Theorem addge0d 11811

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		addge0 11724	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   ≤ cle 11268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is referenced by:  fldiv  13875  modaddmodlo  13951  cjmulge0  15163  absrele  15325  abstri  15347  nn0oddm1d2  16402  prdsxmetlem  24305  nmotri  24676  tcphcphlem1  25185  trirn  25350  minveclem4  25382  ibladdlem  25771  itgaddlem1  25774  itgaddlem2  25775  iblabs  25780  cxpaddle  26712  asinlem3a  26830  fsumharmonic  26972  lgamgulmlem3  26991  mulog2sumlem2  27496  selbergb  27510  selberg2b  27513  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bnd  27545  abvcxp  27576  smcnlem  30624  minvecolem4  30807  fsumrp0cl  32962  sqsscirc1  33885  omssubaddlem  34277  dnibndlem9  36450  itg2addnc  37644  ibladdnclem  37646  itgaddnclem1  37648  itgaddnclem2  37649  iblabsnc  37654  iblmulc2nc  37655  ftc1anclem4  37666  ftc1anclem7  37669  ftc1anc  37671  areacirc  37683  lcmineqlem18  42005  posbezout  42059  aks6d1c1  42075  2np3bcnp1  42103  rmxypos  42918  wallispi2lem1  46048  fourierdlem15  46099  fourierdlem30  46114  fourierdlem47  46130  sge0xaddlem2  46411  hoidmvlelem2  46573  hoidmvlelem4  46575  ovolval5lem1  46629  ormkglobd  46852  flsqrt  47555  nn0eo  48456  2sphere  48677  itscnhlinecirc02plem3  48712