Theorem muf 27513

Description: The Möbius function is a function into the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muf	⊢ μ:ℕ⟶ℤ

Proof of Theorem muf

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mu 27474	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
2		0z 12742	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		neg1z 12770	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
4		prmdvdsfi 27480	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
5		hashcl 14539	. . . . 5 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14257	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0) → ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
9		ifcl 4531	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
10	2, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, ( -1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
11	1, 10	fmpti 7142	1 ⊢ μ:ℕ⟶ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Fincfn 9009  0cc0 11237  1c1 11238   -cneg 11579  ℕcn 12373  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ↑cexp 14242  ♯chash 14513   ∥ cdvds 16463  ℙcprime 16887  μcmu 27468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-dvds 16464  df-prm 16888  df-mu 27474

This theorem is used by:  mucl  27514