MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfrec 15847
Description: The reciprocal of an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
prodfn0.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
prodfn0.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
prodfrec.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
prodfrec (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐บ

Proof of Theorem prodfrec
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2 eluzfz2 13515 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
31, 2syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
4 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
5 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))
65oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)))
74, 6eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))))
87imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)))))
9 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›))
10 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))
1110oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)))
129, 11eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))))
1312imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)))))
14 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)))
15 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)))
1615oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))
1714, 16eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)))))
1817imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
19 fveq2 6885 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘))
20 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
2120oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
2219, 21eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))))
2322imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))))
24 eluzfz1 13514 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
251, 24syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
26 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘€))
27 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘€))
2827oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))
2926, 28eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) โ†” (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€))))
3029imbi2d 340 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))))
31 prodfrec.4 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)))
3231expcom 413 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜))))
3330, 32vtoclga 3560 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€))))
3425, 33mpcom 38 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))
35 eluzel2 12831 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
361, 35syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
37 seq1 13985 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (๐บโ€˜๐‘€))
3836, 37syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (๐บโ€˜๐‘€))
39 seq1 13985 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
4036, 39syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
4140oveq2d 7421 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))
4234, 38, 413eqtr4d 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)))
4342a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))))
44 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
45443ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
46 fzofzp1 13735 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
47 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜(๐‘› + 1)))
48 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))
4948oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
5047, 49eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) โ†” (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
5150imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))))
5251, 32vtoclga 3560 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
5453impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
5554oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
56 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
57 elfzouz 13642 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
59 elfzouz2 13653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
60 fzss2 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โІ (๐‘€...๐‘))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โІ (๐‘€...๐‘))
6261sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
63 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6462, 63sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6564anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
66 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6858, 65, 67seqcl 13993 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6948eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
7069imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)))
7163expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
7270, 71vtoclga 3560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
7346, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
7473impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
75 prodfn0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
7662, 75sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
7776anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
7858, 65, 77prodfn0 15846 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0)
7948neeq1d 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
8079imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
8175expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0))
8280, 81vtoclga 3560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
8346, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
8483impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
8556, 68, 56, 74, 78, 84divmuldivd 12035 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))) = ((1 ยท 1) / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
86 1t1e1 12378 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท 1) = 1
8786oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((1 ยท 1) / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
8885, 87eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
8955, 88eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
90893adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
9145, 90eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
92 seqp1 13987 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
9357, 92syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
94933ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
95 seqp1 13987 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
9657, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
9796oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
98973ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
9991, 94, 983eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))
100993exp 1116 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
101100com12 32 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
102101a2d 29 . . 3 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
1038, 13, 18, 23, 43, 102fzind2 13756 . 2 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))))
1043, 103mpcom 38 1 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โІ wss 3943  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  seqcseq 13972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973
This theorem is referenced by:  prodfdiv  15848
  Copyright terms: Public domain W3C validator