Theorem addge0d 11579

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		addge0 11492	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 835	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2101   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  ℝcr 10898  0cc0 10899   + caddc 10902   ≤ cle 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043

This theorem is referenced by:  fldiv  13608  modaddmodlo  13683  cjmulge0  14885  absrele  15048  abstri  15070  nn0oddm1d2  16122  prdsxmetlem  23549  nmotri  23931  tcphcphlem1  24427  trirn  24592  minveclem4  24624  ibladdlem  25012  itgaddlem1  25015  itgaddlem2  25016  iblabs  25021  cxpaddle  25933  asinlem3a  26048  fsumharmonic  26189  lgamgulmlem3  26208  mulog2sumlem2  26711  selbergb  26725  selberg2b  26728  pntrlog2bndlem2  26754  pntrlog2bnd  26760  abvcxp  26791  smcnlem  29087  minvecolem4  29270  fsumrp0cl  31332  sqsscirc1  31886  omssubaddlem  32294  dnibndlem9  34694  itg2addnc  35859  ibladdnclem  35861  itgaddnclem1  35863  itgaddnclem2  35864  iblabsnc  35869  iblmulc2nc  35870  ftc1anclem4  35881  ftc1anclem7  35884  ftc1anc  35886  areacirc  35898  lcmineqlem18  40080  2np3bcnp1  40126  rmxypos  40793  wallispi2lem1  43647  fourierdlem15  43698  fourierdlem30  43713  fourierdlem47  43729  sge0xaddlem2  44008  hoidmvlelem2  44170  hoidmvlelem4  44172  ovolval5lem1  44226  flsqrt  45085  nn0eo  45914  2sphere  46135  itscnhlinecirc02plem3  46170