Theorem ply1coedeg 33791

Description: Decompose a univariate polynomial 𝐾 as a sum of powers, up to its degree 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coedeg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coedeg.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coedeg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coedeg.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coedeg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coedeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coedeg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1coedeg.d	⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
ply1coedeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1coedeg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1coedeg	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem ply1coedeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (0g‘𝑃))
2		ply1coedeg.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾))
4	1	fveq2d 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
5		ply1coedeg.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		ply1coedeg.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	6, 7, 8	deg1z 26201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
10	5, 9	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
12	3, 4, 11	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = -∞)
13	12	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = (0...-∞))
14		mnfnre 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∉ ℝ
15	14	neli 3066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
16		zre 12583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℤ → -∞ ∈ ℝ)
17	15, 16	mto 200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℤ
18	17	nelir 3067	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℤ
19	18	olci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ)
20		fz0 13555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ) → (0...-∞) = ∅)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...-∞) = ∅
22	13, 21	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = ∅)
23	22	mpteq1d 5194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
24		mpt0 6667	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅)
26	25	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg ∅))
27	8	gsum0 18730	. . . 4 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
28	26, 27	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (0g‘𝑃))
29	1, 28	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30		ply1coedeg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
31		ply1coedeg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32		ply1coedeg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
33		ply1coedeg.n	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34		ply1coedeg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
35		ply1coedeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		ply1coedeg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
37	7, 31, 32, 33, 34, 35, 36	ply1coe 22415	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
38	5, 30, 37	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
39	38	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
40	7	ply1ring 22364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringcmnd 20355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
43	42	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑃 ∈ CMnd)
44		nn0ex 12498	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ℕ0 ∈ V)
46	30	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐾 ∈ 𝐵)
47		difssd 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ⊆ ℕ0)
48	47	sselda 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	5	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
51	30	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
52		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
53	6, 7, 8, 32	deg1nn0cl 26202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
54	50, 51, 52, 53	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
55	2, 54	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℤ)
57		nn0diffz0 33047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
58	55, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
59	58	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
60	59	biimpa 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
61		eluzp1l 12877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → 𝐷 < 𝑘)
62	56, 60, 61	syl2an2r 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐷 < 𝑘)
63	2, 62	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘)
64		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
65	6, 7, 32, 64, 36	deg1lt 26211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
66	46, 49, 63, 65	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
67	7	ply1sca 22369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	5, 67	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
69	68	fveq2d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
70	69	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
71	66, 70	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
72	71	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
73	7	ply1lmod 22368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
74	5, 73	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
75	34, 32	mgpbas 20209	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
76	34	ringmgp 20309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
77	41, 76	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
78	77	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
79		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	31, 7, 32	vr1cl 22334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
81	5, 80	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
82	81	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
83	75, 35, 78, 79, 82	mulgnn0cld 19149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
84	48, 83	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
85		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
86		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
87	32, 85, 33, 86, 8	lmod0vs 20982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
88	74, 84, 87	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
89	88	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
90	72, 89	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
91		fzfid 13997	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ∈ Fin)
92		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
93	74	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
94		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
95	36, 32, 7, 94	coe1fvalcl 22329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
96	30, 95	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
97	68	fveq2d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
98	97	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
99	96, 98	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
100	32, 85, 33, 92, 93, 99, 83	lmodvscld 20966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
101	100	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
102		fz0ssnn0 13638	. . . . 5 ⊢ (0...𝐷) ⊆ ℕ0
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ⊆ ℕ0)
104	32, 8, 43, 45, 90, 91, 101, 103	gsummptres2 33281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
105	39, 104	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
106	29, 105	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3064  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  -∞cmnf 11229   < clt 11231  ℕ₀cn0 12492  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481  Mndcmnd 18780  ._gcmg 19121  CMndccmn 19838  mulGrpcmgp 20204  Ringcrg 20303  LModclmod 20947  var₁cv1 22293  Poly₁cpl1 22294  coe₁cco1 22295  deg₁cdg1 26168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-srg 20257  df-ring 20305  df-cring 20306  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-cnfld 21480  df-psr 22016  df-mvr 22017  df-mpl 22018  df-opsr 22020  df-psr1 22297  df-vr1 22298  df-ply1 22299  df-coe1 22300  df-mdeg 26169  df-deg1 26170

This theorem is referenced by:  vietalem  33881