Theorem oppcbas 17806

Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas

Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		baseid 17304	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		slotsbhcdif 17500	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4	3	simp1i 1157	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
5	2, 4	setsnid 17300	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
6	3	simp2i 1158	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	2, 6	setsnid 17300	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
8	5, 7	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppcbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	9, 10, 11, 12	oppcval 17801	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	8, 14	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
16		base0 17306	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
17	16	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘∅) = ∅
18	17, 12	fveqprc 17283	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
19	15, 18	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
20	1, 19	eqtri 2783	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  tpos ctpos 8223   sSet csts 17255  ndxcnx 17285  Basecbs 17301  Hom chom 17353  compcco 17354  oppCatcoppc 17799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-oppc 17800

This theorem is used by:  oppccatid  17807  oppchomf  17808  2oppcbas  17811  2oppccomf  17813  oppccomfpropd  17815  isepi  17829  epii  17832  oppcsect  17867  oppcsect2  17868  oppcinv  17869  oppciso  17870  sectepi  17873  episect  17874  funcoppc  17964  fulloppc  18013  fthoppc  18014  fthepi  18019  dfinito2  18092  dftermo2  18093  hofcl  18347  yon11  18352  yon12  18353  yon2  18354  oyon1cl  18359  yonedalem21  18361  yonedalem3a  18362  yonedalem4c  18365  yonedalem22  18366  yonedalem3b  18367  yonedalem3  18368  yonedainv  18369  yonffthlem  18370  oppccic  49970  cofuoppf  50076  oppcuprcl4  50125  oppcuprcl3  50126  oppcup  50133  natoppf  50155  oppcinito  50161  oppctermo  50162  oppczeroo  50163  oppc1stf  50214  oppc2ndf  50215  fucoppcco  50335  fucoppc  50336  oppfdiag1  50340  oppfdiag  50342  oppcthin  50364  oppcthinendcALT  50367  oduoppcbas  50491  oduoppcciso  50492  oppgoppchom  50516  oppgoppcco  50517  oppgoppcid  50518  ranval2  50556  ranval3  50557  lmdfval2  50581  lmddu  50593  termolmd  50596  lmdran  50597