Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmw2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmw2d 49378
Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 44216). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmw2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmw2d (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 14016 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 12340 . . . . 5 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13740 . . . . 5 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 231 . . . 4 0 ∈ (0..^2)
7 ne0i 4340 . . . 4 (0 ∈ (0..^2) → (0..^2) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgmw2d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgmw2d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14911 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 14558 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
14 s2len 14929 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1514oveq2i 7443 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0..^2)
1615feq2i 6727 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1713, 16sylib 218 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18 amgmw2d.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
19 amgmw2d.3 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
2018, 19s2cld 14911 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+)
21 wrdf 14558 . . . . 5 (⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
23 s2len 14929 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩) = 2
2423oveq2i 7443 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (0..^2)
2524feq2i 6727 . . . 4 (⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
2622, 25sylib 218 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
27 cnring 21404 . . . . . 6 fld ∈ Ring
28 ringmnd 20241 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
3018rpcnd 13080 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3119rpcnd 13080 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
32 cnfldbas 21369 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
33 cnfldadd 21371 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
3432, 33gsumws2 18856 . . . . 5 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
3529, 30, 31, 34syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
36 amgmw2d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
3735, 36eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = 1)
381, 3, 8, 17, 26, 37amgmwlem 49376 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) ≤ (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)))
399, 10jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
4018, 19jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+))
41 ofs2 15011 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4342oveq2d 7448 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩))
441ringmgp 20237 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4527, 44mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4618rpred 13078 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
479, 46rpcxpcld 26776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 13080 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
4919rpred 13078 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
5010, 49rpcxpcld 26776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
5150rpcnd 13080 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
521, 32mgpbas 20143 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
53 cnfldmul 21373 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
541, 53mgpplusg 20142 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5552, 54gsumws2 18856 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5645, 48, 51, 55syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5743, 56eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
58 ofs2 15011 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
5939, 40, 58syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
6059oveq2d 7448 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩))
619, 18rpmulcld 13094 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℝ+)
6261rpcnd 13080 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ)
6310, 19rpmulcld 13094 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 13080 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
6532, 33gsumws2 18856 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6629, 62, 64, 65syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6760, 66eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6838, 57, 673brtr3d 5173 1 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  c0 4332   class class class wbr 5142  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696  Fincfn 8986  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cle 11297  cn 12267  2c2 12322  +crp 13035  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553  ⟨“cs2 14881   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231  fldccnfld 21365  𝑐ccxp 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-cxp 26600
This theorem is referenced by:  young2d  49379
  Copyright terms: Public domain W3C validator