Theorem prodfdiv 15976

Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfdiv.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfdiv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
prodfdiv	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		prodfdiv.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
3		prodfdiv.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
4		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
5	4	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺‘𝑛)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
6		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))
7		ovex 7456	. . . . . 6 ⊢ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6996	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
10	1, 2, 3, 9	prodfrec 15975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	10	oveq2d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12		prodfdiv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		eleq1w 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
14	13	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑛))
16	15	eleq1d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ))
17	14, 16	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)))
18	17, 2	chvarvv 2022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
19	15	neeq1d 3020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑛) ≠ 0))
20	14, 19	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)))
21	20, 3	chvarvv 2022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)
22	18, 21	reccld 12002	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 7117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
24	23	ffvelcdmda 7086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
25	12, 2, 3	divrecd 12012	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
26		prodfdiv.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
27	9	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
28	25, 26, 27	3eqtr4d 2811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)))
29	1, 12, 24, 28	prodfmul 15970	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)))
30		mulcl 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
31	30	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
32	1, 12, 31	seqcl 14078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	1, 2, 31	seqcl 14078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
34	1, 2, 3	prodfn0 15974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
35	32, 33, 34	divrecd 12012	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
36	11, 29, 35	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   / cdiv 11889  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058

This theorem is used by:  fproddiv  16041