Theorem isercolllem1 15638

Description: Lemma for isercoll 15641. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isercoll.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isercoll.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
isercolllem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem1

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isercoll.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		uzssz 12821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
3	1, 2	eqsstri 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
4		zssre 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
6		isercoll.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
8		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
9	7, 8	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑍)
10	5, 9	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
11		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
12	11	nnred 12208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13	10, 12	resubcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
14	8	nnred 12208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	10, 14	resubcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
16	7, 11	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑍)
17	5, 16	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
18	17, 12	resubcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑦) − 𝑦) ∈ ℝ)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
20	14, 12, 10, 19	ltsub2dd 11798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
21	8	nnzd 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
22	11	nnzd 12563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	14, 12, 19	ltled 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
24		eluz2 12806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦))
25	21, 22, 23, 24	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
26		elfzuz 13488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑥...𝑦) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
27		eluznn 12884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
28	8, 27	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
31	29, 30	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘𝑘) − 𝑘))
32		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))
33		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − 𝑘))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) − 𝑘))
36	7	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑍)
37	5, 36	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
38		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
40	37, 39	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ∈ ℝ)
41	35, 40	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
42	28, 41	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
43	26, 42	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...𝑦)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
44		elfzuz 13488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
45		peano2nn 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
47	7, 45, 46	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
48	5, 47	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
49		peano2rem 11496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
51		isercoll.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
52	51	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
53	3, 36	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℤ)
54	3, 47	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
55		zltlem1 12593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
56	53, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
57	52, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1))
58	37, 50, 39, 57	lesub1dd 11801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ≤ (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘))
59	48	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
60		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
61	39	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	sub32d 11572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1))
63	59, 61, 60	subsub4d 11571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
64	62, 63	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
65	58, 64	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) − 𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
66	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
67		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
68		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
69	67, 68	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
70		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)) ∈ V
71	69, 32, 70	fvmpt 6971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
72	66, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
73	65, 35, 72	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
74	28, 73	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
75	44, 74	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
76	25, 43, 75	monoord 14004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑥) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑦))
77		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑥))
78		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝑛 = 𝑥)
79	77, 78	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
80		ovex 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑥) − 𝑥) ∈ V
81	79, 32, 80	fvmpt 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
82	8, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) − 𝑥))
83		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑦))
84		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → 𝑛 = 𝑦)
85	83, 84	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝐺‘𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
86		ovex 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑦) − 𝑦) ∈ V
87	85, 32, 86	fvmpt 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
88	11, 87	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺‘𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
89	76, 82, 88	3brtr3d 5141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑥) ≤ ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
90	13, 15, 18, 20, 89	ltletrd 11341	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐺‘𝑦) − 𝑦))
91	10, 17, 12	ltsub1d 11794	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦) ↔ ((𝐺‘𝑥) − 𝑦) < ((𝐺‘𝑦) − 𝑦)))
92	90, 91	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))
93	92	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)))
94	93	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)))
95		ss2ralv 4020	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))))
96	94, 95	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦)))
97		nnssre 12197	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
98		ltso 11261	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
99		soss 5569	. . . . 5 ⊢ (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
100	97, 98, 99	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ
101	100	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → < Or ℕ)
102		soss 5569	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑍))
103	5, 98, 102	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or 𝑍
104	103	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → < Or 𝑍)
105	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
106		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → 𝑆 ⊆ ℕ)
107		soisores 7305	. . 3 ⊢ ((( < Or ℕ ∧ < Or 𝑍) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ)) → ((𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))))
108	101, 104, 105, 106, 107	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → ((𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺‘𝑥) < (𝐺‘𝑦))))
109	96, 108	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺 ↾ 𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺 “ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   Or wor 5548   ↾ cres 5643   “ cima 5644  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514   Isom wiso 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  isercolllem2  15639  isercolllem3  15640  isercoll  15641