Theorem prodfn0 15942

Description: No term of a nonzero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfn0.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
prodfn0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
prodfn0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
prodfn0	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfn0

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodfn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz2 13592	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀))
5	4	neeq1d 3006	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)))
7		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
8	7	neeq1d 3006	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)))
10		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
11	10	neeq1d 3006	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
13		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
14	13	neeq1d 3006	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
15	14	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)))
16		eluzfz1 13591	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
17		elfzelz 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		seq1 14065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
21		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
22	21	neeq1d 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑀) ≠ 0))
23	22	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)))
24		prodfn0.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
25	24	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
26	23, 25	vtoclga 3589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ≠ 0))
27	26	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑀) ≠ 0)
28	20, 27	eqnetrd 3014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
29	28	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
30	16, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
31		elfzouz 13720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		seqp1 14067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
35		elfzofz 13732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
36		elfzuz 13580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
38		elfzuz3 13581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
39		fzss2 13624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
41	40	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
42		prodfn0.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
43	41, 42	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
44	43	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
45		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
47	37, 44, 46	seqcl 14073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
48	35, 47	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
49	48	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
50		fzofzp1 13814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
51		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
52	51	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
53	52	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)))
54	42	expcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ))
55	53, 54	vtoclga 3589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
57	56	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
58	57	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
59		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
60	51	neeq1d 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
61	60	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
62	61, 25	vtoclga 3589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
63	62	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
64	50, 63	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
65	64	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
66	49, 58, 59, 65	mulne0d 11942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) ≠ 0)
67	34, 66	eqnetrd 3014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
68	67	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
69	68	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
70	69	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
71	6, 9, 12, 15, 30, 70	fzind2 13835	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
72	3, 71	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  seqcseq 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053

This theorem is referenced by:  prodfrec  15943  prodfdiv  15944  fprodn0  16027