MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfn0 14832
Description: No term of a nonzero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfn0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfn0.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
prodfn0 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfn0
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 12555 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀))
54neeq1d 3001 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)))
7 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
87neeq1d 3001 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)))
10 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
1110neeq1d 3001 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
13 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
1413neeq1d 3001 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
1514imbi2d 329 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)))
16 eluzfz1 12554 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
17 elfzelz 12548 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
1817adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 seq1 13020 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
21 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2221neeq1d 3001 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑀) ≠ 0))
2322imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0)))
24 prodfn0.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
2524expcom 398 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑘) ≠ 0))
2623, 25vtoclga 3421 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0))
2726impcom 394 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑀) ≠ 0)
2820, 27eqnetrd 3009 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
2928expcom 398 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
31 elfzouz 12681 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
32313ad2ant2 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
33 seqp1 13022 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
35 elfzofz 12692 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
36 elfzuz 12544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
3736adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
38 elfzuz3 12545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
39 fzss2 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
4140sselda 3750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
42 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4341, 42sylan2 572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4443anassrs 458 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
45 mulcl 10221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4645adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4737, 44, 46seqcl 13027 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
4835, 47sylan2 572 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
49483adant3 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
50 fzofzp1 12772 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
51 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5251eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
5352imbi2d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)))
5442expcom 398 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
5553, 54vtoclga 3421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
5756impcom 394 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
58573adant3 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
59 simp3 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
6051neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
6160imbi2d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
6261, 25vtoclga 3421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
6362impcom 394 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
6450, 63sylan2 572 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
65643adant3 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
6649, 58, 59, 65mulne0d 10880 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) ≠ 0)
6734, 66eqnetrd 3009 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
68673exp 1111 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
6968com12 32 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
7069a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
716, 9, 12, 15, 30, 70fzind2 12793 . 2 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
723, 71mpcom 38 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wss 3721  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  cz 11578  cuz 11887  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  seqcseq 13007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008
This theorem is referenced by:  prodfrec  14833  prodfdiv  14834  fprodn0  14915
  Copyright terms: Public domain W3C validator