Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmw2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmw2d 48315
Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 43659). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmw2d.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4 (πœ‘ β†’ (𝑃 + 𝑄) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmw2d (πœ‘ β†’ ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)) ≀ ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2 fzofi 13979 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 12323 . . . . 5 2 ∈ β„•
5 lbfzo0 13712 . . . . 5 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . 4 0 ∈ (0..^2)
7 ne0i 4338 . . . 4 (0 ∈ (0..^2) β†’ (0..^2) β‰  βˆ…)
86, 7mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^2) β‰  βˆ…)
9 amgmw2d.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgmw2d.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14862 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 14509 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+)
14 s2len 14880 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = 2
1514oveq2i 7437 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)) = (0..^2)
1615feq2i 6719 . . . 4 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
1713, 16sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
18 amgmw2d.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
19 amgmw2d.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ+)
2018, 19s2cld 14862 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ© ∈ Word ℝ+)
21 wrdf 14509 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©))βŸΆβ„+)
2220, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©))βŸΆβ„+)
23 s2len 14880 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = 2
2423oveq2i 7437 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = (0..^2)
2524feq2i 6719 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©))βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
2622, 25sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
27 cnring 21325 . . . . . 6 β„‚fld ∈ Ring
28 ringmnd 20190 . . . . . 6 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
3018rpcnd 13058 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
3119rpcnd 13058 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
32 cnfldbas 21290 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
33 cnfldadd 21292 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3432, 33gsumws2 18801 . . . . 5 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ 𝑄 ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = (𝑃 + 𝑄))
3529, 30, 31, 34syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = (𝑃 + 𝑄))
36 amgmw2d.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 + 𝑄) = 1)
3735, 36eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = 1)
381, 3, 8, 17, 26, 37amgmwlem 48313 . 2 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) ≀ (β„‚fld Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)))
399, 10jca 510 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+))
4018, 19jca 510 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+))
41 ofs2 14958 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+)) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©)
4239, 40, 41syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©)
4342oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©))
441ringmgp 20186 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
4527, 44mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
4618rpred 13056 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
479, 46rpcxpcld 26687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 13058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ β„‚)
4919rpred 13056 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
5010, 49rpcxpcld 26687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡↑𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
5150rpcnd 13058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡↑𝑐𝑄) ∈ β„‚)
521, 32mgpbas 20087 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
53 cnfldmul 21294 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
541, 53mgpplusg 20085 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
5552, 54gsumws2 18801 . . . 4 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd ∧ (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ β„‚ ∧ (𝐡↑𝑐𝑄) ∈ β„‚) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)))
5645, 48, 51, 55syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)))
5743, 56eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)))
58 ofs2 14958 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+)) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©)
5939, 40, 58syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©)
6059oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©))
619, 18rpmulcld 13072 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑃) ∈ ℝ+)
6261rpcnd 13058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑃) ∈ β„‚)
6310, 19rpmulcld 13072 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑄) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 13058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑄) ∈ β„‚)
6532, 33gsumws2 18801 . . . 4 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ (𝐴 Β· 𝑃) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 Β· 𝑄) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
6629, 62, 64, 65syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
6760, 66eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
6838, 57, 673brtr3d 5183 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)) ≀ ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  2c2 12305  β„+crp 13014  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  Word cword 14504  βŸ¨β€œcs2 14832   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  mulGrpcmgp 20081  Ringcrg 20180  β„‚fldccnfld 21286  β†‘𝑐ccxp 26509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-cxp 26511
This theorem is referenced by:  young2d  48316
  Copyright terms: Public domain W3C validator