Theorem oppcco 17750

Description: Composition in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcco.c	⊢ · = (comp‘𝐶)
oppcco.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
oppcco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
oppcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
oppcco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐺))

Proof of Theorem oppcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcco.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		oppcco.c	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
3		oppcco.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		oppcco.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		oppcco.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		oppcco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppccofval 17749	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍) = tpos (⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋))
8	7	oveqd 7414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐺tpos (⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹))
9		ovtpos 8222	. 2 ⊢ (𝐺tpos (⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐺)
10	8, 9	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4589  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  tpos ctpos 8206  Basecbs 17246  compcco 17299  oppCatcoppc 17744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-dec 12690  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-cco 17312  df-oppc 17745

This theorem is referenced by:  oppccatid  17752  2oppccomf  17758  oppccomfpropd  17760  isepi  17774  epii  17777  oppcsect  17812  funcoppc  17909  hofcl  18292  yon12  18298  yon2  18299  yonedalem4c  18310  oppcup  49829  natoppf  49851  fucoppcco  50031  oppcthinco  50061  oppcthinendcALT  50063