Theorem addge0d 11922

Description: Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		addge0 11835	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230   + caddc 11233   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379

This theorem is used by:  fldiv  14030  modaddmodlo  14108  cjmulge0  15345  absrele  15507  abstri  15530  nn0oddm1d2  16587  prdsxmetlem  24720  nmotri  25091  tcphcphlem1  25589  trirn  25754  minveclem4  25786  ibladdlem  26173  itgaddlem1  26176  itgaddlem2  26177  iblabs  26182  cxpaddle  27113  asinlem3a  27231  fsumharmonic  27372  lgamgulmlem3  27391  mulog2sumlem2  27895  selbergb  27909  selberg2b  27912  pntrlog2bndlem2  27938  pntrlog2bnd  27944  abvcxp  27975  smcnlem  31332  minvecolem4  31515  fsumrp0cl  33658  sqsscirc1  34623  omssubaddlem  35014  dnibndlem9  37543  itg2addnc  38797  ibladdnclem  38799  itgaddnclem1  38801  itgaddnclem2  38802  iblabsnc  38807  iblmulc2nc  38808  ftc1anclem4  38819  ftc1anclem7  38822  ftc1anc  38824  areacirc  38836  lcmineqlem18  43299  posbezout  43353  aks6d1c1  43369  2np3bcnp1  43397  rmxypos  44158  wallispi2lem1  47296  fourierdlem15  47347  fourierdlem30  47362  fourierdlem47  47378  sge0xaddlem2  47659  hoidmvlelem2  47821  hoidmvlelem4  47823  ovolval5lem1  47877  ormkglobd  48102  flsqrt  48893  nn0eo  49855  2sphere  50076  itscnhlinecirc02plem3  50111