MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfn0 15844
Description: No term of a nonzero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
prodfn0.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
prodfn0.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
prodfn0 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem prodfn0
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2 eluzfz2 13513 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
31, 2syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
4 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))
54neeq1d 3000 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0))
65imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0)))
7 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))
87neeq1d 3000 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0))
98imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0)))
10 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)))
1110neeq1d 3000 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
1211imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
13 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
1413neeq1d 3000 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0))
1514imbi2d 340 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)))
16 eluzfz1 13512 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
17 elfzelz 13505 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
19 seq1 13983 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
21 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘€))
2221neeq1d 3000 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0))
2322imbi2d 340 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0)))
24 prodfn0.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
2524expcom 414 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0))
2623, 25vtoclga 3565 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0))
2726impcom 408 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0)
2820, 27eqnetrd 3008 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0)
2928expcom 414 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0))
3016, 29syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0))
31 elfzouz 13640 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
32313ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
33 seqp1 13985 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
35 elfzofz 13652 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘))
36 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
38 elfzuz3 13502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
39 fzss2 13545 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โŠ† (๐‘€...๐‘))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โŠ† (๐‘€...๐‘))
4140sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
42 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4341, 42sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4443anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4737, 44, 46seqcl 13992 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4835, 47sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
49483adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
50 fzofzp1 13733 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))
5251eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
5352imbi2d 340 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)))
5442expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
5553, 54vtoclga 3565 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
5756impcom 408 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
58573adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
59 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0)
6051neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
6160imbi2d 340 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
6261, 25vtoclga 3565 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
6362impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
6450, 63sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
65643adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
6649, 58, 59, 65mulne0d 11870 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))) โ‰  0)
6734, 66eqnetrd 3008 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
68673exp 1119 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0 โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
6968com12 32 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0 โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
7069a2d 29 . . 3 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
716, 9, 12, 15, 30, 70fzind2 13754 . 2 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0))
723, 71mpcom 38 1 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  seqcseq 13970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971
This theorem is referenced by:  prodfrec  15845  prodfdiv  15846  fprodn0  15927
  Copyright terms: Public domain W3C validator