Theorem ofs2 14924

Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofs2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Proof of Theorem ofs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14801	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		df-s2 14801	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
3	1, 2	oveq12i 7368	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
4		simpll 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	4	s1cld 14557	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
6		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
7	6	s1cld 14557	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
8		simprl 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐶 ∈ 𝑇)
9	8	s1cld 14557	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑇)
10		simprr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐷 ∈ 𝑇)
11	10	s1cld 14557	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑇)
12		s1len 14560	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
13		s1len 14560	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐶”⟩) = 1
14	12, 13	eqtr4i 2765	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩))
16		s1len 14560	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
17		s1len 14560	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐷”⟩) = 1
18	16, 17	eqtr4i 2765	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷”⟩)
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (♯‘⟨“𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷”⟩))
20	5, 7, 9, 11, 15, 19	ofccat 14922	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
21	3, 20	eqtrid 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
22		ofs1 14923	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
23	4, 8, 22	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
24		ofs1 14923	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
25	6, 10, 24	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
26	23, 25	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩))
27		df-s2 14801	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
28	26, 27	eqtr4di 2792	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
29	21, 28	eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  1c1 11030  ♯chash 14283   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549  ⟨“cs2 14794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801

This theorem is referenced by:  amgmw2d  50294