Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmw2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmw2d 48420
Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2 (compare amgm2d 43767). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmw2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgmw2d.1 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
amgmw2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgmw2d.3 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
amgmw2d.4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
Assertion
Ref Expression
amgmw2d (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))

Proof of Theorem amgmw2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 13975 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 12318 . . . . 5 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13707 . . . . 5 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 230 . . . 4 0 ∈ (0..^2)
7 ne0i 4334 . . . 4 (0 ∈ (0..^2) → (0..^2) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgmw2d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgmw2d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14858 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 14505 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
14 s2len 14876 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1514oveq2i 7430 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0..^2)
1615feq2i 6715 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1713, 16sylib 217 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18 amgmw2d.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
19 amgmw2d.3 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ+)
2018, 19s2cld 14858 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+)
21 wrdf 14505 . . . . 5 (⟨“𝑃𝑄”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+)
23 s2len 14876 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩) = 2
2423oveq2i 7430 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (0..^2)
2524feq2i 6715 . . . 4 (⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝑃𝑄”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
2622, 25sylib 217 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑄”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
27 cnring 21335 . . . . . 6 fld ∈ Ring
28 ringmnd 20195 . . . . . 6 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
3018rpcnd 13053 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3119rpcnd 13053 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
32 cnfldbas 21300 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
33 cnfldadd 21302 . . . . . 6 + = (+g‘ℂfld)
3432, 33gsumws2 18802 . . . . 5 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
3529, 30, 31, 34syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = (𝑃 + 𝑄))
36 amgmw2d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 + 𝑄) = 1)
3735, 36eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝑃𝑄”⟩) = 1)
381, 3, 8, 17, 26, 37amgmwlem 48418 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) ≤ (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)))
399, 10jca 510 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
4018, 19jca 510 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+))
41 ofs2 14954 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4239, 40, 41syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩)
4342oveq2d 7435 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩))
441ringmgp 20191 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4527, 44mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
4618rpred 13051 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
479, 46rpcxpcld 26712 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 13053 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ)
4919rpred 13051 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
5010, 49rpcxpcld 26712 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℝ+)
5150rpcnd 13053 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ)
521, 32mgpbas 20092 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
53 cnfldmul 21304 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
541, 53mgpplusg 20090 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5552, 54gsumws2 18802 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴𝑐𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐𝑄) ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5645, 48, 51, 55syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“(𝐴𝑐𝑃)(𝐵𝑐𝑄)”⟩) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
5743, 56eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f𝑐⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)))
58 ofs2 14954 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃 ∈ ℝ+𝑄 ∈ ℝ+)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
5939, 40, 58syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩) = ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩)
6059oveq2d 7435 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩))
619, 18rpmulcld 13067 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℝ+)
6261rpcnd 13053 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ)
6310, 19rpmulcld 13067 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℝ+)
6463rpcnd 13053 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ)
6532, 33gsumws2 18802 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑄) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6629, 62, 64, 65syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“(𝐴 · 𝑃)(𝐵 · 𝑄)”⟩) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6760, 66eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘f · ⟨“𝑃𝑄”⟩)) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
6838, 57, 673brtr3d 5180 1 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝑃) · (𝐵𝑐𝑄)) ≤ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐵 · 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  c0 4322   class class class wbr 5149  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683  Fincfn 8964  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cle 11281  cn 12245  2c2 12300  +crp 13009  ..^cfzo 13662  chash 14325  Word cword 14500  ⟨“cs2 14828   Σg cgsu 17425  Mndcmnd 18697  mulGrpcmgp 20086  Ringcrg 20185  fldccnfld 21296  𝑐ccxp 26534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-refld 21554  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536
This theorem is referenced by:  young2d  48421
  Copyright terms: Public domain W3C validator