MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofs2 15007
Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofs2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Proof of Theorem ofs2
StepHypRef Expression
1 df-s2 14884 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2 df-s2 14884 . . . 4 ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
31, 2oveq12i 7443 . . 3 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
4 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐴𝑆)
54s1cld 14638 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
6 simplr 769 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐵𝑆)
76s1cld 14638 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
8 simprl 771 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐶𝑇)
98s1cld 14638 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑇)
10 simprr 773 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐷𝑇)
1110s1cld 14638 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑇)
12 s1len 14641 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
13 s1len 14641 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐶”⟩) = 1
1412, 13eqtr4i 2766 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)
1514a1i 11 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩))
16 s1len 14641 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
17 s1len 14641 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐷”⟩) = 1
1816, 17eqtr4i 2766 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷”⟩)
1918a1i 11 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (♯‘⟨“𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷”⟩))
205, 7, 9, 11, 15, 19ofccat 15005 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘f 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
213, 20eqtrid 2787 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
22 ofs1 15006 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐶𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
234, 8, 22syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
24 ofs1 15006 . . . . 5 ((𝐵𝑆𝐷𝑇) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
256, 10, 24syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
2623, 25oveq12d 7449 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩))
27 df-s2 14884 . . 3 ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
2826, 27eqtr4di 2793 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
2921, 28eqtrd 2775 1 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  1c1 11154  chash 14366   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  ⟨“cs2 14877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884
This theorem is referenced by:  amgmw2d  49035
  Copyright terms: Public domain W3C validator