Theorem nn0diffz0 32880

Description: Upper set of the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nn0diffz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem nn0diffz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12815	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		peano2nn0 12466	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	2, 1	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
4		fzouzsplit 13638	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	1, 5	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7	6	difeq1d 4066	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
8		uncom 4099	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
9		nn0z 12537	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		fzval3 13678	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
12	11	uneq1d 4108	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	8, 12	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) = ((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	difeq1d 4066	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (((0..^(𝑁 + 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∖ (0...𝑁)))
15	11	ineq2d 4161	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
16		fzouzdisj 13639	. . . . 5 ⊢ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅
17	16	ineqcomi 4152	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅
18	15, 17	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅)
19		undif5 4425	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∩ (0...𝑁)) = ∅ → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∪ (0...𝑁)) ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
21	7, 14, 20	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝑁)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ..^cfzo 13597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598

This theorem is referenced by:  ply1coedeg  33662  esplyfval2  33722  esplyfval3  33729