MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfdiv 15933
Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfdiv.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
prodfdiv (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 prodfdiv.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3 prodfdiv.4 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
4 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
54oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺𝑛)) = (1 / (𝐺𝑘)))
6 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))
7 ovex 7465 . . . . . 6 (1 / (𝐺𝑘)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 7015 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
98adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
101, 2, 3, 9prodfrec 15932 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
1110oveq2d 7448 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12 prodfdiv.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 eleq1w 2823 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1413anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑛))
1615eleq1d 2825 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑛) ∈ ℂ))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)))
1817, 2chvarvv 1997 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
1915neeq1d 2999 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑛) ≠ 0))
2014, 19imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)))
2120, 3chvarvv 1997 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)
2218, 21reccld 12037 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
2322fmpttd 7134 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
2423ffvelcdmda 7103 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2512, 2, 3divrecd 12047 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
26 prodfdiv.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
279oveq2d 7448 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
2825, 26, 273eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)))
291, 12, 24, 28prodfmul 15927 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)))
30 mulcl 11240 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3130adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
321, 12, 31seqcl 14064 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
331, 2, 31seqcl 14064 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
341, 2, 3prodfn0 15931 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
3532, 33, 34divrecd 12047 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
3611, 29, 353eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   / cdiv 11921  cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044
This theorem is referenced by:  fproddiv  15998
  Copyright terms: Public domain W3C validator