Theorem oppcbas 17684

Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas

Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		baseid 17182	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		slotsbhcdif 17378	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4	3	simp1i 1140	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
5	2, 4	setsnid 17178	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
6	3	simp2i 1141	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	2, 6	setsnid 17178	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
8	5, 7	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppcbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	9, 10, 11, 12	oppcval 17679	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	8, 14	eqtr4id 2790	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
16		base0 17184	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
17	16	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (Base‘∅) = ∅
18	17, 12	fveqprc 17161	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
19	15, 18	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
20	1, 19	eqtri 2759	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  ∅c0 4273  ⟨cop 4573   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941  tpos ctpos 8175   sSet csts 17133  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  Hom chom 17231  compcco 17232  oppCatcoppc 17677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-oppc 17678

This theorem is referenced by:  oppccatid  17685  oppchomf  17686  2oppcbas  17689  2oppccomf  17691  oppccomfpropd  17693  isepi  17707  epii  17710  oppcsect  17745  oppcsect2  17746  oppcinv  17747  oppciso  17748  sectepi  17751  episect  17752  funcoppc  17842  fulloppc  17891  fthoppc  17892  fthepi  17897  dfinito2  17970  dftermo2  17971  hofcl  18225  yon11  18230  yon12  18231  yon2  18232  oyon1cl  18237  yonedalem21  18239  yonedalem3a  18240  yonedalem4c  18243  yonedalem22  18244  yonedalem3b  18245  yonedalem3  18246  yonedainv  18247  yonffthlem  18248  oppccic  49519  cofuoppf  49625  oppcuprcl4  49674  oppcuprcl3  49675  oppcup  49682  natoppf  49704  oppcinito  49710  oppctermo  49711  oppczeroo  49712  oppc1stf  49763  oppc2ndf  49764  fucoppcco  49884  fucoppc  49885  oppfdiag1  49889  oppfdiag  49891  oppcthin  49913  oppcthinendcALT  49916  oduoppcbas  50040  oduoppcciso  50041  oppgoppchom  50065  oppgoppcco  50066  oppgoppcid  50067  ranval2  50105  ranval3  50106  lmdfval2  50130  lmddu  50142  termolmd  50145  lmdran  50146