MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfn0 15840
Description: No term of a nonzero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
prodfn0.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
prodfn0.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
prodfn0 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem prodfn0
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2 eluzfz2 13509 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
31, 2syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
4 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€))
54neeq1d 3001 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0)))
7 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›))
87neeq1d 3001 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0))
98imbi2d 341 . . 3 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0)))
10 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)))
1110neeq1d 3001 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
1211imbi2d 341 . . 3 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
13 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
1413neeq1d 3001 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0 โ†” (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0))
1514imbi2d 341 . . 3 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘š) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)))
16 eluzfz1 13508 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
17 elfzelz 13501 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1817adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
19 seq1 13979 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) = (๐นโ€˜๐‘€))
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜๐‘€))
2221neeq1d 3001 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0))
2322imbi2d 341 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0)))
24 prodfn0.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
2524expcom 415 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0))
2623, 25vtoclga 3566 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0))
2726impcom 409 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘€) โ‰  0)
2820, 27eqnetrd 3009 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0)
2928expcom 415 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0))
3016, 29syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘€) โ‰  0))
31 elfzouz 13636 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
32313ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
33 seqp1 13981 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) = ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))))
35 elfzofz 13648 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘))
36 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3736adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
38 elfzuz3 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
39 fzss2 13541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โŠ† (๐‘€...๐‘))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โŠ† (๐‘€...๐‘))
4140sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
42 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4341, 42sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4443anassrs 469 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4737, 44, 46seqcl 13988 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4835, 47sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
49483adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
50 fzofzp1 13729 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
51 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜(๐‘› + 1)))
5251eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
5352imbi2d 341 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)))
5442expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚))
5553, 54vtoclga 3566 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚))
5756impcom 409 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
58573adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
59 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0)
6051neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0 โ†” (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
6160imbi2d 341 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0) โ†” (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
6261, 25vtoclga 3566 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0))
6362impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
6450, 63sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
65643adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
6649, 58, 59, 65mulne0d 11866 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) ยท (๐นโ€˜(๐‘› + 1))) โ‰  0)
6734, 66eqnetrd 3009 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โˆง (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)
68673exp 1120 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0 โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
6968com12 32 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0 โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
7069a2d 29 . . 3 (๐‘› โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘›) โ‰  0) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› + 1)) โ‰  0)))
716, 9, 12, 15, 30, 70fzind2 13750 . 2 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0))
723, 71mpcom 38 1 (๐œ‘ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โŠ† wss 3949  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  seqcseq 13966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967
This theorem is referenced by:  prodfrec  15841  prodfdiv  15842  fprodn0  15923
  Copyright terms: Public domain W3C validator