbs 20989  df-lvec 21017

This theorem is referenced by:  lvecdim  21074  lvecdimfi  33598