Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcbas 16988
 Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcbas.1 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
oppcbas 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas
Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3 eqid 2824 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
5 oppcbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
62, 3, 4, 5oppcval 16983 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
76fveq2d 6665 . . . 4 (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩)))
8 baseid 16543 . . . . . 6 Base = Slot (Base‘ndx)
9 1re 10639 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
10 1nn 11645 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
11 4nn0 11913 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
12 1nn0 11910 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
13 1lt10 12234 . . . . . . . . 9 1 < 10
1410, 11, 12, 13declti 12133 . . . . . . . 8 1 < 14
159, 14ltneii 10751 . . . . . . 7 1 ≠ 14
16 basendx 16547 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
17 homndx 16687 . . . . . . . 8 (Hom ‘ndx) = 14
1816, 17neeq12i 3080 . . . . . . 7 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ 14)
1915, 18mpbir 234 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
208, 19setsnid 16539 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
21 5nn 11720 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
22 4lt5 11811 . . . . . . . . . 10 4 < 5
2312, 11, 21, 22declt 12123 . . . . . . . . 9 14 < 15
24 4nn 11717 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
2512, 24decnncl 12115 . . . . . . . . . . 11 14 ∈ ℕ
2625nnrei 11643 . . . . . . . . . 10 14 ∈ ℝ
2712, 21decnncl 12115 . . . . . . . . . . 11 15 ∈ ℕ
2827nnrei 11643 . . . . . . . . . 10 15 ∈ ℝ
299, 26, 28lttri 10764 . . . . . . . . 9 ((1 < 14 ∧ 14 < 15) → 1 < 15)
3014, 23, 29mp2an 691 . . . . . . . 8 1 < 15
319, 30ltneii 10751 . . . . . . 7 1 ≠ 15
32 ccondx 16689 . . . . . . . 8 (comp‘ndx) = 15
3316, 32neeq12i 3080 . . . . . . 7 ((Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ 1 ≠ 15)
3431, 33mpbir 234 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
358, 34setsnid 16539 . . . . 5 (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
3620, 35eqtri 2847 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
377, 36syl6reqr 2878 . . 3 (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
38 base0 16536 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
39 fvprc 6654 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = ∅)
40 fvprc 6654 . . . . . 6 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
415, 40syl5eq 2871 . . . . 5 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
4241fveq2d 6665 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘∅))
4338, 39, 423eqtr4a 2885 . . 3 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
4437, 43pm2.61i 185 . 2 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
451, 44eqtri 2847 1 𝐵 = (Base‘𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  Vcvv 3480  ∅c0 4276  ⟨cop 4556   class class class wbr 5052   × cxp 5540  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  1st c1st 7682  2nd c2nd 7683  tpos ctpos 7887  1c1 10536   < clt 10673  4c4 11691  5c5 11692  ;cdc 12095  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483  Hom chom 16576  compcco 16577  oppCatcoppc 16981 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-hom 16589  df-cco 16590  df-oppc 16982 This theorem is referenced by:  oppccatid  16989  oppchomf  16990  2oppcbas  16993  2oppccomf  16995  oppccomfpropd  16997  isepi  17010  epii  17013  oppcsect  17048  oppcsect2  17049  oppcinv  17050  oppciso  17051  sectepi  17054  episect  17055  funcoppc  17145  fulloppc  17192  fthoppc  17193  fthepi  17198  hofcl  17509  yon11  17514  yon12  17515  yon2  17516  oyon1cl  17521  yonedalem21  17523  yonedalem3a  17524  yonedalem4c  17527  yonedalem22  17528  yonedalem3b  17529  yonedalem3  17530  yonedainv  17531  yonffthlem  17532
 Copyright terms: Public domain W3C validator