Theorem nn0diffz0 33273

Description: Upper set of the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nn0diffz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nn0diffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12929	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		peano2nn0 12572	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	2, 1	eleqtrdi 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
4		fzouzsplit 13754	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	1, 5	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7	6	difeq1d 4076	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
8		uncom 4108	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
9		nn0z 12643	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		fzval3 13794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
12	11	uneq1d 4117	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	8, 12	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	difeq1d 4076	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
15	11	ineq2d 4169	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
16		fzouzdisj 13755	. . . . 5 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅
17	16	ineqcomi 4160	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅
18	15, 17	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅)
19		undif5 4443	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅ → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
21	7, 14, 20	3eqtr2d 2803	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714

This theorem is used by:  ply1coedeg  34007  esplyfval2  34083  esplyfval3  34090