MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfdiv 15882
Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
prodfdiv.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
prodfdiv.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
prodfdiv.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  0)
prodfdiv.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) / (πΊβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
prodfdiv (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐻)β€˜π‘) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐻   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv
Dummy variables π‘₯ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 prodfdiv.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3 prodfdiv.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  0)
4 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
54oveq2d 7442 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / (πΊβ€˜π‘›)) = (1 / (πΊβ€˜π‘˜)))
6 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))
7 ovex 7459 . . . . . 6 (1 / (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 7010 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (1 / (πΊβ€˜π‘˜)))
98adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (1 / (πΊβ€˜π‘˜)))
101, 2, 3, 9prodfrec 15881 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))))β€˜π‘) = (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
1110oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq𝑀( Β· , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))))β€˜π‘)) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘))))
12 prodfdiv.2 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
13 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1413anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘›))
1615eleq1d 2814 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚))
1714, 16imbi12d 343 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)))
1817, 2chvarvv 1994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
1915neeq1d 2997 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (πΊβ€˜π‘›) β‰  0))
2014, 19imbi12d 343 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  0) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) β‰  0)))
2120, 3chvarvv 1994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) β‰  0)
2218, 21reccld 12021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (1 / (πΊβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
2322fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))):(𝑀...𝑁)βŸΆβ„‚)
2423ffvelcdmda 7099 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2512, 2, 3divrecd 12031 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) / (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘˜))))
26 prodfdiv.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) / (πΊβ€˜π‘˜)))
279oveq2d 7442 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘˜))))
2825, 26, 273eqtr4d 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
291, 12, 24, 28prodfmul 15876 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐻)β€˜π‘) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq𝑀( Β· , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))))β€˜π‘)))
30 mulcl 11230 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
3130adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
321, 12, 31seqcl 14027 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
331, 2, 31seqcl 14027 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„‚)
341, 2, 3prodfn0 15880 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘) β‰  0)
3532, 33, 34divrecd 12031 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘))))
3611, 29, 353eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐻)β€˜π‘) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   Β· cmul 11151   / cdiv 11909  β„€β‰₯cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007
This theorem is referenced by:  fproddiv  15945
  Copyright terms: Public domain W3C validator