Theorem nn0diffz0 33117

Description: Upper set of the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nn0diffz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nn0diffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12901	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		peano2nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	2, 1	eleqtrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
4		fzouzsplit 13725	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	1, 5	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7	6	difeq1d 4081	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
8		uncom 4113	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
9		nn0z 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		fzval3 13765	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
12	11	uneq1d 4122	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	8, 12	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	difeq1d 4081	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
15	11	ineq2d 4174	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
16		fzouzdisj 13726	. . . . 5 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅
17	16	ineqcomi 4165	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅
18	15, 17	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅)
19		undif5 4446	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅ → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
20	18, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
21	7, 14, 20	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685

This theorem is referenced by:  ply1coedeg  33857  esplyfval2  33933  esplyfval3  33940