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Theorem isercolllem1 15012
 Description: Lemma for isercoll 15015. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem1
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 12252 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3976 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
4 zssre 11976 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3951 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
6 isercoll.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
8 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
97, 8ffvelrnd 6834 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
105, 9sseldi 3940 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
11 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
1211nnred 11640 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 11057 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
148nnred 11640 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
1510, 14resubcld 11057 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
167, 11ffvelrnd 6834 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑍)
175, 16sseldi 3940 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
1817, 12resubcld 11057 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ ℝ)
19 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
2014, 12, 10, 19ltsub2dd 11242 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑥) − 𝑥))
218nnzd 12074 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
2211nnzd 12074 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
2314, 12, 19ltled 10777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
24 eluz2 12237 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑦))
2521, 22, 23, 24syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (ℤ𝑥))
26 elfzuz 12898 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...𝑦) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
27 eluznn 12306 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
288, 27sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3129, 30oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
32 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))
33 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
3534adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
367ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑍)
375, 36sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
38 nnre 11632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3938adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
4037, 39resubcld 11057 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ ℝ)
4135, 40eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4228, 41syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4326, 42sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...𝑦)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
44 elfzuz 12898 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
45 peano2nn 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46 ffvelrn 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
477, 45, 46syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
485, 47sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
49 peano2rem 10942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
51 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
5251ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
533, 36sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℤ)
543, 47sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
55 zltlem1 12023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5653, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5752, 56mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1))
5837, 50, 39, 57lesub1dd 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘))
5948recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
60 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6139recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
6259, 60, 61sub32d 11018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1))
6359, 61, 60subsub4d 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6462, 63eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6558, 64breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6645adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
67 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
68 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
6967, 68oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
70 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)) ∈ V
7169, 32, 70fvmpt 6750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7365, 35, 723brtr4d 5074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7428, 73syldan 594 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7544, 74sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7625, 43, 75monoord 13396 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦))
77 fveq2 6652 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑥))
78 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
7977, 78oveq12d 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
80 ovex 7173 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ V
8179, 32, 80fvmpt 6750 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
828, 81syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
83 fveq2 6652 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑦))
84 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦𝑛 = 𝑦)
8583, 84oveq12d 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
86 ovex 7173 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ V
8785, 32, 86fvmpt 6750 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8811, 87syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8976, 82, 883brtr3d 5073 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ≤ ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9013, 15, 18, 20, 89ltletrd 10789 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9110, 17, 12ltsub1d 11238 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) < (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦)))
9290, 91mpbird 260 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))
9392ex 416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
9493ralrimivva 3181 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
95 ss2ralv 4010 . . 3 (𝑆 ⊆ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
9694, 95mpan9 510 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
97 nnssre 11629 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
98 ltso 10710 . . . . 5 < Or ℝ
99 soss 5470 . . . . 5 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
10097, 98, 99mp2 9 . . . 4 < Or ℕ
101100a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or ℕ)
102 soss 5470 . . . . 5 (𝑍 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑍))
1035, 98, 102mp2 9 . . . 4 < Or 𝑍
104103a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or 𝑍)
1056adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
106 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝑆 ⊆ ℕ)
107 soisores 7064 . . 3 ((( < Or ℕ ∧ < Or 𝑍) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑍𝑆 ⊆ ℕ)) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
108101, 104, 105, 106, 107syl22anc 837 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
10996, 108mpbird 260 1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   Or wor 5450   ↾ cres 5534   “ cima 5535  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334   Isom wiso 6335  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  ...cfz 12885 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886 This theorem is referenced by:  isercolllem2  15013  isercolllem3  15014  isercoll  15015
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