Theorem epii 17832

Description: Property of an epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
epii.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
epii.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
epii.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
epii.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑌𝐻𝑍))

Assertion

Ref	Expression
epii	⊢ (𝜑 → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ↔ 𝐺 = 𝐾))

Proof of Theorem epii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isepi.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		epii.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		isepi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isepi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹))
9	7, 8	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹)))
10	3, 1	oppcbas 17806	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (comp‘(oppCat‘𝐶)) = (comp‘(oppCat‘𝐶))
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
14		isepi.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3	oppccat 17810	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
17		epii.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
18		isepi.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
19	3, 14, 13, 18	oppcmon 17827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
20	17, 19	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
21		epii.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
22		isepi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
23	22, 3	oppchom 17803	. . . 4 ⊢ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑍)
24	21, 23	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
25		epii.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
26	25, 23	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
27	10, 11, 12, 13, 16, 5, 6, 4, 20, 24, 26	moni 17825	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) ↔ 𝐺 = 𝐾))
28	9, 27	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ↔ 𝐺 = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Hom chom 17353  compcco 17354  Catccat 17752  oppCatcoppc 17799  Monocmon 17817  Epicepi 17818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-cat 17756  df-cid 17757  df-oppc 17800  df-mon 17819  df-epi 17820

This theorem is used by:  setcepi  18177