Theorem ply1coedeg 33902

Description: Decompose a univariate polynomial 𝐾 as a sum of powers, up to its degree 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coedeg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coedeg.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coedeg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coedeg.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coedeg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coedeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coedeg.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1coedeg.d	⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
ply1coedeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1coedeg.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1coedeg	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem ply1coedeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (0g‘𝑃))
2		ply1coedeg.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = ((deg1‘𝑅)‘𝐾))
4	1	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
5		ply1coedeg.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		ply1coedeg.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
9	6, 7, 8	deg1z 26273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
10	5, 9	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
12	3, 4, 11	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐷 = -∞)
13	12	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = (0...-∞))
14		mnfnre 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∉ ℝ
15	14	neli 3068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
16		zre 12606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℤ → -∞ ∈ ℝ)
17	15, 16	mto 200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℤ
18	17	nelir 3069	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∉ ℤ
19	18	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ)
20		fz0 13578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∉ ℤ ∨ -∞ ∉ ℤ) → (0...-∞) = ∅)
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0...-∞) = ∅
22	13, 21	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) = ∅)
23	22	mpteq1d 5203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))))
24		mpt0 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅
25	23, 24	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) = ∅)
26	25	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg ∅))
27	8	gsum0 18763	. . . 4 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
28	26, 27	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (0g‘𝑃))
29	1, 28	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
30		ply1coedeg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐵)
31		ply1coedeg.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32		ply1coedeg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
33		ply1coedeg.n	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
34		ply1coedeg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
35		ply1coedeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
36		ply1coedeg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
37	7, 31, 32, 33, 34, 35, 36	ply1coe 22487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
38	5, 30, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
39	38	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
40	7	ply1ring 22436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41	5, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
42	41	ringcmnd 20391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CMnd)
43	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑃 ∈ CMnd)
44		nn0ex 12521	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ℕ0 ∈ V)
46	30	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐾 ∈ 𝐵)
47		difssd 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ⊆ ℕ0)
48	47	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49	48	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝑅 ∈ Ring)
51	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
52		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 ≠ (0g‘𝑃))
53	6, 7, 8, 32	deg1nn0cl 26274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
54	50, 51, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) ∈ ℕ0)
55	2, 54	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 ∈ ℤ)
57		nn0diffz0 33168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
58	55, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) = (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
59	58	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))))
60	59	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1)))
61		eluzp1l 12900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐷 + 1))) → 𝐷 < 𝑘)
62	56, 60, 61	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → 𝐷 < 𝑘)
63	2, 62	eqbrtrrid 5149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘)
64		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
65	6, 7, 32, 64, 36	deg1lt 26283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝐾) < 𝑘) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
66	46, 49, 63, 65	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘𝑅))
67	7	ply1sca 22441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
68	5, 67	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
69	68	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
70	69	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
71	66, 70	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝐴‘𝑘) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
72	71	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)))
73	7	ply1lmod 22440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
74	5, 73	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
75	34, 32	mgpbas 20244	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
76	34	ringmgp 20344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
77	41, 76	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
78	77	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
79		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	31, 7, 32	vr1cl 22406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
81	5, 80	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
82	81	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
83	75, 35, 78, 79, 82	mulgnn0cld 19184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
84	48, 83	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
85		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
86		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
87	32, 85, 33, 86, 8	lmod0vs 21045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
88	74, 84, 87	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
89	88	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
90	72, 89	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ0 ∖ (0...𝐷))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
91		fzfid 14022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ∈ Fin)
92		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
93	74	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
94		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
95	36, 32, 7, 94	coe1fvalcl 22401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
96	30, 95	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
97	68	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
98	97	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
99	96, 98	eleqtrd 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
100	32, 85, 33, 92, 93, 99, 83	lmodvscld 21029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
101	100	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
102		fz0ssnn0 13662	. . . . 5 ⊢ (0...𝐷) ⊆ ℕ0
103	102	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (0...𝐷) ⊆ ℕ0)
104	32, 8, 43, 45, 90, 91, 101, 103	gsummptres2 33396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
105	39, 104	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
106	29, 105	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝐷) ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114  -∞cmnf 11252   < clt 11254  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12873  ...cfz 13546  Basecbs 17286  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331  0_gc0g 17509   Σ_g cgsu 17510  Mndcmnd 18813  ._gcmg 19156  CMndccmn 19873  mulGrpcmgp 20239  Ringcrg 20338  LModclmod 21010  var₁cv1 22365  Poly₁cpl1 22366  coe₁cco1 22367  deg₁cdg1 26240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-cnfld 21552  df-psr 22088  df-mvr 22089  df-mpl 22090  df-opsr 22092  df-psr1 22369  df-vr1 22370  df-ply1 22371  df-coe1 22372  df-mdeg 26241  df-deg1 26242

This theorem is used by:  vietalem  33992