Theorem oppcbas 17667

Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas

Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		baseid 17151	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		slotsbhcdif 17364	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4	3	simp1i 1137	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
5	2, 4	setsnid 17146	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
6	3	simp2i 1138	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	2, 6	setsnid 17146	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
8	5, 7	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppcbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	9, 10, 11, 12	oppcval 17661	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	8, 14	eqtr4id 2789	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
16		base0 17153	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
17	16	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘∅) = ∅
18	17, 12	fveqprc 17128	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
19	15, 18	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
20	1, 19	eqtri 2758	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472  ∅c0 4321  ⟨cop 4633   × cxp 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1^st c1st 7975  2^nd c2nd 7976  tpos ctpos 8212   sSet csts 17100  ndxcnx 17130  Basecbs 17148  Hom chom 17212  compcco 17213  oppCatcoppc 17659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-hom 17225  df-cco 17226  df-oppc 17660

This theorem is referenced by:  oppccatid  17669  oppchomf  17670  2oppcbas  17673  2oppccomf  17675  oppccomfpropd  17677  isepi  17691  epii  17694  oppcsect  17729  oppcsect2  17730  oppcinv  17731  oppciso  17732  sectepi  17735  episect  17736  funcoppc  17829  fulloppc  17877  fthoppc  17878  fthepi  17883  dfinito2  17957  dftermo2  17958  hofcl  18216  yon11  18221  yon12  18222  yon2  18223  oyon1cl  18228  yonedalem21  18230  yonedalem3a  18231  yonedalem4c  18234  yonedalem22  18235  yonedalem3b  18236  yonedalem3  18237  yonedainv  18238  yonffthlem  18239  oppcthin  47746