Theorem ofs2 14882

Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofs2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Proof of Theorem ofs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14759	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		df-s2 14759	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
3	1, 2	oveq12i 7366	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
4		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	4	s1cld 14515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
6		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
7	6	s1cld 14515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
8		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐶 ∈ 𝑇)
9	8	s1cld 14515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑇)
10		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐷 ∈ 𝑇)
11	10	s1cld 14515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑇)
12		s1len 14518	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
13		s1len 14518	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐶”⟩) = 1
14	12, 13	eqtr4i 2759	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩))
16		s1len 14518	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
17		s1len 14518	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐷”⟩) = 1
18	16, 17	eqtr4i 2759	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷”⟩)
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (♯‘⟨“𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷”⟩))
20	5, 7, 9, 11, 15, 19	ofccat 14880	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
21	3, 20	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
22		ofs1 14881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
23	4, 8, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
24		ofs1 14881	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
25	6, 10, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
26	23, 25	oveq12d 7372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩))
27		df-s2 14759	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
28	26, 27	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
29	21, 28	eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∘_f cof 7616  1c1 11016  ♯chash 14241   ++ cconcat 14481  ⟨“cs1 14507  ⟨“cs2 14752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242  df-word 14425  df-concat 14482  df-s1 14508  df-s2 14759

This theorem is referenced by:  amgmw2d  49932