Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmw2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmw2d 48107
Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 43508). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmw2d.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4 (πœ‘ β†’ (𝑃 + 𝑄) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmw2d (πœ‘ β†’ ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)) ≀ ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2 fzofi 13942 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 12286 . . . . 5 2 ∈ β„•
5 lbfzo0 13675 . . . . 5 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . 4 0 ∈ (0..^2)
7 ne0i 4329 . . . 4 (0 ∈ (0..^2) β†’ (0..^2) β‰  βˆ…)
86, 7mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^2) β‰  βˆ…)
9 amgmw2d.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgmw2d.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 14472 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+)
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+)
14 s2len 14843 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = 2
1514oveq2i 7415 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)) = (0..^2)
1615feq2i 6702 . . . 4 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
1713, 16sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
18 amgmw2d.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
19 amgmw2d.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ+)
2018, 19s2cld 14825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ© ∈ Word ℝ+)
21 wrdf 14472 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©))βŸΆβ„+)
2220, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©))βŸΆβ„+)
23 s2len 14843 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = 2
2423oveq2i 7415 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = (0..^2)
2524feq2i 6702 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©))βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
2622, 25sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
27 cnring 21274 . . . . . 6 β„‚fld ∈ Ring
28 ringmnd 20145 . . . . . 6 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
3018rpcnd 13021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
3119rpcnd 13021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
32 cnfldbas 21239 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
33 cnfldadd 21241 . . . . . 6 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3432, 33gsumws2 18764 . . . . 5 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ β„‚ ∧ 𝑄 ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = (𝑃 + 𝑄))
3529, 30, 31, 34syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = (𝑃 + 𝑄))
36 amgmw2d.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 + 𝑄) = 1)
3735, 36eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = 1)
381, 3, 8, 17, 26, 37amgmwlem 48105 . 2 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) ≀ (β„‚fld Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)))
399, 10jca 511 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+))
4018, 19jca 511 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+))
41 ofs2 14921 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+)) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©)
4239, 40, 41syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©)
4342oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©))
441ringmgp 20141 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
4527, 44mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
4618rpred 13019 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
479, 46rpcxpcld 26617 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 13021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ β„‚)
4919rpred 13019 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
5010, 49rpcxpcld 26617 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡↑𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
5150rpcnd 13021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡↑𝑐𝑄) ∈ β„‚)
521, 32mgpbas 20042 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
53 cnfldmul 21243 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
541, 53mgpplusg 20040 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
5552, 54gsumws2 18764 . . . 4 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd ∧ (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ β„‚ ∧ (𝐡↑𝑐𝑄) ∈ β„‚) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)))
5645, 48, 51, 55syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐡↑𝑐𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)))
5743, 56eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f β†‘π‘βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)))
58 ofs2 14921 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+)) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©)
5939, 40, 58syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©)
6059oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©))
619, 18rpmulcld 13035 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑃) ∈ ℝ+)
6261rpcnd 13021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑃) ∈ β„‚)
6310, 19rpmulcld 13035 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑄) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 13021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑄) ∈ β„‚)
6532, 33gsumws2 18764 . . . 4 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ (𝐴 Β· 𝑃) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 Β· 𝑄) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
6629, 62, 64, 65syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œ(𝐴 Β· 𝑃)(𝐡 Β· 𝑄)β€βŸ©) = ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
6760, 66eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∘f Β· βŸ¨β€œπ‘ƒπ‘„β€βŸ©)) = ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
6838, 57, 673brtr3d 5172 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑𝑐𝑃) Β· (𝐡↑𝑐𝑄)) ≀ ((𝐴 Β· 𝑃) + (𝐡 Β· 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  2c2 12268  β„+crp 12977  ..^cfzo 13630  β™―chash 14292  Word cword 14467  βŸ¨β€œcs2 14795   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664  mulGrpcmgp 20036  Ringcrg 20135  β„‚fldccnfld 21235  β†‘𝑐ccxp 26439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-s2 14802  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-refld 21493  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-cxp 26441
This theorem is referenced by:  young2d  48108
  Copyright terms: Public domain W3C validator