MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addge0d 11732
Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
addge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 addge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4 addge0d.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5 addge0 11645 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 838 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  fldiv  13766  modaddmodlo  13841  cjmulge0  15032  absrele  15194  abstri  15216  nn0oddm1d2  16268  prdsxmetlem  23724  nmotri  24106  tcphcphlem1  24602  trirn  24767  minveclem4  24799  ibladdlem  25187  itgaddlem1  25190  itgaddlem2  25191  iblabs  25196  cxpaddle  26108  asinlem3a  26223  fsumharmonic  26364  lgamgulmlem3  26383  mulog2sumlem2  26886  selbergb  26900  selberg2b  26903  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bnd  26935  abvcxp  26966  smcnlem  29642  minvecolem4  29825  fsumrp0cl  31889  sqsscirc1  32492  omssubaddlem  32902  dnibndlem9  34952  itg2addnc  36135  ibladdnclem  36137  itgaddnclem1  36139  itgaddnclem2  36140  iblabsnc  36145  iblmulc2nc  36146  ftc1anclem4  36157  ftc1anclem7  36160  ftc1anc  36162  areacirc  36174  lcmineqlem18  40506  2np3bcnp1  40555  rmxypos  41274  wallispi2lem1  44319  fourierdlem15  44370  fourierdlem30  44385  fourierdlem47  44401  sge0xaddlem2  44682  hoidmvlelem2  44844  hoidmvlelem4  44846  ovolval5lem1  44900  flsqrt  45792  nn0eo  46621  2sphere  46842  itscnhlinecirc02plem3  46877
  Copyright terms: Public domain W3C validator