Theorem ply1coedeg 33670

Description: Decompose a univariate polynomial 𝐾 as a sum of powers, up to its degree 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coedeg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coedeg.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coedeg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coedeg.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coedeg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coedeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coedeg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1coedeg.d	⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
ply1coedeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1coedeg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1coedeg	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem ply1coedeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (0g‘𝑃))
2		ply1coedeg.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾))
4	1	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
5		ply1coedeg.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		ply1coedeg.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	6, 7, 8	deg1z 26048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
12	3, 4, 11	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = -∞)
13	12	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = (0...-∞))
14		mnfnre 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∉ ℝ
15	14	neli 3038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
16		zre 12492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℤ → -∞ ∈ ℝ)
17	15, 16	mto 197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℤ
18	17	nelir 3039	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℤ
19	18	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ)
20		fz0 13455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ) → (0...-∞) = ∅)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...-∞) = ∅
22	13, 21	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = ∅)
23	22	mpteq1d 5188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
24		mpt0 6634	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅)
26	25	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg ∅))
27	8	gsum0 18609	. . . 4 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
28	26, 27	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (0g‘𝑃))
29	1, 28	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30		ply1coedeg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
31		ply1coedeg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32		ply1coedeg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
33		ply1coedeg.n	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34		ply1coedeg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
35		ply1coedeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		ply1coedeg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
37	7, 31, 32, 33, 34, 35, 36	ply1coe 22242	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
38	5, 30, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
39	38	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
40	7	ply1ring 22188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringcmnd 20219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑃 ∈ CMnd)
44		nn0ex 12407	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ℕ0 ∈ V)
46	30	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐾 ∈ 𝐵)
47		difssd 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ⊆ ℕ0)
48	47	sselda 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
51	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
53	6, 7, 8, 32	deg1nn0cl 26049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
54	50, 51, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
55	2, 54	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℤ)
57		nn0diffz0 32874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
59	58	eleq2d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
60	59	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
61		eluzp1l 12778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → 𝐷 < 𝑘)
62	56, 60, 61	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐷 < 𝑘)
63	2, 62	eqbrtrrid 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘)
64		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
65	6, 7, 32, 64, 36	deg1lt 26058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
66	46, 49, 63, 65	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
67	7	ply1sca 22193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	5, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
69	68	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
70	69	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
71	66, 70	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
72	71	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
73	7	ply1lmod 22192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
74	5, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
75	34, 32	mgpbas 20080	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
76	34	ringmgp 20174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
77	41, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
79		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	31, 7, 32	vr1cl 22158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
81	5, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
83	75, 35, 78, 79, 82	mulgnn0cld 19025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
84	48, 83	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
85		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
86		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
87	32, 85, 33, 86, 8	lmod0vs 20846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
88	74, 84, 87	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
89	88	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
90	72, 89	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
91		fzfid 13896	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ∈ Fin)
92		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
93	74	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
94		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
95	36, 32, 7, 94	coe1fvalcl 22153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
96	30, 95	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
97	68	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
98	97	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
99	96, 98	eleqtrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
100	32, 85, 33, 92, 93, 99, 83	lmodvscld 20830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
101	100	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
102		fz0ssnn0 13538	. . . . 5 ⊢ (0...𝐷) ⊆ ℕ0
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ⊆ ℕ0)
104	32, 8, 43, 45, 90, 91, 101, 103	gsummptres2 33136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
105	39, 104	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
106	29, 105	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  -∞cmnf 11164   < clt 11166  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18997  CMndccmn 19709  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  LModclmod 20811  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118  deg₁cdg1 26015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-cnfld 21310  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mdeg 26016  df-deg1 26017

This theorem is referenced by:  vietalem  33735