Theorem oppcbas 17792

Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppcbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas

Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		baseid 17290	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		slotsbhcdif 17486	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4	3	simp1i 1157	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
5	2, 4	setsnid 17286	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
6	3	simp2i 1158	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
7	2, 6	setsnid 17286	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
8	5, 7	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
9		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppcbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	9, 10, 11, 12	oppcval 17787	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	8, 14	eqtr4id 2819	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
16		base0 17292	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
17	16	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ (Base‘∅) = ∅
18	17, 12	fveqprc 17269	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
19	15, 18	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
20	1, 19	eqtri 2788	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ⟨cop 4597   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  tpos ctpos 8223   sSet csts 17241  ndxcnx 17271  Basecbs 17287  Hom chom 17339  compcco 17340  oppCatcoppc 17785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-hom 17352  df-cco 17353  df-oppc 17786

This theorem is used by:  oppccatid  17793  oppchomf  17794  2oppcbas  17797  2oppccomf  17799  oppccomfpropd  17801  isepi  17815  epii  17818  oppcsect  17853  oppcsect2  17854  oppcinv  17855  oppciso  17856  sectepi  17859  episect  17860  funcoppc  17950  fulloppc  17999  fthoppc  18000  fthepi  18005  dfinito2  18078  dftermo2  18079  hofcl  18333  yon11  18338  yon12  18339  yon2  18340  oyon1cl  18345  yonedalem21  18347  yonedalem3a  18348  yonedalem4c  18351  yonedalem22  18352  yonedalem3b  18353  yonedalem3  18354  yonedainv  18355  yonffthlem  18356  oppccic  49855  cofuoppf  49961  oppcuprcl4  50010  oppcuprcl3  50011  oppcup  50018  natoppf  50040  oppcinito  50046  oppctermo  50047  oppczeroo  50048  oppc1stf  50099  oppc2ndf  50100  fucoppcco  50220  fucoppc  50221  oppfdiag1  50225  oppfdiag  50227  oppcthin  50249  oppcthinendcALT  50252  oduoppcbas  50376  oduoppcciso  50377  oppgoppchom  50401  oppgoppcco  50402  oppgoppcid  50403  ranval2  50441  ranval3  50442  lmdfval2  50466  lmddu  50478  termolmd  50481  lmdran  50482