Theorem prodfn0 15850

Description: No term of a nonzero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfn0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfn0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfn0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
prodfn0	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfn0

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz2 13477	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀))
5	4	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)))
7		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
8	7	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)))
10		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
11	10	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
13		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
14	13	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
15	14	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)))
16		eluzfz1 13476	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
17		elfzelz 13469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		seq1 13967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
21		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
22	21	neeq1d 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑀) ≠ 0))
23	22	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)))
24		prodfn0.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
25	24	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
26	23, 25	vtoclga 3521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0))
27	26	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)
28	20, 27	eqnetrd 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
29	28	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
30	16, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
31		elfzouz 13609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		seqp1 13969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
35		elfzofz 13621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
36		elfzuz 13465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
38		elfzuz3 13466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
39		fzss2 13509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
41	40	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
42		prodfn0.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
43	41, 42	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
44	43	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45		mulcl 11113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
47	37, 44, 46	seqcl 13975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
48	35, 47	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
49	48	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
50		fzofzp1 13710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
51		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
52	51	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
53	52	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)))
54	42	expcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
55	53, 54	vtoclga 3521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
57	56	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
58	57	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
59		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
60	51	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
61	60	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
62	61, 25	vtoclga 3521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
63	62	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
64	50, 63	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
65	64	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
66	49, 58, 59, 65	mulne0d 11793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) ≠ 0)
67	34, 66	eqnetrd 3000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
68	67	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
69	68	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
70	69	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
71	6, 9, 12, 15, 30, 70	fzind2 13734	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
72	3, 71	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  seqcseq 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955

This theorem is referenced by:  prodfrec  15851  prodfdiv  15852  fprodn0  15935