Theorem ply1coedeg 33745

Description: Decompose a univariate polynomial 𝐾 as a sum of powers, up to its degree 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coedeg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coedeg.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coedeg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coedeg.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coedeg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coedeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coedeg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1coedeg.d	⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
ply1coedeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1coedeg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1coedeg	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem ply1coedeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (0g‘𝑃))
2		ply1coedeg.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾))
4	1	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
5		ply1coedeg.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		ply1coedeg.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	6, 7, 8	deg1z 26134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
12	3, 4, 11	3eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = -∞)
13	12	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = (0...-∞))
14		mnfnre 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∉ ℝ
15	14	neli 3062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
16		zre 12565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℤ → -∞ ∈ ℝ)
17	15, 16	mto 199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℤ
18	17	nelir 3063	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℤ
19	18	olci 877	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ)
20		fz0 13537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ) → (0...-∞) = ∅)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...-∞) = ∅
22	13, 21	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = ∅)
23	22	mpteq1d 5187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
24		mpt0 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅)
26	25	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg ∅))
27	8	gsum0 18708	. . . 4 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
28	26, 27	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (0g‘𝑃))
29	1, 28	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30		ply1coedeg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
31		ply1coedeg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32		ply1coedeg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
33		ply1coedeg.n	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34		ply1coedeg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
35		ply1coedeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		ply1coedeg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
37	7, 31, 32, 33, 34, 35, 36	ply1coe 22348	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
38	5, 30, 37	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
39	38	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
40	7	ply1ring 22296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringcmnd 20320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
43	42	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑃 ∈ CMnd)
44		nn0ex 12480	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ℕ0 ∈ V)
46	30	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐾 ∈ 𝐵)
47		difssd 4088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ⊆ ℕ0)
48	47	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	5	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
51	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
52		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
53	6, 7, 8, 32	deg1nn0cl 26135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
54	50, 51, 52, 53	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
55	2, 54	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℤ)
57		nn0diffz0 32956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
59	58	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
60	59	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
61		eluzp1l 12859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → 𝐷 < 𝑘)
62	56, 60, 61	syl2an2r 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐷 < 𝑘)
63	2, 62	eqbrtrrid 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘)
64		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
65	6, 7, 32, 64, 36	deg1lt 26144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
66	46, 49, 63, 65	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
67	7	ply1sca 22301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	5, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
69	68	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
70	69	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
71	66, 70	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
72	71	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
73	7	ply1lmod 22300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
74	5, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
75	34, 32	mgpbas 20181	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
76	34	ringmgp 20275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
77	41, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
78	77	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
79		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	31, 7, 32	vr1cl 22266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
81	5, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
82	81	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
83	75, 35, 78, 79, 82	mulgnn0cld 19127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
84	48, 83	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
85		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
86		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
87	32, 85, 33, 86, 8	lmod0vs 20949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
88	74, 84, 87	syl2an2r 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
89	88	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
90	72, 89	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
91		fzfid 13979	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ∈ Fin)
92		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
93	74	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
94		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
95	36, 32, 7, 94	coe1fvalcl 22261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
96	30, 95	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
97	68	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
98	97	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
99	96, 98	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
100	32, 85, 33, 92, 93, 99, 83	lmodvscld 20933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
101	100	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
102		fz0ssnn0 13620	. . . . 5 ⊢ (0...𝐷) ⊆ ℕ0
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ⊆ ℕ0)
104	32, 8, 43, 45, 90, 91, 101, 103	gsummptres2 33193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
105	39, 104	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
106	29, 105	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3060  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069  -∞cmnf 11207   < clt 11209  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  ...cfz 13505  Basecbs 17235  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18758  ._gcmg 19099  CMndccmn 19810  mulGrpcmgp 20176  Ringcrg 20269  LModclmod 20914  var₁cv1 22225  Poly₁cpl1 22226  coe₁cco1 22227  deg₁cdg1 26101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-srg 20223  df-ring 20271  df-cring 20272  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-cnfld 21412  df-psr 21948  df-mvr 21949  df-mpl 21950  df-opsr 21952  df-psr1 22229  df-vr1 22230  df-ply1 22231  df-coe1 22232  df-mdeg 26102  df-deg1 26103

This theorem is referenced by:  vietalem  33836