Theorem amgmw2d 47804

Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 42935). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmw2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4	⊢ (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)

Assertion

Ref	Expression
amgmw2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃) · (𝐵↑𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 13935	. . . 4 ⊢ (0..^2) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4		2nn 12281	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13668	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
7		ne0i 4333	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^2) → (0..^2) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9		amgmw2d.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgmw2d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	9, 10	s2cld 14818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12		wrdf 14465	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
14		s2len 14836	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
15	14	oveq2i 7416	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0..^2)
16	15	feq2i 6706	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
17	13, 16	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18		amgmw2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
19		amgmw2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ+)
20	18, 19	s2cld 14818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+)
21		wrdf 14465	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
23		s2len 14836	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩) = 2
24	23	oveq2i 7416	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (0..^2)
25	24	feq2i 6706	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
26	22, 25	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
27		cnring 20959	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28		ringmnd 20059	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
29	27, 28	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
30	18	rpcnd 13014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
31	19	rpcnd 13014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
32		cnfldbas 20940	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
33		cnfldadd 20941	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
34	32, 33	gsumws2 18719	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
35	29, 30, 31, 34	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
36		amgmw2d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
37	35, 36	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = 1)
38	1, 3, 8, 17, 26, 37	amgmwlem 47802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f ↑𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) ≤ (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)))
39	9, 10	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
40	18, 19	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+))
41		ofs2 14914	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f ↑𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐵↑𝑐𝑄)”⟩)
42	39, 40, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f ↑𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐵↑𝑐𝑄)”⟩)
43	42	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f ↑𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐵↑𝑐𝑄)”⟩))
44	1	ringmgp 20055	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
45	27, 44	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
46	18	rpred 13012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
47	9, 46	rpcxpcld 26231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
48	47	rpcnd 13014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℂ)
49	19	rpred 13012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
50	10, 49	rpcxpcld 26231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
51	50	rpcnd 13014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℂ)
52	1, 32	mgpbas 19987	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
53		cnfldmul 20942	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
54	1, 53	mgpplusg 19985	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
55	52, 54	gsumws2 18719	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴↑𝑐𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐𝑄) ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐵↑𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴↑𝑐𝑃) · (𝐵↑𝑐𝑄)))
56	45, 48, 51, 55	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴↑𝑐𝑃)(𝐵↑𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴↑𝑐𝑃) · (𝐵↑𝑐𝑄)))
57	43, 56	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f ↑𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴↑𝑐𝑃) · (𝐵↑𝑐𝑄)))
58		ofs2 14914	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
59	39, 40, 58	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
60	59	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩))
61	9, 18	rpmulcld 13028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℝ+)
62	61	rpcnd 13014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ)
63	10, 19	rpmulcld 13028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ+)
64	63	rpcnd 13014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
65	32, 33	gsumws2 18719	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
66	29, 62, 64, 65	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
67	60, 66	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
68	38, 57, 67	3brtr3d 5178	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝑃) · (𝐵↑𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664  Fincfn 8935  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460  ⟨“cs2 14788   Σ_g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  ℂ_fldccnfld 20936  ↑_𝑐ccxp 26055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057

This theorem is referenced by:  young2d  47805