MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercolllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercolllem1 14880
Description: Lemma for isercoll 14883. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll.g (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
isercoll.i ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
isercolllem1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem isercolllem1
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 uzssz 12076 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3885 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
4 zssre 11798 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3861 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
6 isercoll.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑍)
76ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
8 simplrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ)
97, 8ffvelrnd 6675 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑍)
105, 9sseldi 3850 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
11 simplrr 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
1211nnred 11454 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 10867 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) ∈ ℝ)
148nnred 11454 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
1510, 14resubcld 10867 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ ℝ)
167, 11ffvelrnd 6675 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑍)
175, 16sseldi 3850 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
1817, 12resubcld 10867 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ ℝ)
19 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
2014, 12, 10, 19ltsub2dd 11052 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑥) − 𝑥))
218nnzd 11897 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℤ)
2211nnzd 11897 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℤ)
2314, 12, 19ltled 10586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦)
24 eluz2 12062 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑦))
2521, 22, 23, 24syl3anbrc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (ℤ𝑥))
26 elfzuz 12718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...𝑦) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
27 eluznn 12130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
288, 27sylan 572 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 fveq2 6496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
3129, 30oveq12d 6992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
32 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))
33 ovex 7006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
3534adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − 𝑘))
367ffvelrnda 6674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑍)
375, 36sseldi 3850 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
38 nnre 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3938adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
4037, 39resubcld 10867 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ∈ ℝ)
4135, 40eqeltrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4228, 41syldan 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4326, 42sylan2 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...𝑦)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
44 elfzuz 12718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑥))
45 peano2nn 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46 ffvelrn 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺:ℕ⟶𝑍 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
477, 45, 46syl2an 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑍)
485, 47sseldi 3850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
49 peano2rem 10752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
51 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
5251ad4ant14 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
533, 36sseldi 3850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℤ)
543, 47sseldi 3850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
55 zltlem1 11846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5653, 54, 55syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1)))
5752, 56mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1))
5837, 50, 39, 57lesub1dd 11055 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘))
5948recnd 10466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
60 1cnd 10432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6139recnd 10466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
6259, 60, 61sub32d 10828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1))
6359, 61, 60subsub4d 10827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 𝑘) − 1) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6462, 63eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1)) − 1) − 𝑘) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6558, 64breqtrd 4951 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) − 𝑘) ≤ ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
6645adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
67 fveq2 6496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
68 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
6967, 68oveq12d 6992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
70 ovex 7006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)) ∈ V
7169, 32, 70fvmpt 6593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7266, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)) = ((𝐺‘(𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1)))
7365, 35, 723brtr4d 4957 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7428, 73syldan 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑥)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7544, 74sylan2 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ (𝑥...(𝑦 − 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘(𝑘 + 1)))
7625, 43, 75monoord 13213 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦))
77 fveq2 6496 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑥))
78 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
7977, 78oveq12d 6992 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑥 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
80 ovex 7006 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑥) − 𝑥) ∈ V
8179, 32, 80fvmpt 6593 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
828, 81syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − 𝑥))
83 fveq2 6496 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑦))
84 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦𝑛 = 𝑦)
8583, 84oveq12d 6992 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐺𝑛) − 𝑛) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
86 ovex 7006 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) − 𝑦) ∈ V
8785, 32, 86fvmpt 6593 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8811, 87syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐺𝑛) − 𝑛))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) − 𝑦))
8976, 82, 883brtr3d 4956 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑥) ≤ ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9013, 15, 18, 20, 89ltletrd 10598 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦))
9110, 17, 12ltsub1d 11048 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐺𝑥) < (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝑥) − 𝑦) < ((𝐺𝑦) − 𝑦)))
9290, 91mpbird 249 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))
9392ex 405 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
9493ralrimivva 3135 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
95 ss2ralv 3919 . . 3 (𝑆 ⊆ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
9694, 95mpan9 499 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦)))
97 nnssre 11441 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
98 ltso 10519 . . . . 5 < Or ℝ
99 soss 5341 . . . . 5 (ℕ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ))
10097, 98, 99mp2 9 . . . 4 < Or ℕ
101100a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or ℕ)
102 soss 5341 . . . . 5 (𝑍 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝑍))
1035, 98, 102mp2 9 . . . 4 < Or 𝑍
104103a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → < Or 𝑍)
1056adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝐺:ℕ⟶𝑍)
106 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → 𝑆 ⊆ ℕ)
107 soisores 6901 . . 3 ((( < Or ℕ ∧ < Or 𝑍) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑍𝑆 ⊆ ℕ)) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
108101, 104, 105, 106, 107syl22anc 826 . 2 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → ((𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 < 𝑦 → (𝐺𝑥) < (𝐺𝑦))))
10996, 108mpbird 249 1 ((𝜑𝑆 ⊆ ℕ) → (𝐺𝑆) Isom < , < (𝑆, (𝐺𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3082  wss 3823   class class class wbr 4925  cmpt 5004   Or wor 5321  cres 5405  cima 5406  wf 6181  cfv 6185   Isom wiso 6186  (class class class)co 6974  cr 10332  1c1 10334   + caddc 10336   < clt 10472  cle 10473  cmin 10668  cn 11437  cz 11791  cuz 12056  ...cfz 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707
This theorem is referenced by:  isercolllem2  14881  isercolllem3  14882  isercoll  14883
  Copyright terms: Public domain W3C validator