Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0eo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0eo 46704
Description: A nonnegative integer is even or odd. (Contributed by AV, 27-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0eo (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0eo
StepHypRef Expression
1 nn0z 12532 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 zeo 12597 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4 simpr 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
5 nn0re 12430 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0ge0 12446 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7 2re 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 12264 . . . . . . . 8 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
11 divge0 12032 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
125, 6, 8, 10, 11syl22anc 838 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
1312adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14 elnn0z 12520 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
154, 13, 14sylanbrc 584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
1615ex 414 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
17 simpr 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
18 peano2nn0 12461 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1918nn0red 12482 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20 1red 11164 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21 0le1 11686 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
235, 20, 6, 22addge0d 11739 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
24 divge0 12032 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
2519, 23, 8, 10, 24syl22anc 838 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
2625adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
27 elnn0z 12520 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
2817, 26, 27sylanbrc 584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2928ex 414 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
3016, 29orim12d 964 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)))
313, 30mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  cle 11198   / cdiv 11820  2c2 12216  0cn0 12421  cz 12507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508
This theorem is referenced by:  flnn0div2ge  46709  dignn0flhalf  46794
  Copyright terms: Public domain W3C validator