Theorem muf 26289

Description: The Möbius function is a function into the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
muf	⊢ μ:ℕ⟶ℤ

Proof of Theorem muf

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mu 26250	. 2 ⊢ μ = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))))
2		0z 12330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		neg1z 12356	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
4		prmdvdsfi 26256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
5		hashcl 14071	. . . . 5 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥} ∈ Fin → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0)
7		zexpcl 13797	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
8	3, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ)
9		ifcl 4504	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥})) ∈ ℤ) → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
10	2, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝑥, 0, (-1↑(♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑥}))) ∈ ℤ)
11	1, 10	fmpti 6986	1 ⊢ μ:ℕ⟶ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376  μcmu 26244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-dvds 15964  df-prm 16377  df-mu 26250

This theorem is referenced by:  mucl  26290