Theorem prodfdiv 15841

Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfdiv.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfdiv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
prodfdiv	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		prodfdiv.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
3		prodfdiv.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
4		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
5	4	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺‘𝑛)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
6		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))
7		ovex 7441	. . . . . 6 ⊢ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
10	1, 2, 3, 9	prodfrec 15840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	10	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12		prodfdiv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		eleq1w 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
14	13	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑛))
16	15	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)))
18	17, 2	chvarvv 2002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
19	15	neeq1d 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑛) ≠ 0))
20	14, 19	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)))
21	20, 3	chvarvv 2002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)
22	18, 21	reccld 11982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 7114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
24	23	ffvelcdmda 7086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
25	12, 2, 3	divrecd 11992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
26		prodfdiv.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
27	9	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
28	25, 26, 27	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)))
29	1, 12, 24, 28	prodfmul 15835	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)))
30		mulcl 11193	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
31	30	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
32	1, 12, 31	seqcl 13987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	1, 2, 31	seqcl 13987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
34	1, 2, 3	prodfn0 15839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
35	32, 33, 34	divrecd 11992	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
36	11, 29, 35	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   / cdiv 11870  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483  seqcseq 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966

This theorem is referenced by:  fproddiv  15904