Theorem ply1coedeg 33679

Description: Decompose a univariate polynomial 𝐾 as a sum of powers, up to its degree 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coedeg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coedeg.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coedeg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coedeg.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coedeg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coedeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coedeg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1coedeg.d	⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
ply1coedeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1coedeg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1coedeg	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem ply1coedeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (0g‘𝑃))
2		ply1coedeg.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾))
4	1	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
5		ply1coedeg.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		ply1coedeg.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	6, 7, 8	deg1z 26077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
12	3, 4, 11	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = -∞)
13	12	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = (0...-∞))
14		mnfnre 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∉ ℝ
15	14	neli 3041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
16		zre 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℤ → -∞ ∈ ℝ)
17	15, 16	mto 198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℤ
18	17	nelir 3042	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℤ
19	18	olci 872	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ)
20		fz0 13491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ) → (0...-∞) = ∅)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...-∞) = ∅
22	13, 21	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = ∅)
23	22	mpteq1d 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
24		mpt0 6634	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅)
26	25	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg ∅))
27	8	gsum0 18650	. . . 4 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
28	26, 27	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (0g‘𝑃))
29	1, 28	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30		ply1coedeg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
31		ply1coedeg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32		ply1coedeg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
33		ply1coedeg.n	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34		ply1coedeg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
35		ply1coedeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		ply1coedeg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
37	7, 31, 32, 33, 34, 35, 36	ply1coe 22291	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
38	5, 30, 37	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
39	38	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
40	7	ply1ring 22239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringcmnd 20263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
43	42	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑃 ∈ CMnd)
44		nn0ex 12441	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ℕ0 ∈ V)
46	30	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐾 ∈ 𝐵)
47		difssd 4074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ⊆ ℕ0)
48	47	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
51	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
52		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
53	6, 7, 8, 32	deg1nn0cl 26078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
54	50, 51, 52, 53	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
55	2, 54	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℤ)
57		nn0diffz0 32893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
59	58	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
60	59	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
61		eluzp1l 12813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → 𝐷 < 𝑘)
62	56, 60, 61	syl2an2r 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐷 < 𝑘)
63	2, 62	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘)
64		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
65	6, 7, 32, 64, 36	deg1lt 26087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
66	46, 49, 63, 65	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
67	7	ply1sca 22244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	5, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
69	68	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
70	69	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
71	66, 70	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
72	71	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
73	7	ply1lmod 22243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
74	5, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
75	34, 32	mgpbas 20124	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
76	34	ringmgp 20218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
77	41, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
78	77	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
79		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	31, 7, 32	vr1cl 22209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
81	5, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
83	75, 35, 78, 79, 82	mulgnn0cld 19069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
84	48, 83	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
85		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
86		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
87	32, 85, 33, 86, 8	lmod0vs 20892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
88	74, 84, 87	syl2an2r 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
89	88	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
90	72, 89	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
91		fzfid 13933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ∈ Fin)
92		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
93	74	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
94		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
95	36, 32, 7, 94	coe1fvalcl 22204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
96	30, 95	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
97	68	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
98	97	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
99	96, 98	eleqtrd 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
100	32, 85, 33, 92, 93, 99, 83	lmodvscld 20876	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
101	100	adantlr 721	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
102		fz0ssnn0 13574	. . . . 5 ⊢ (0...𝐷) ⊆ ℕ0
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ⊆ ℕ0)
104	32, 8, 43, 45, 90, 91, 101, 103	gsummptres2 33141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
105	39, 104	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
106	29, 105	pm2.61dane 3022	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∉ wnel 3039  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  -∞cmnf 11175   < clt 11177  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  ._gcmg 19041  CMndccmn 19753  mulGrpcmgp 20119  Ringcrg 20212  LModclmod 20857  var₁cv1 22168  Poly₁cpl1 22169  coe₁cco1 22170  deg₁cdg1 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-cnfld 21355  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-coe1 22175  df-mdeg 26045  df-deg1 26046

This theorem is referenced by:  vietalem  33770