MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfdiv 14845
Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfdiv.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
prodfdiv (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 prodfdiv.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3 prodfdiv.4 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
4 fveq2 6404 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
54oveq2d 6886 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺𝑛)) = (1 / (𝐺𝑘)))
6 eqid 2806 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))
7 ovex 6902 . . . . . 6 (1 / (𝐺𝑘)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6499 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
98adantl 469 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
101, 2, 3, 9prodfrec 14844 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
1110oveq2d 6886 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12 prodfdiv.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 eleq1w 2868 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1413anbi2d 616 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15 fveq2 6404 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑛))
1615eleq1d 2870 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑛) ∈ ℂ))
1714, 16imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)))
1817, 2chvarv 2437 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
1915neeq1d 3037 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑛) ≠ 0))
2014, 19imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)))
2120, 3chvarv 2437 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)
2218, 21reccld 11075 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
2322fmpttd 6603 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
2423ffvelrnda 6577 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2512, 2, 3divrecd 11085 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
26 prodfdiv.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
279oveq2d 6886 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
2825, 26, 273eqtr4d 2850 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)))
291, 12, 24, 28prodfmul 14839 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)))
30 mulcl 10301 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3130adantl 469 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
321, 12, 31seqcl 13040 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
331, 2, 31seqcl 13040 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
341, 2, 3prodfn0 14843 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
3532, 33, 34divrecd 11085 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
3611, 29, 353eqtr4d 2850 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  cmpt 4923  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  1c1 10218   · cmul 10222   / cdiv 10965  cuz 11900  ...cfz 12545  seqcseq 13020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021
This theorem is referenced by:  fproddiv  14908
  Copyright terms: Public domain W3C validator