Theorem muf 27107

Description: The Möbius function is a function into the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muf	⊢ μ:ℕ⟶ℤ

Proof of Theorem muf

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mu 27068	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
2		0z 12604	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		neg1z 12633	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
4		prmdvdsfi 27074	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
5		hashcl 14379	. . . . 5 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14099	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
9		ifcl 4551	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
10	2, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
11	1, 10	fmpti 7107	1 ⊢ μ:ℕ⟶ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  {crab 3420  ifcif 4505   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  0cc0 11134  1c1 11135  -cneg 11472  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ↑cexp 14084  ♯chash 14353   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695  μcmu 27062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-dvds 16278  df-prm 16696  df-mu 27068

This theorem is referenced by:  mucl  27108