Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmw2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmw2d 44273
Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 39916). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmw2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmw2d (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 13160 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 11516 . . . . 5 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12895 . . . . 5 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 223 . . . 4 0 ∈ (0..^2)
7 ne0i 4188 . . . 4 (0 ∈ (0..^2) → (0..^2) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgmw2d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgmw2d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14098 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 13680 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
14 s2len 14116 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1514oveq2i 6989 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0..^2)
1615feq2i 6338 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1713, 16sylib 210 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18 amgmw2d.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
19 amgmw2d.3 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
2018, 19s2cld 14098 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+)
21 wrdf 13680 . . . . 5 (⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
23 s2len 14116 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩) = 2
2423oveq2i 6989 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (0..^2)
2524feq2i 6338 . . . 4 (⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
2622, 25sylib 210 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
27 cnring 20272 . . . . . 6 fld ∈ Ring
28 ringmnd 19032 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
3018rpcnd 12253 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3119rpcnd 12253 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
32 cnfldbas 20254 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
33 cnfldadd 20255 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
3432, 33gsumws2 17850 . . . . 5 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
3529, 30, 31, 34syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
36 amgmw2d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
3735, 36eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = 1)
381, 3, 8, 17, 26, 37amgmwlem 44271 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) ≤ (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩)))
399, 10jca 504 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
4018, 19jca 504 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+))
41 ofs2 14195 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4239, 40, 41syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4342oveq2d 6994 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩))
441ringmgp 19029 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4527, 44mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4618rpred 12251 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
479, 46rpcxpcld 25019 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 12253 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
4919rpred 12251 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
5010, 49rpcxpcld 25019 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
5150rpcnd 12253 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
521, 32mgpbas 18971 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
53 cnfldmul 20256 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
541, 53mgpplusg 18969 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5552, 54gsumws2 17850 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5645, 48, 51, 55syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5743, 56eqtrd 2814 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
58 ofs2 14195 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
5939, 40, 58syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
6059oveq2d 6994 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩))
619, 18rpmulcld 12267 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℝ+)
6261rpcnd 12253 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ)
6310, 19rpmulcld 12267 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 12253 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
6532, 33gsumws2 17850 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6629, 62, 64, 65syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6760, 66eqtrd 2814 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6838, 57, 673brtr3d 4961 1 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  c0 4180   class class class wbr 4930  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑓 cof 7227  Fincfn 8308  cc 10335  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342  cle 10477  cn 11441  2c2 11498  +crp 12207  ..^cfzo 12852  chash 13508  Word cword 13675  ⟨“cs2 14068   Σg cgsu 16573  Mndcmnd 17765  mulGrpcmgp 18965  Ringcrg 19023  fldccnfld 20250  𝑐ccxp 24843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-tpos 7697  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ioc 12562  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-fac 13452  df-bc 13481  df-hash 13509  df-word 13676  df-concat 13737  df-s1 13762  df-s2 14075  df-shft 14290  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-limsup 14692  df-clim 14709  df-rlim 14710  df-sum 14907  df-ef 15284  df-sin 15286  df-cos 15287  df-pi 15289  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-gim 18173  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-drng 19230  df-subrg 19259  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-cnfld 20251  df-refld 20454  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cld 21334  df-ntr 21335  df-cls 21336  df-nei 21413  df-lp 21451  df-perf 21452  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-haus 21630  df-cmp 21702  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-fil 22161  df-fm 22253  df-flim 22254  df-flf 22255  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-cncf 23192  df-limc 24170  df-dv 24171  df-log 24844  df-cxp 24845
This theorem is referenced by:  young2d  44274
  Copyright terms: Public domain W3C validator