MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addge0d 11219
Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
addge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 addge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4 addge0d.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5 addge0 11132 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 836 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  cr 10539  0cc0 10540   + caddc 10543  cle 10679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684
This theorem is referenced by:  fldiv  13231  modaddmodlo  13306  cjmulge0  14508  absrele  14671  abstri  14693  nn0oddm1d2  15739  prdsxmetlem  22981  nmotri  23351  tcphcphlem1  23841  trirn  24006  minveclem4  24038  ibladdlem  24423  itgaddlem1  24426  itgaddlem2  24427  iblabs  24432  cxpaddle  25336  asinlem3a  25451  fsumharmonic  25592  lgamgulmlem3  25611  mulog2sumlem2  26114  selbergb  26128  selberg2b  26131  pntrlog2bndlem2  26157  pntrlog2bnd  26163  abvcxp  26194  smcnlem  28477  minvecolem4  28660  fsumrp0cl  30686  sqsscirc1  31155  omssubaddlem  31561  dnibndlem9  33829  itg2addnc  34950  ibladdnclem  34952  itgaddnclem1  34954  itgaddnclem2  34955  iblabsnc  34960  iblmulc2nc  34961  ftc1anclem4  34974  ftc1anclem7  34977  ftc1anc  34979  areacirc  34991  rmxypos  39550  wallispi2lem1  42363  fourierdlem15  42414  fourierdlem30  42429  fourierdlem47  42445  sge0xaddlem2  42723  hoidmvlelem2  42885  hoidmvlelem4  42887  ovolval5lem1  42941  flsqrt  43763  nn0eo  44595  2sphere  44743  itscnhlinecirc02plem3  44778
  Copyright terms: Public domain W3C validator