Theorem nn0diffz0 33368

Description: Upper set of the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nn0diffz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nn0diffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12984	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		peano2nn0 12627	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	2, 1	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
4		fzouzsplit 13809	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	1, 5	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7	6	difeq1d 4073	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
8		uncom 4105	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
9		nn0z 12698	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		fzval3 13849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
12	11	uneq1d 4114	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	8, 12	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	difeq1d 4073	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
15	11	ineq2d 4166	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
16		fzouzdisj 13810	. . . . 5 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅
17	16	ineqcomi 4157	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅
18	15, 17	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅)
19		undif5 4440	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅ → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
21	7, 14, 20	3eqtr2d 2802	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769

This theorem is used by:  ply1coedeg  34103  esplyfval2  34179  esplyfval3  34186