Theorem sqf11 27117

Description: A squarefree number is completely determined by the set of its prime divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqf11	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem sqf11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nnnn0 12420	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		pc11 16820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
5	4	ad2ant2r 748	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
6		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ))
7		dfbi3 1050	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
8		sqfpc 27115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
9	8	ad4ant124 1175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1)
10		nnle1eq1 12187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
11	9, 10	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 1))
12		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℕ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℕ)
14		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (μ‘𝐵) ≠ 0)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
16		sqfpc 27115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1)
18		nnle1eq1 12187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
19	17, 18	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 1))
20	11, 19	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1)))
21		eqtr3 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 1 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
22	20, 21	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
23		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
24		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℕ)
25		pccl 16789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
26	23, 24, 25	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
27		elnn0 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
28	26, 27	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
29	28	ord 865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
30		pccl 16789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
31	23, 12, 30	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0)
32		elnn0 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
34	33	ord 865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝐵) = 0))
35	29, 34	anim12d 610	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0)))
36		eqtr3 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) = 0) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵))
37	35, 36	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
38	22, 37	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ∨ (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
39	7, 38	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵)))
40	6, 39	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ)))
41		pcelnn 16810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
42	23, 24, 41	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
43		pcelnn 16810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
44	23, 12, 43	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐵))
45	42, 44	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ (𝑝 pCnt 𝐵) ∈ ℕ) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
46	40, 45	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
47	46	ralbidva 3159	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))
48	5, 47	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ (μ‘𝐵) ≠ 0)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16776  μcmu 27073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-mu 27079

This theorem is referenced by: (None)