MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfdiv 15848
Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
prodfdiv.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
prodfdiv.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
prodfdiv.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  0)
prodfdiv.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) / (πΊβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
prodfdiv (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐻)β€˜π‘) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐻   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv
Dummy variables π‘₯ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 prodfdiv.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3 prodfdiv.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  0)
4 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
54oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / (πΊβ€˜π‘›)) = (1 / (πΊβ€˜π‘˜)))
6 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))
7 ovex 7438 . . . . . 6 (1 / (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6992 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (1 / (πΊβ€˜π‘˜)))
98adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (1 / (πΊβ€˜π‘˜)))
101, 2, 3, 9prodfrec 15847 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))))β€˜π‘) = (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
1110oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq𝑀( Β· , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))))β€˜π‘)) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘))))
12 prodfdiv.2 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
13 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1413anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘›))
1615eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)))
1817, 2chvarvv 1994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
1915neeq1d 2994 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (πΊβ€˜π‘›) β‰  0))
2014, 19imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) β‰  0) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) β‰  0)))
2120, 3chvarvv 1994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) β‰  0)
2218, 21reccld 11987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (1 / (πΊβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
2322fmpttd 7110 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))):(𝑀...𝑁)βŸΆβ„‚)
2423ffvelcdmda 7080 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2512, 2, 3divrecd 11997 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) / (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘˜))))
26 prodfdiv.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) / (πΊβ€˜π‘˜)))
279oveq2d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (πΊβ€˜π‘˜))))
2825, 26, 273eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
291, 12, 24, 28prodfmul 15842 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐻)β€˜π‘) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq𝑀( Β· , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (πΊβ€˜π‘›))))β€˜π‘)))
30 mulcl 11196 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
3130adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
321, 12, 31seqcl 13993 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
331, 2, 31seqcl 13993 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„‚)
341, 2, 3prodfn0 15846 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘) β‰  0)
3532, 33, 34divrecd 11997 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘))))
3611, 29, 353eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐻)β€˜π‘) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) / (seq𝑀( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973
This theorem is referenced by:  fproddiv  15911
  Copyright terms: Public domain W3C validator