Theorem nn0diffz0 32874

Description: Upper set of the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nn0diffz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nn0diffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12789	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		peano2nn0 12441	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	2, 1	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
4		fzouzsplit 13610	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	1, 5	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7	6	difeq1d 4077	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
8		uncom 4110	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
9		nn0z 12512	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		fzval3 13650	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
12	11	uneq1d 4119	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	8, 12	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	difeq1d 4077	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
15	11	ineq2d 4172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
16		fzouzdisj 13611	. . . . 5 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅
17	16	ineqcomi 4163	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅
18	15, 17	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅)
19		undif5 4437	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅ → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
21	7, 14, 20	3eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  ply1coedeg  33670  esplyfval2  33723  esplyfval3  33730