Theorem addge0d 11873

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		addge0 11786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is used by:  fldiv  13980  modaddmodlo  14058  cjmulge0  15293  absrele  15455  abstri  15478  nn0oddm1d2  16535  prdsxmetlem  24667  nmotri  25038  tcphcphlem1  25536  trirn  25701  minveclem4  25733  ibladdlem  26120  itgaddlem1  26123  itgaddlem2  26124  iblabs  26129  cxpaddle  27062  asinlem3a  27180  fsumharmonic  27321  lgamgulmlem3  27340  mulog2sumlem2  27844  selbergb  27858  selberg2b  27861  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bnd  27893  abvcxp  27924  smcnlem  31281  minvecolem4  31464  fsumrp0cl  33564  sqsscirc1  34522  omssubaddlem  34914  dnibndlem9  37322  itg2addnc  38560  ibladdnclem  38562  itgaddnclem1  38564  itgaddnclem2  38565  iblabsnc  38570  iblmulc2nc  38571  ftc1anclem4  38582  ftc1anclem7  38585  ftc1anc  38587  areacirc  38599  lcmineqlem18  43064  posbezout  43118  aks6d1c1  43134  2np3bcnp1  43162  rmxypos  43907  wallispi2lem1  47025  fourierdlem15  47076  fourierdlem30  47091  fourierdlem47  47107  sge0xaddlem2  47388  hoidmvlelem2  47550  hoidmvlelem4  47552  ovolval5lem1  47606  ormkglobd  47831  flsqrt  48622  nn0eo  49584  2sphere  49805  itscnhlinecirc02plem3  49840