Theorem muf 26878

Description: The Möbius function is a function into the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muf	⊢ μ:ℕ⟶ℤ

Proof of Theorem muf

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mu 26839	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
2		0z 12575	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		neg1z 12604	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
4		prmdvdsfi 26845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
5		hashcl 14322	. . . . 5 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 14048	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
9		ifcl 4574	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
10	2, 8, 9	sylancr 585	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
11	1, 10	fmpti 7114	1 ⊢ μ:ℕ⟶ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  {crab 3430  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115  -cneg 11451  ℕcn 12218  2c2 12273  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12564  ↑cexp 14033  ♯chash 14296   ∥ cdvds 16203  ℙcprime 16614  μcmu 26833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-dvds 16204  df-prm 16615  df-mu 26839

This theorem is referenced by:  mucl  26879