Theorem sqf11 27200

Description: A squarefree number is completely determined by the set of its prime divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqf11	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem sqf11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12560	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nnnn0 12560	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		pc11 16927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
5	4	ad2ant2r 746	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
6		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ))
7		dfbi3 1050	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
8		sqfpc 27198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
9	8	ad4ant124 1173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
10		nnle1eq1 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
11	9, 10	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
12		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
14		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
16		sqfpc 27198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
18		nnle1eq1 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
19	17, 18	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
20	11, 19	anim12d 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1)))
21		eqtr3 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
22	20, 21	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
23		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
24		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
25		pccl 16896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
26	23, 24, 25	syl2anr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
27		elnn0 12555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
28	26, 27	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
29	28	ord 863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
30		pccl 16896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
31	23, 12, 30	syl2anr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
32		elnn0 12555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
34	33	ord 863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
35	29, 34	anim12d 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0)))
36		eqtr3 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
37	35, 36	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
38	22, 37	jaod 858	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
39	7, 38	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
40	6, 39	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
41		pcelnn 16917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
42	23, 24, 41	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
43		pcelnn 16917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
44	23, 12, 43	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
45	42, 44	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
46	40, 45	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
47	46	ralbidva 3182	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
48	5, 47	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718   pCnt cpc 16883  μcmu 27156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-mu 27162

This theorem is referenced by: (None)