Theorem addge0d 11690

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		addge0 11603	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   + caddc 11006   ≤ cle 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149

This theorem is referenced by:  fldiv  13761  modaddmodlo  13839  cjmulge0  15050  absrele  15212  abstri  15235  nn0oddm1d2  16293  prdsxmetlem  24281  nmotri  24652  tcphcphlem1  25160  trirn  25325  minveclem4  25357  ibladdlem  25746  itgaddlem1  25749  itgaddlem2  25750  iblabs  25755  cxpaddle  26687  asinlem3a  26805  fsumharmonic  26947  lgamgulmlem3  26966  mulog2sumlem2  27471  selbergb  27485  selberg2b  27488  pntrlog2bndlem2  27514  pntrlog2bnd  27520  abvcxp  27551  smcnlem  30672  minvecolem4  30855  fsumrp0cl  32997  sqsscirc1  33916  omssubaddlem  34307  dnibndlem9  36519  itg2addnc  37713  ibladdnclem  37715  itgaddnclem1  37717  itgaddnclem2  37718  iblabsnc  37723  iblmulc2nc  37724  ftc1anclem4  37735  ftc1anclem7  37738  ftc1anc  37740  areacirc  37752  lcmineqlem18  42078  posbezout  42132  aks6d1c1  42148  2np3bcnp1  42176  rmxypos  42979  wallispi2lem1  46108  fourierdlem15  46159  fourierdlem30  46174  fourierdlem47  46190  sge0xaddlem2  46471  hoidmvlelem2  46633  hoidmvlelem4  46635  ovolval5lem1  46689  ormkglobd  46912  flsqrt  47623  nn0eo  48559  2sphere  48780  itscnhlinecirc02plem3  48815