Theorem sqf11 27261

Description: A squarefree number is completely determined by the set of its prime divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqf11	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem sqf11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12502	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nnnn0 12502	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		pc11 16930	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
5	4	ad2ant2r 759	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
6		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ))
7		dfbi3 1063	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
8		sqfpc 27259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
9	8	ad4ant124 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
10		nnle1eq1 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
11	9, 10	syl5ibcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
12		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
14		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
15		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
16		sqfpc 27259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
18		nnle1eq1 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
19	17, 18	syl5ibcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
20	11, 19	anim12d 620	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1)))
21		eqtr3 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
22	20, 21	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
23		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
24		simpll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
25		pccl 16899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
26	23, 24, 25	syl2anr 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
27		elnn0 12497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
28	26, 27	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
29	28	ord 877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
30		pccl 16899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
31	23, 12, 30	syl2anr 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
32		elnn0 12497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
33	31, 32	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
34	33	ord 877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
35	29, 34	anim12d 620	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0)))
36		eqtr3 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
37	35, 36	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
38	22, 37	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
39	7, 38	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
40	6, 39	impbid2 229	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
41		pcelnn 16920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
42	23, 24, 41	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
43		pcelnn 16920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
44	23, 12, 43	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
45	42, 44	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
46	40, 45	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
47	46	ralbidva 3186	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
48	5, 47	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   ≤ cle 11232  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495   ∥ cdvds 16300  ℙcprime 16719   pCnt cpc 16886  μcmu 27217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-prm 16720  df-pc 16887  df-mu 27223

This theorem is referenced by: (None)