Theorem epii 17925

Description: Property of an epimorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isepi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
isepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isepi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
isepi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
epii.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
epii.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
epii.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
epii.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑌𝐻𝑍))

Assertion

Ref	Expression
epii	⊢ (𝜑 → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ↔ 𝐺 = 𝐾))

Proof of Theorem epii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isepi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isepi.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
4		epii.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		isepi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		isepi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	oppcco 17898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹))
9	7, 8	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹)))
10	3, 1	oppcbas 17899	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (comp‘(oppCat‘𝐶)) = (comp‘(oppCat‘𝐶))
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
14		isepi.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3	oppccat 17903	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
17		epii.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
18		isepi.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
19	3, 14, 13, 18	oppcmon 17920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
20	17, 19	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
21		epii.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
22		isepi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
23	22, 3	oppchom 17896	. . . 4 ⊢ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑍)
24	21, 23	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
25		epii.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑌𝐻𝑍))
26	25, 23	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑍(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌))
27	10, 11, 12, 13, 16, 5, 6, 4, 20, 24, 26	moni 17918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐺) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝐾) ↔ 𝐺 = 𝐾))
28	9, 27	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) ↔ 𝐺 = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Hom chom 17446  compcco 17447  Catccat 17845  oppCatcoppc 17892  Monocmon 17910  Epicepi 17911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-oppc 17893  df-mon 17912  df-epi 17913

This theorem is used by:  setcepi  18270