Theorem epii 17911

Description: Property of an epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
epii.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
epii.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
epii.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
epii.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑌𝐻𝑍))

Assertion

Ref	Expression
epii	⊢ (𝜑 → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ↔ 𝐺 = 𝐾))

Proof of Theorem epii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isepi.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		epii.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		isepi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isepi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹))
9	7, 8	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹)))
10	3, 1	oppcbas 17885	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
12		eqid 2761	. . 3 ⊢ (comp‘(oppCat‘𝐶)) = (comp‘(oppCat‘𝐶))
13		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
14		isepi.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3	oppccat 17889	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
17		epii.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
18		isepi.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
19	3, 14, 13, 18	oppcmon 17906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
20	17, 19	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
21		epii.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
22		isepi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
23	22, 3	oppchom 17882	. . . 4 ⊢ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑍)
24	21, 23	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
25		epii.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
26	25, 23	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
27	10, 11, 12, 13, 16, 5, 6, 4, 20, 24, 26	moni 17904	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) ↔ 𝐺 = 𝐾))
28	9, 27	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ↔ 𝐺 = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Hom chom 17432  compcco 17433  Catccat 17831  oppCatcoppc 17878  Monocmon 17896  Epicepi 17897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-oppc 17879  df-mon 17898  df-epi 17899

This theorem is used by:  setcepi  18256