Theorem prodfdiv 15254

Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfdiv.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfdiv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
prodfdiv	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		prodfdiv.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
3		prodfdiv.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
4		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
5	4	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺‘𝑛)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
6		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))
7		ovex 7191	. . . . . 6 ⊢ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6770	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
9	8	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
10	1, 2, 3, 9	prodfrec 15253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	10	oveq2d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12		prodfdiv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		eleq1w 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
14	13	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑛))
16	15	eleq1d 2899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ))
17	14, 16	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)))
18	17, 2	chvarvv 2005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
19	15	neeq1d 3077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑛) ≠ 0))
20	14, 19	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)))
21	20, 3	chvarvv 2005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)
22	18, 21	reccld 11411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 6881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
24	23	ffvelrnda 6853	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
25	12, 2, 3	divrecd 11421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
26		prodfdiv.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
27	9	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
28	25, 26, 27	3eqtr4d 2868	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)))
29	1, 12, 24, 28	prodfmul 15248	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)))
30		mulcl 10623	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
31	30	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
32	1, 12, 31	seqcl 13393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	1, 2, 31	seqcl 13393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
34	1, 2, 3	prodfn0 15252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
35	32, 33, 34	divrecd 11421	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
36	11, 29, 35	3eqtr4d 2868	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   / cdiv 11299  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  seqcseq 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373

This theorem is referenced by:  fproddiv  15317