MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfdiv 15929
Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfdiv.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
prodfdiv (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 prodfdiv.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3 prodfdiv.4 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
4 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
54oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺𝑛)) = (1 / (𝐺𝑘)))
6 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))
7 ovex 7464 . . . . . 6 (1 / (𝐺𝑘)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
98adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
101, 2, 3, 9prodfrec 15928 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
1110oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12 prodfdiv.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 eleq1w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1413anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑛))
1615eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑛) ∈ ℂ))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)))
1817, 2chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
1915neeq1d 2998 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑛) ≠ 0))
2014, 19imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)))
2120, 3chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)
2218, 21reccld 12034 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
2322fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
2423ffvelcdmda 7104 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2512, 2, 3divrecd 12044 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
26 prodfdiv.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
279oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
2825, 26, 273eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)))
291, 12, 24, 28prodfmul 15923 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)))
30 mulcl 11237 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3130adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
321, 12, 31seqcl 14060 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
331, 2, 31seqcl 14060 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
341, 2, 3prodfn0 15927 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
3532, 33, 34divrecd 12044 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
3611, 29, 353eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040
This theorem is referenced by:  fproddiv  15994
  Copyright terms: Public domain W3C validator