Theorem addge0d 11818

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		addge0 11731	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   + caddc 11137   ≤ cle 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280

This theorem is referenced by:  fldiv  13882  modaddmodlo  13958  cjmulge0  15170  absrele  15332  abstri  15354  nn0oddm1d2  16409  prdsxmetlem  24312  nmotri  24683  tcphcphlem1  25192  trirn  25357  minveclem4  25389  ibladdlem  25778  itgaddlem1  25781  itgaddlem2  25782  iblabs  25787  cxpaddle  26719  asinlem3a  26837  fsumharmonic  26979  lgamgulmlem3  26998  mulog2sumlem2  27503  selbergb  27517  selberg2b  27520  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bnd  27552  abvcxp  27583  smcnlem  30683  minvecolem4  30866  fsumrp0cl  33021  sqsscirc1  33944  omssubaddlem  34336  dnibndlem9  36509  itg2addnc  37703  ibladdnclem  37705  itgaddnclem1  37707  itgaddnclem2  37708  iblabsnc  37713  iblmulc2nc  37714  ftc1anclem4  37725  ftc1anclem7  37728  ftc1anc  37730  areacirc  37742  lcmineqlem18  42064  posbezout  42118  aks6d1c1  42134  2np3bcnp1  42162  rmxypos  42938  wallispi2lem1  46067  fourierdlem15  46118  fourierdlem30  46133  fourierdlem47  46149  sge0xaddlem2  46430  hoidmvlelem2  46592  hoidmvlelem4  46594  ovolval5lem1  46648  ormkglobd  46871  flsqrt  47574  nn0eo  48475  2sphere  48696  itscnhlinecirc02plem3  48731