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Theorem isercolllem1 15549
Description: Lemma for isercoll 15552. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem1
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 12784 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3978 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
4 zssre 12506 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3953 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
6 isercoll.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
8 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
97, 8ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
105, 9sselid 3942 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
11 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
1211nnred 12168 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 11583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
148nnred 12168 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
1510, 14resubcld 11583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
167, 11ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑍)
175, 16sselid 3942 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
1817, 12resubcld 11583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ ℝ)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
2014, 12, 10, 19ltsub2dd 11768 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑥) − 𝑥))
218nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
2211nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
2314, 12, 19ltled 11303 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
24 eluz2 12769 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑦))
2521, 22, 23, 24syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (ℤ𝑥))
26 elfzuz 13437 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...𝑦) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
27 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
288, 27sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3129, 30oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))
33 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
367ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑍)
375, 36sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
38 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
4037, 39resubcld 11583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ ℝ)
4135, 40eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4228, 41syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4326, 42sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...𝑦)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
44 elfzuz 13437 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
45 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
477, 45, 46syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
485, 47sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
49 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
51 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
5251ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
533, 36sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℤ)
543, 47sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
55 zltlem1 12556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5653, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5752, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1))
5837, 50, 39, 57lesub1dd 11771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘))
5948recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
60 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6139recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
6259, 60, 61sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1))
6359, 61, 60subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6462, 63eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6558, 64breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6645adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
67 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
68 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
6967, 68oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
70 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)) ∈ V
7169, 32, 70fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7365, 35, 723brtr4d 5137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7428, 73syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7544, 74sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7625, 43, 75monoord 13938 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦))
77 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑥))
78 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
7977, 78oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
80 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ V
8179, 32, 80fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
828, 81syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
83 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑦))
84 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦𝑛 = 𝑦)
8583, 84oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
86 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ V
8785, 32, 86fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8811, 87syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8976, 82, 883brtr3d 5136 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ≤ ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9013, 15, 18, 20, 89ltletrd 11315 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9110, 17, 12ltsub1d 11764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) < (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦)))
9290, 91mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))
9392ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
9493ralrimivva 3197 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
95 ss2ralv 4012 . . 3 (𝑆 ⊆ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
9694, 95mpan9 507 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
97 nnssre 12157 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
98 ltso 11235 . . . . 5 < Or ℝ
99 soss 5565 . . . . 5 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
10097, 98, 99mp2 9 . . . 4 < Or ℕ
101100a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or ℕ)
102 soss 5565 . . . . 5 (𝑍 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑍))
1035, 98, 102mp2 9 . . . 4 < Or 𝑍
104103a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or 𝑍)
1056adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
106 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝑆 ⊆ ℕ)
107 soisores 7272 . . 3 ((( < Or ℕ ∧ < Or 𝑍) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑍𝑆 ⊆ ℕ)) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
108101, 104, 105, 106, 107syl22anc 837 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
10996, 108mpbird 256 1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Or wor 5544  cres 5635  cima 5636  wf 6492  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  isercolllem2  15550  isercolllem3  15551  isercoll  15552
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