Theorem prodfdiv 15831

Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfdiv.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfdiv.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
prodfdiv	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		prodfdiv.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
3		prodfdiv.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
4		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
5	4	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺‘𝑛)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))
7		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6949	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
10	1, 2, 3, 9	prodfrec 15830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	10	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12		prodfdiv.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
14	13	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑛))
16	15	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)))
18	17, 2	chvarvv 1991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
19	15	neeq1d 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑛) ≠ 0))
20	14, 19	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)))
21	20, 3	chvarvv 1991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑛) ≠ 0)
22	18, 21	reccld 11922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
23	22	fmpttd 7069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
24	23	ffvelcdmda 7038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
25	12, 2, 3	divrecd 11932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
26		prodfdiv.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
27	9	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
28	25, 26, 27	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛)))‘𝑘)))
29	1, 12, 24, 28	prodfmul 15825	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺‘𝑛))))‘𝑁)))
30		mulcl 11122	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
32	1, 12, 31	seqcl 13957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
33	1, 2, 31	seqcl 13957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
34	1, 2, 3	prodfn0 15829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
35	32, 33, 34	divrecd 11932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
36	11, 29, 35	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937

This theorem is referenced by:  fproddiv  15896