Theorem oppcbas 17899

Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas

Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		baseid 17397	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		slotsbhcdif 17593	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4	3	simp1i 1157	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
5	2, 4	setsnid 17393	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
6	3	simp2i 1158	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	2, 6	setsnid 17393	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
8	5, 7	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppcbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	9, 10, 11, 12	oppcval 17894	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	8, 14	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
16		base0 17399	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
17	16	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘∅) = ∅
18	17, 12	fveqprc 17376	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
19	15, 18	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
20	1, 19	eqtri 2783	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4277  ⟨cop 4834   × cxp 5648  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∈ cmpo 7424  1^st c1st 8001  2^nd c2nd 8002  tpos ctpos 8247   sSet csts 17348  ndxcnx 17378  Basecbs 17394  Hom chom 17446  compcco 17447  oppCatcoppc 17892

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-oppc 17893

This theorem is used by:  oppccatid  17900  oppchomf  17901  2oppcbas  17904  2oppccomf  17906  oppccomfpropd  17908  isepi  17922  epii  17925  oppcsect  17960  oppcsect2  17961  oppcinv  17962  oppciso  17963  sectepi  17966  episect  17967  funcoppc  18057  fulloppc  18106  fthoppc  18107  fthepi  18112  dfinito2  18185  dftermo2  18186  hofcl  18440  yon11  18445  yon12  18446  yon2  18447  oyon1cl  18452  yonedalem21  18454  yonedalem3a  18455  yonedalem4c  18458  yonedalem22  18459  yonedalem3b  18460  yonedalem3  18461  yonedainv  18462  yonffthlem  18463  oppccic  50265  cofuoppf  50373  oppcuprcl4  50422  oppcuprcl3  50423  oppcup  50430  natoppf  50458  oppcinito  50464  oppctermo  50465  oppczeroo  50466  oppc1stf  50517  oppc2ndf  50518  fucoppcco  50651  fucoppc  50652  oppfdiag1  50656  oppfdiag  50658  oppcthin  50680  oppcthinendcALT  50683  oduoppcbas  50810  oduoppcciso  50811  oppgoppchom  50835  oppgoppcco  50836  oppgoppcid  50837  ranval2  50920  ranval3  50921  lmdfval2  50945  lmddu  50957  termolmd  50960  lmdran  50961