Theorem nn0eo 49019

Description: A nonnegative integer is even or odd. (Contributed by AV, 27-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0eo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0eo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12542	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zeo 12609	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
5		nn0re 12440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0ge0 12456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7		2re 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 12278	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
11		divge0 12019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
12	5, 6, 8, 10, 11	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14		elnn0z 12531	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
15	4, 13, 14	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
16	15	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
18		peano2nn0 12471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20		1red 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21		0le1 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
23	5, 20, 6, 22	addge0d 11720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
24		divge0 12019	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
25	19, 23, 8, 10, 24	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
27		elnn0z 12531	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
28	17, 26, 27	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
29	28	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
30	16, 29	orim12d 967	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)))
31	3, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174   / cdiv 11801  2c2 12230  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519

This theorem is referenced by:  flnn0div2ge  49024  dignn0flhalf  49109