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Theorem isercolllem1 15555
Description: Lemma for isercoll 15558. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem1
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 12789 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3979 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
4 zssre 12511 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3954 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
6 isercoll.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
8 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
97, 8ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
105, 9sselid 3943 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
11 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
1211nnred 12173 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 11588 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
148nnred 12173 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
1510, 14resubcld 11588 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
167, 11ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑍)
175, 16sselid 3943 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
1817, 12resubcld 11588 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ ℝ)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
2014, 12, 10, 19ltsub2dd 11773 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑥) − 𝑥))
218nnzd 12531 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
2211nnzd 12531 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
2314, 12, 19ltled 11308 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
24 eluz2 12774 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑦))
2521, 22, 23, 24syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (ℤ𝑥))
26 elfzuz 13443 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...𝑦) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
27 eluznn 12848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
288, 27sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3129, 30oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))
33 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
3534adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
367ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑍)
375, 36sselid 3943 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
38 nnre 12165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
4037, 39resubcld 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ ℝ)
4135, 40eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4228, 41syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4326, 42sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...𝑦)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
44 elfzuz 13443 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
45 peano2nn 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
477, 45, 46syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
485, 47sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
49 peano2rem 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
51 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
5251ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
533, 36sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℤ)
543, 47sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
55 zltlem1 12561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5653, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5752, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1))
5837, 50, 39, 57lesub1dd 11776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘))
5948recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
60 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6139recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
6259, 60, 61sub32d 11549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1))
6359, 61, 60subsub4d 11548 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6462, 63eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6558, 64breqtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6645adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
67 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
68 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
6967, 68oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
70 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)) ∈ V
7169, 32, 70fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7365, 35, 723brtr4d 5138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7428, 73syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7544, 74sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7625, 43, 75monoord 13944 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦))
77 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑥))
78 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
7977, 78oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
80 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ V
8179, 32, 80fvmpt 6949 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
828, 81syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
83 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑦))
84 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦𝑛 = 𝑦)
8583, 84oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
86 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ V
8785, 32, 86fvmpt 6949 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8811, 87syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8976, 82, 883brtr3d 5137 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ≤ ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9013, 15, 18, 20, 89ltletrd 11320 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9110, 17, 12ltsub1d 11769 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) < (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦)))
9290, 91mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))
9392ex 414 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
9493ralrimivva 3194 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
95 ss2ralv 4013 . . 3 (𝑆 ⊆ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
9694, 95mpan9 508 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
97 nnssre 12162 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
98 ltso 11240 . . . . 5 < Or ℝ
99 soss 5566 . . . . 5 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
10097, 98, 99mp2 9 . . . 4 < Or ℕ
101100a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or ℕ)
102 soss 5566 . . . . 5 (𝑍 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑍))
1035, 98, 102mp2 9 . . . 4 < Or 𝑍
104103a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or 𝑍)
1056adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
106 simpr 486 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝑆 ⊆ ℕ)
107 soisores 7273 . . 3 ((( < Or ℕ ∧ < Or 𝑍) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑍𝑆 ⊆ ℕ)) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
108101, 104, 105, 106, 107syl22anc 838 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
10996, 108mpbird 257 1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wss 3911   class class class wbr 5106  cmpt 5189   Or wor 5545  cres 5636  cima 5637  wf 6493  cfv 6497   Isom wiso 6498  (class class class)co 7358  cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  cz 12504  cuz 12768  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  isercolllem2  15556  isercolllem3  15557  isercoll  15558
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