Theorem oppcco 17504

Description: Composition in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcco.c	⊢ · = (comp‘𝐶)
oppcco.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
oppcco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
oppcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
oppcco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐺))

Proof of Theorem oppcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcco.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		oppcco.c	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
3		oppcco.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4		oppcco.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		oppcco.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		oppcco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppccofval 17503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍) = tpos (⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋))
8	7	oveqd 7334	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐺tpos (⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹))
9		ovtpos 8106	. 2 ⊢ (𝐺tpos (⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐺)
10	8, 9	eqtrdi 2793	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4577  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  tpos ctpos 8090  Basecbs 16989  compcco 17051  oppCatcoppc 17497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-tpos 8091  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-ltxr 11094  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-dec 12518  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-cco 17064  df-oppc 17498

This theorem is referenced by:  oppccatid  17507  2oppccomf  17513  oppccomfpropd  17515  isepi  17529  epii  17532  oppcsect  17567  funcoppc  17667  hofcl  18054  yon12  18060  yon2  18061  yonedalem4c  18072