Theorem nn0eo 49004

Description: A nonnegative integer is even or odd. (Contributed by AV, 27-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0eo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0eo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12548	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zeo 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
5		nn0re 12446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0ge0 12462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7		2re 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
11		divge0 12025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
12	5, 6, 8, 10, 11	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14		elnn0z 12537	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
15	4, 13, 14	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
16	15	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
18		peano2nn0 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21		0le1 11673	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
23	5, 20, 6, 22	addge0d 11726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
24		divge0 12025	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
25	19, 23, 8, 10, 24	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
27		elnn0z 12537	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
28	17, 26, 27	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
29	28	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
30	16, 29	orim12d 967	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)))
31	3, 30	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  flnn0div2ge  49009  dignn0flhalf  49094