MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfrec 15873
Description: The reciprocal of an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
prodfn0.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
prodfn0.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
prodfrec.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
prodfrec (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐บ

Proof of Theorem prodfrec
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2 eluzfz2 13541 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
31, 2syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
4 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
5 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))
65oveq2d 7432 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)))
74, 6eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))))
87imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)))))
9 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›))
10 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))
1110oveq2d 7432 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)))
129, 11eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))))
1312imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)))))
14 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)))
15 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)))
1615oveq2d 7432 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))
1714, 16eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)))))
1817imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
19 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘))
20 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
2120oveq2d 7432 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
2219, 21eqeq12d 2741 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š)) โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))))
2322imbi2d 339 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))))
24 eluzfz1 13540 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
251, 24syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
26 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜๐‘€))
27 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘€))
2827oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))
2926, 28eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) โ†” (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€))))
3029imbi2d 339 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))))
31 prodfrec.4 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)))
3231expcom 412 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜))))
3330, 32vtoclga 3555 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€))))
3425, 33mpcom 38 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘€) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))
35 eluzel2 12857 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
361, 35syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
37 seq1 14011 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (๐บโ€˜๐‘€))
3836, 37syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (๐บโ€˜๐‘€))
39 seq1 14011 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
4036, 39syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
4140oveq2d 7432 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)) = (1 / (๐นโ€˜๐‘€)))
4234, 38, 413eqtr4d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€)))
4342a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))))
44 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
45443ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
46 fzofzp1 13761 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
47 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐บโ€˜(๐‘› + 1)))
48 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))
4948oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
5047, 49eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜)) โ†” (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
5150imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐นโ€˜๐‘˜))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))))
5251, 32vtoclga 3555 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
5453impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
5554oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
56 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
57 elfzouz 13668 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
5857adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
59 elfzouz2 13679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
60 fzss2 13573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โІ (๐‘€...๐‘))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โІ (๐‘€...๐‘))
6261sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
63 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6462, 63sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6564anassrs 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
66 mulcl 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6766adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6858, 65, 67seqcl 14019 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6948eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
7069imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)))
7163expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
7270, 71vtoclga 3555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
7346, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
7473impcom 406 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
75 prodfn0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
7662, 75sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
7776anassrs 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
7858, 65, 77prodfn0 15872 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0)
7948neeq1d 2990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
8079imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
8175expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0))
8280, 81vtoclga 3555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
8346, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
8483impcom 406 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
8556, 68, 56, 74, 78, 84divmuldivd 12061 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))) = ((1 ยท 1) / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
86 1t1e1 12404 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท 1) = 1
8786oveq1i 7426 . . . . . . . . . . 11 ((1 ยท 1) / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
8885, 87eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (1 / (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
8955, 88eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
90893adant3 1129 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ ((1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
9145, 90eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
92 seqp1 14013 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
9357, 92syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
94933ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) ยท (๐บโ€˜(๐‘› + 1))))
95 seqp1 14013 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
9657, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
9796oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
98973ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))) = (1 / ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))))
9991, 94, 983eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))
100993exp 1116 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
101100com12 32 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
102101a2d 29 . . 3 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘›) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜(๐‘› + 1)) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1))))))
1038, 13, 18, 23, 43, 102fzind2 13782 . 2 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))))
1043, 103mpcom 38 1 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘) = (1 / (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   โІ wss 3939  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   / cdiv 11901  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  seqcseq 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999
This theorem is referenced by:  prodfdiv  15874
  Copyright terms: Public domain W3C validator